2 Lımites

Ejercicio2.1

Determine, a partir del gráfico dado, los siguientes límites.

1: $lim_{t \to 3^{+}} g (t)$
3.
2: $lim_{t \to - 1^{-}} g (t)$
2.
3: $lim_{t \to - 1^{+}} g (t)$
3.
4: $lim_{t \to 1^{-}} g (t)$
1.
5: $lim_{t \to 1^{+}} g (t)$
2.
6: $lim_{t \to 2^{-}} g (t)$
0.
7: $lim_{t \to 2^{+}} g (t)$
1.
8: $lim_{t \to 3^{-}} g (t)$
2.

1: $lim_{x \to 1} f (x)$
1.
2: $lim_{x \to 0} f (x)$
0.
3: $lim_{x \to - 1^{+}} f (x)$
1.
4: $lim_{t \to 1^{-}} f (x)$
2.

1: $lim_{x \to - 8} f (x)$
Existe por la derecha y es $1$ .
2: $lim_{x \to - 4} f (x)$
No existe.
3: $lim_{x \to 0} f (x)$
$4 .$
4: $lim_{x \to 3} f (x)$
$3 .$
5: $lim_{x \to 8} f (x)$
Existe por la izquierda y es $- 3$ .
6: $lim_{x \to - 8} f (x)$
Existe por la derecha y es $4$ .

1: $lim_{x \to - 2} h (x)$
Existe y es $0$ .
2: $lim_{x \to - 1} h (x)$
Existe por la derecha y es $- 1$ .
3: $lim_{x \to 1} h (x)$
No existe.
4: $lim_{x \to 4} h (x)$
$3 .$
5: $lim_{x \to 5} h (x)$
Existe y es $0$ .
6: $lim_{x \to 0} h (x)$
Existe y es $1.5$ .

1: $lim_{x \to - 4} m (x)$
Existe por la derecha y es $- 3$ .
2: $lim_{x \to - 2} m (x)$
Existe y es $1$ .
3: $lim_{x \to 0} m (x)$
Existe y es $- 2$ .
4: $lim_{x \to 2} m (x)$
No existe.
5: $lim_{x \to 3} m (x)$
Existe y es $0$ .
6: $lim_{x \to 5} m (x)$
Existe y es $3$ .

Ejercicio3.1

Las siguientes preguntas evalúan conceptos teóricos.

1

¿ Bajo que condiciones se satisface que

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} = \frac{x - 2}{x + 3}

?.

x \neq 3 .

2

¿Porqué es correcto afirmar que

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} = lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x + 3}

?

No depende del dominio de la función,

x \neq 3 .

3

Sea

f

una función tal que

lim_{x \to 3} f (x) = 7

, ¿ es posible que

f (3) = 5

?. Justifique su respuesta.

Sí.

4

Considere la función

g : ℝ - {- 2, - 3} \to ℝ

definida por:

$g (x) = {\begin{matrix} \frac{4 - x^{2}}{(x + 2) (x + 3)} & si & x & < & - 1 \\ x & si & - 1 & \leq & x & < & 1 \\ 2 x^{2} - 1 & si & x & \geq & 1 \end{matrix}$

determine para cuáles reales, el límite existe.

\forall a, a \in ℝ - {- 1, - 3}

.

5

Muestre por medio de un ejemplo que

lim_{x \to a} [f (x) + g (x)]

puede existir aunque

lim_{x \to a} f (x)

y

lim_{x \to a} g (x)

no existan.

Se omite.

6

Considere las funciones

f (x) = \frac{(x - 1)}{| x - 1 |}

y

g (x) = \frac{| x - 1 |}{(x - 1)}

(a): Verifique (analizando límites reales) que $lim_{x \to 1} f (x)$ y $lim_{x \to 1} g (x)$ no existen.
(b): Verifique que $lim_{x \to 1} [f (x) \cdot g (x)] = 1$

Nota: Este ejercicio muestra que $lim_{x \to 1} [f (x) \cdot g (x)]$ puede existir aunque $lim_{x \to a} f (x)$ y $lim_{x \to a} g (x)$ no existan.

Se omite.

7

Determine el o los valores de

a

de modo que

lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2} + ax + a + 3}{x^{2} + x - 2}

exista.

a = 15

.

8

Encuentre los números reales

a

y

b

tales que

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax + b} - 2}{x} = 1

Multiplique por el conjugado

\sqrt{ax + b} + 2

arriba y abajo de la fracción. Los valores requeridos son

a = b = 4

.

9

Sean

f

y

g

funciones tales que

lim_{x \to a} [f (x) + g (x)] = 2

y

lim_{x \to a} [f (x) - g (x)] = 1

.

lim_{x \to a} [f (x)]

y

lim_{x \to a} [g (x)]

existen. Determine el valor de

lim_{x \to a} [f (x) \cdot g (x)]

.

\frac{3}{4}

.

Ejercicio3.2

Considere

g (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 5 & si & x & \leq & - 1 \\ 3 x + 2 & si & - 1 & < & x & < & 1 \\ 4 x^{2} + 2 x & si & x & \geq & 1 \end{matrix}

.

Calcule

1: $g (- 1)$
$- 4 .$
2: $lim_{x \to - 1^{-}} g (x)$
$- 4 .$
3: $lim_{x \to - 1^{+}} g (x)$
$- 1 .$
4: $lim_{x \to - 1} g (x)$
No existe.
5: $g (1)$
$6 .$
6: $lim_{x \to 1^{-}} g (x)$
$5 .$
7: $lim_{x \to 1^{+}} g (x)$
$6 .$
8: $lim_{x \to 1} g (x)$
No existe.
9: $g (0)$
$2 .$
10: $lim_{x \to 0^{-}} g (x)$
$2 .$
11: $lim_{x \to 0^{+}} g (x)$
$2 .$
12: $lim_{x \to 0} g (x)$
$2 .$

Ejercicio4.1

Simplifique la expresión y calcule su límite

1: $lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 5 x - 3}{x^{3} + 5 x - 3 x^{2} - 15}$
$\frac{1}{2}$ .
2: $lim_{x \to 3} \frac{3 x - x^{2}}{1 + \sqrt{1 + x}}$
$0$ .
3: $lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{3} + x^{2} - 4 x - 4}$
$\frac{5}{4}$ .
4: $lim_{b \to a^{2}} \frac{a^{3} - b - ab + a^{2}}{2 a^{3} - 2 ab + b - a^{2}}$
$\frac{1}{2}$ .
5: $lim_{w \to a} \frac{2 w^{3} - 4 a w^{2} + 2 a^{2} w}{w^{4} + a w^{3} - 2 a^{2} w^{2}}$
$- \frac{4 (a^{3} - {aw}^{2})}{a^{4} - {aw}^{3}}$ .
6: $lim_{t \to \frac{5}{2}} \frac{4 - \sqrt{2 t + 11}}{2 t - 5}$
$\frac{- 1}{8}$ .
7: $lim_{p \to 1} \frac{p^{3} + p^{2} - 2}{2 - \sqrt{p + 3}}$
$- 20 .$
8: $lim_{t \to 4} \frac{3 - \sqrt{5 + t}}{1 - \sqrt{5 - t}}$
$- \frac{1}{3}$ .
9: $lim_{w \to - 1} \frac{w + 1}{3 w + \sqrt{6 w^{2} + 3}}$
$1 .$
10: $lim_{a \to 1} \frac{\sqrt{1 + 8 a} - 3}{\sqrt{4 a} - 2}$
$\frac{4}{3}$ .
11: $lim_{d \to - 1} \frac{\sqrt{3 d^{2} - 5 d - 2} - \sqrt{1 - 5 d}}{\sqrt{d^{2} - d} - \sqrt{3 - d^{2}}}$
$\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ .
12: $lim_{t \to - 1} \frac{t^{2} + t}{\sqrt[3]{2 t + 1} + \sqrt[3]{t + 2}}$
$0 .$
13: $lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt[3]{1 + x} - 1}$
$\frac{3}{2}$ .
14: $lim_{y \to 4} \frac{\sqrt{y} - | 2 - y |}{y - 4}$
$- \frac{3}{4}$ .
15: $lim_{z \to 0} \frac{\sqrt[3]{5 z + 1} - \sqrt[4]{5 z + 1}}{z}$
$\frac{5}{12}$ .
16: $lim_{a \to 0} \frac{2 - \sqrt[6]{3 a + 64}}{5 a}$
$\frac{- 1}{320}$ .
17: $lim_{y \to 32} \frac{\sqrt[5]{y^{2}} - 3 \cdot \sqrt[5]{y} + 2}{y - 4 \cdot \sqrt[5]{y^{3}}}$
$\frac{1}{32}$ .
18: $lim_{p \to - 1} \frac{p + 2}{ln (p + 2)}$
$- \infty$ izq, $\infty$ derecha.
19: $lim_{z \to {(\frac{2}{3})}^{+}} \frac{| - 3 z + 2 |}{18 z^{2} - 8}$
$\frac{1}{8}$ .
20: $lim_{p \to - 2} \frac{1 - \sqrt{p + 3}}{{(p + 2)}^{2}}$
$\infty$ izquierda, $- \infty$ derecha.
21: $lim_{y \to 2} \frac{\sqrt[4]{5 - 2 y} - 1}{1 + \sqrt[3]{2 y - 5}}$
$\frac{- 3}{4}$ .
22: $lim_{x \to - 2} 2 . 1^{(| x | - 2) ∕ (x + 2)}$
$2 . 1^{- 1}$ .
23: $lim_{y \to 5} \frac{2 - \sqrt[4]{4 y - 4}}{\sqrt{y - 1} - 2}$
$\frac{- 1}{2}$
24: $lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + ct} - 1}{t}$
$\frac{c}{3}$ .
25: $lim_{x \to 3^{-}} {(2)}^{\frac{- x - 3}{ln (x - 2)}}$
$\infty$ .
26: $lim_{x \to - 4^{-}} {(\frac{1}{7})}^{\frac{5}{4 + x}}$
$\infty$ .
27: $lim_{b \to - 1} {(\frac{5}{4})}^{\frac{| b | - 1}{b + 1}}$
$\frac{4}{5}$ .
28: $lim_{x \to 2^{+}} {(\frac{4}{5})}^{\frac{- 5}{ln (3 - x)}}$
$0$ .
29: $lim_{x \to 3} {(5)}^{\frac{1}{x - 3}}$
$∄.$
30: $lim_{x \to 2^{+}} ln (\frac{x}{- 2 + x})$
$\infty$ .
31: $lim_{x \to 0} \frac{2 t - 1}{t^{2} - t^{4}}$
$- \infty$ .
32: $lim_{h \to - 3} \frac{1}{h^{2} - 9}$
$\infty$ izq , $- \infty$ derecha.
33: $lim_{y \to 5} \frac{1}{y} - \frac{2 - y}{{(5 - y)}^{2}}$
$\infty$ .
34: $lim_{y \to 4^{+}} {(\frac{3}{7})}^{\frac{2^{y} - 1}{- 4 ln (5 - y)}}$
$0$
35: $lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[4]{{(x + 2)}^{4}}}{| {(x + 1)}^{2} - 1 |}$
$\frac{1}{2}$ .
36: $lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 - x} - 1}{1 + \sqrt[5]{x - 2}}$
$- \frac{5}{2}$ .
37: $lim_{x \to π^{+}} \frac{{(\frac{1}{e})}^{\frac{- π}{π - x}} + 2007}{\frac{1}{ln (π + 1 - x)}}$
$0 .$

Ejercicio4.2

Determine el valor de

k

de modo que

lim_{x \to k^{-}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{2 k + 1}{4 x^{2} - 1}} = 0

k = \frac{1}{2}

.

Ejercicio4.3

Considere las funciones siguientes y sus representaciones gráfica. En cada caso, y si existen, determine a partir de la gráfica los límites, o los valores de la función, que se indican.

1

(a): $lim_{x \to - 3^{+}} f (x)$
(b): $lim_{x \to - 1} f (x)$
(c): $lim_{x \to 2} f (x)$
(d): $f (- 1)$ ; $f (2)$
(e): $lim_{x \to + \infty} f (x)$

(a): $1$ .
(b): No existe.
(c): $2$ .
(d): $1; 1$ .
(e): $\infty$ .

2

(a): $lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $lim_{x \to - 3 ∕ 2} f (x)$
(c): $lim_{x \to 3 ∕ 2} f (x)$
(d): $f (3 ∕ 2)$
(e): $lim_{x \to + \infty} f (x)$

(a): $\infty$ .
(b): No existe.
(c): No existe.
(d): $3$ .
(e): $3$ .

3

(a): $lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $lim_{x \to - 2} f (x)$
(c): $lim_{x \to - 1} f (x)$
(d): $lim_{x \to 0} f (x)$
(e): $lim_{x \to 2} f (x)$
(f): $lim_{x \to 3} f (x)$
(g): $lim_{x \to + \infty} f (x)$

(a): $- 1$ .
(b): $0$ .
(c): $2$ .
(d): $1$ .
(e): $0$ .
(f): No existe.
(g): $0$ .

4

(a): $lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $lim_{x \to - 2} f (x)$
(c): $lim_{x \to - 1} f (x)$
(d): $lim_{x \to 0} f (x)$
(e): $lim_{x \to 1} f (x)$
(f): $lim_{x \to + \infty} f (x)$

(a): $2$ .
(b): No existe.
(c): $- 2$ .
(d): No existe.
(e): $2, 5$ .
(f): $2$ .

5

(a): $lim_{x \to - \infty} g (x)$
(b): $lim_{x \to - 3} g (x)$
(c): $lim_{x \to - 1} g (x)$
(d): $lim_{x \to 0} g (x)$
(e): $lim_{x \to 1} g (x)$
(f): $lim_{x \to 2} g (x)$
(g): $lim_{x \to + \infty} g (x)$

(a): $- \infty$ .
(b): $1$ .
(c): No existe.
(d): No existe.
(e): $- 2$ .
(f): $\infty$ .
(g): $\infty$ .

6

(a): $lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $lim_{x \to + \infty} f (x)$
(c): $lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$
(d): $lim_{x \to 0^{-}} f (x)$
(e): $lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
(f): $lim_{x \to 2^{+}} f (x)$
(g): $f (- 2)$
(h): $f (0)$

(a): $1$ .
(b): $\infty$ .
(c): $2$ .
(d): $1$ .
(e): $\infty$ .
(f): $- \infty$ .
(g): $1$ .
(h): $1$ .

Ejercicio4.4

Para cada uno de los siguientes casos, realice la representación gráfica de una función

f

que cumpla simultáneamente las condiciones dadas (solo es un bosquejo de la gráfica, no una fórmula).

1

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} = ℝ - {- 2, 3}$
b.): $lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = - \infty$
c.): $lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 3$
d.): $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = + \infty$
e.): $lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 3$
f.): $lim_{x \to - \infty} f (x) = 3$
g.): $lim_{x \to + \infty} f (x) = - 3$
h.): $f (0) = 0$

2

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} = ℝ -] 0, 1]$
b.): $lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$
c.): $lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$
d.): $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = + \infty$
e.): $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - 2$
f.): $lim_{x \to - 3^{-}} f (x) = + \infty$
g.): $lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = - \infty$
h.): $f (- 1) = f (3) = 0$

3

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} = [- 3, + \infty [$
b.): $lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = 1$
c.): $f (x) \neq 0, \forall x \in] 0, + \infty [$
d.): $f (x) = 2, \forall x \in [- 1, 1]$
e.): $lim_{x \to + \infty} f (x) = - 1$
f.): $lim_{x \to 3} f (x) = 1$
g.): $f (- 3) = f (3) = - 1$
h.): $lim_{x \to - 1}$ no existe.
i.): $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existe
j.): $\forall x_{0} \in [0, + \infty [$

Se omite

4

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} =] - 3, + \infty [- {- 2, 3}$
b.): $lim_{x \to 3} h (x) = 0$
c.): $lim_{x \to - 2^{-}} h (x) = 4$
d.): $lim_{x \to - 2^{+}} h (x) = 5$
e.): $lim_{x \to 2^{-}} h (x) = - \infty$

Se omite

Ejercicio5.1

Calcule

1: $lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + x sen x}{cos x - 1}$
$- 4$ .
2: $lim_{t \to 0} \frac{t - sen (2 t)}{t + sen (3 t)}$
$\frac{- 1}{4}$ .
3: $lim_{n \to 0} \frac{1 - {cos}^{3} n}{{sen}^{2} n}$
$\frac{3}{2}$ .
4: $lim_{x \to 1} \frac{sen (x - 1)}{\sqrt{x} - 1}$
$2 .$
5: $lim_{y \to 0} \frac{tan y - sen y}{{sen}^{3} y}$
$\frac{1}{2}$ .
6: $lim_{a \to 0} \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1 + cos a}}{{sen}^{2} a}$
$\frac{\sqrt{2}}{8}$ .
7: $lim_{z \to 0} \frac{sec (2 z) \cdot tan (3 z)}{4 z}$
$\frac{3}{4}$ .
8: $lim_{y \to 0} \frac{sec y - 1}{y^{3} csc y}$
$\frac{1}{2}$ .
9: $lim_{x \to 0} \frac{{tan}^{2} x + x^{2} cos x}{x tan x}$
$2 .$
10: $lim_{z \to 0} \frac{tan (3 z)}{8 z cos z}$
$\frac{3}{8}$ .
11: $lim_{x \to 1^{+}} ln (\frac{4}{sen (3 x - 3)})$
$\infty$ .
12: $lim_{z \to 0} \frac{sen z - tan z}{z^{2} \cdot sen (2 z)}$
$\frac{- 1}{4}$ .
13: $lim_{t \to 0^{-}} \frac{sen (2 t)}{2 cos (2 t) - 2}$
$\infty$ .
14: $lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{-}} [{(\frac{π}{4})}^{\frac{7}{tan (x)}} \cdot \frac{sen (2 x - 3 π)}{2 x - π}]$
$1 .$
15: $lim_{t \to - 4 π ∕ 3} \frac{sen t}{t}$
$\frac{- 3 \sqrt{3}}{8 π} \approx - 0, 206748$ .
16: $lim_{w \to π ∕ 4} \frac{sen w - cos w}{1 - tan w}$
$\frac{- \sqrt{2}}{2}$ .
17: $lim_{x \to π ∕ 2} \frac{cot x cos x}{1 - sen x}$
$2 .$
18: $lim_{β \to 0} \frac{sen 5 β}{β}$
$5 .$
19: $lim_{z \to 0} \frac{5 {sen}^{2} (3 z)}{2 z^{2}}$
$\frac{45}{2}$ .
20: $lim_{u \to 0^{+}} \frac{\sqrt{u}}{sen u}$
$\infty$ .
21: $lim_{y \to 1} \frac{y^{2} - 1}{sen (πy)}$
$\frac{- 2}{π} \approx - 0, 636620$ .
22: $lim_{x \to 0} {(\frac{2}{7})}^{cot | x |}$
$0 .$
23: $lim_{α \to π} \frac{1 - sen (α ∕ 2)}{π - α}$
$0 .$
24: $lim_{x \to - π ∕ 6} \frac{tan (x + π ∕ 6)}{6 x + π}$
$\frac{1}{6}$ .
25: $lim_{β \to 5 π ∕ 6} 3 sen β - 2 cos β$
$\frac{3}{2} + \sqrt{3} \approx 3, 23205$ .
26: $lim_{β \to π ∕ 2} sen (cos β) se c^{2} β$
$\infty$ izquierda, $- \infty$ derecha.
27: $lim_{w \to 0} (\frac{sec (w) - 1}{w^{2} csc (w)})$
0.
28: $lim_{u \to a} \frac{sen u - sen a}{u - a}$ con $a$ constante
$cos a$ .
29: $lim_{u \to a} \frac{cos u - cos a}{u - a}$ con $a$ constante
$- sen a$ .

Ejercicio6.1

Calcule cada uno de los límites siguientes

1: $lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2}$
$0$ .
2: $lim_{y \to - \infty} \frac{y^{3} - 2 y + 1}{y - 5} + \frac{y^{2} + 6}{y^{2} - y}$
$\infty$ .
3: $lim_{r \to - \infty} \frac{3 r + 2}{\sqrt{4 r^{2} - r + 1}}$
$- \frac{3}{2}$ .
4: $lim_{q \to \infty} \frac{e^{q} - e^{- q}}{2}$
$\infty$ .
5: $lim_{t \to \infty} ln (t^{2} - 4) - ln (4 t^{2} + 1)$
$- ln 4$ .
6: $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 14} + x}{\sqrt{x^{2} - 2} + x}$
$- 7$ .
7: $lim_{x \to + \infty} [\frac{2^{x} + 4^{x}}{3^{x} - 5^{x}} + \frac{| x + 1 | - 1}{x}]$
$1$ .
8: $lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + x + 3}{- x^{3} + 1}$
$0$ .
9: $lim_{z \to + \infty} \frac{3 z^{2} - 5 z + 1}{\sqrt[3]{z^{6} + 1} - z}$
$3$ .
10: $lim_{b \to + \infty} (\frac{b^{2}}{3 b + x} - \frac{b^{3}}{3 b^{2} - 4})$
$- \frac{x}{9}$ .
11: $lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2 x^{\frac{4}{3}} + 2 x - \frac{2}{3} \sqrt[3]{x^{5}}}$
$- \frac{9}{2}$ .
12: $lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - 6} - \sqrt{4 x^{2} - x})$
$- \frac{1}{4}$ .
13: $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{5} + 3 x^{7}}{2 x^{8}}$
$0$ .
14: $lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} - 2 x - 1} + x)$
$1$ .
15: $lim_{x \to + \infty} {(e)}^{\frac{x^{2} + x - 2}{4 x^{3} - 1}}$
$1$ .
16: $lim_{x \to + \infty} {(\frac{1}{3})}^{\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x + 1}}$
$0$ .
17: $lim_{x \to + \infty} 2^{\frac{35}{ln (x - 6)}}$
$1$ .
18: $lim_{x \to + \infty} \sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x$
$0$ .

2
Límites

1. Límite de una función en un punto

2Límites

1. Límite de una función en un punto

2
Límites