3 Funciones Continuas

3
Funciones Continuas

1. Continuidad

Continuidad. Condideremos las funciones

f, g : I \subseteq ℝ \to ℝ

y sea

x = c

un punto interior de

I

1

f

es continua en

x = c

lim_{x \to c} f (x) = f (c)

2

f

g

son continuas en

x = c

, entonces

(i): $kf (x)$ es continua en $c$ para todo $k \in ℝ$ ;
(ii): $f (x) + g (x)$ es continua en $c$ ;
(iii): $f (x) g (x)$ es continua en $c$
(iv): $\frac{f (x)}{g (x)}$ es continua en $c$ , siempre que el cociente esté definido, es decir, $g (c) \neq 0$ .

Ejemplo4

1

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}

es continua en

x = 1

pues

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = 0 = f (1)

2

f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} & si & x \neq - 1 \\ - 2 & si & x = - 1 \end{matrix}

es continua en

x = - 1

pues

lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = lim_{x \to - 1} x - 1 = - 2 = f (- 1)

3

Consideremos la función

f (x) = {\begin{matrix} - {(x - 2)}^{2}, & si x < 2 \\ a {(x - 2)}^{2} + b, & si 2 \leq x \leq 3 \\ 2 x + b - 2, & si x > 3 \end{matrix}

Determinar valores de $a$ y $b$ tal que la función sea continua en todo $ℝ$ .

Solución. En el widget podemos usar los deslizadores para ajustar los valores de $a$ y $b$ , con el propósito de que $f$ sea continua en todo $ℝ$ . Luego debenos justificar con un análisis formal.

Formalmente: Las tres funciones que conforman $f$ son continuas en todo $ℝ$ , así que para que $f$ sea continua en todo $ℝ$ solo necesitamos que empalmen en $x = 2$ y en $x = 3$ .

Formalmente: La tres funciones que conforman

f

son continuas en todo

ℝ

, así que para que

f

sea continua en todo

ℝ

solo necesitamos que empalmen en

x = 2

y en

x = 3

, es decir,

Ejercicio2.1

Determine si la función es continua en el valor dado de

c = - 1

: $g (x) = {\begin{matrix} 8 x - 5 & si & x < - 1 \\ 10 x - 2 x^{2} & si & x \geq - 1 \end{matrix}$

No, los límites laterales son distintos.

Ejercicio2.2

Determine el conjunto de valores de la variable donde la función es continua

1: $r (t) = {\begin{matrix} 6 - t & si & t < - 2 \\ 10 + t & si & - 2 \geq t < 1 \\ 5 + 6 t & si & t > 1 \end{matrix}$
$ℝ - {1}$
2: $h (y) = {\begin{matrix} \frac{y^{2} - 1}{y - 1} & si & y < - 1 \\ \frac{1}{y^{2} - 4} & si & - 1 < y < 3 \\ \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{y^{2} - 3 y - 4} & si & y \geq 3 \end{matrix}$
$ℝ - {- 1, 2, 3, 4}$

Ejercicio2.3

Encuentre los valores de

a

b

para que la función sea continua en

ℝ

1: $g (t) = {\begin{matrix} 2 & si & t \leq - 1 \\ at + b & si & - 1 < t \leq 3 \\ - 2 & si & t > 3 \end{matrix}$
$a = - 1$ , $b = 1$
2: $r (u) = {\begin{matrix} u + 1 & si & u \leq 0 \\ u^{2} + a & si & 0 < u \leq b \\ 7 - u & si & u > b \end{matrix}$
$a = 1$ , $b = 2$

Ejercicio2.4

A continuación se presentan ciertas afirmaciones, determine si cada una de ellas es verdadera o falsa, justicando su respuesta.

1

Sea

f

una función tal que

lim_{x \to 1} f (x)

existe, entonces necesariamente

f

debe estar definida en

x = 1 .

Falso.

2

Sean

f

g

funciones, si

lim_{x \to a} g (x) = 0

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}

existe, necesariamente

lim_{x \to a} f (x) = 0

Verdadero.

3

El límite

lim_{x \to 3} \frac{(a + 1) (x - 3)}{| 3 - x |}

existe únicamente si

a = - 1 .

Verdadero.

4

Sea g una función continua en

ℝ,

lim_{x \to 2} g (x) = 5,

entonces puede darse que

g (2) \neq 5

Falso.

5

f (x) = {\begin{matrix} \frac{sen (x + 4)}{2 x + 8} & si & x < - 4 \\ \frac{\sqrt{(} x + 8)}{4} & si & x > - 4 \end{matrix}

entonces

i.): El límite $lim_{x \to - 4} f (x)$ existe
ii.): $f$ es continua en $x = - 4$

i.) Verdadero. ii.) Falso.

Ejercicio2.5

Considere la función

f

definida por:

f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1} & si & x \neq \pm 1 \\ m & si & x = 1 \\ 1 & si & x = - 1 \end{matrix}

¿ Es $f$ continua en $x = - 1$ ?. ¿Cuánto debe valer $m$ para que $f$ sea continua en $x = 1$ ?

f

no es continua en

- 1

m = \frac{3}{2}

Ejercicio2.6

Considere la función

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 5 & si & x \leq k \\ x^{2} + 9 & si & x > k \end{matrix}

Determine el o los valores de $k,$ de modo que $f$ sea continua en $ℝ .$

k = 2

k = - 2

Ejercicio2.7

Para cada una de las siguientes funciones, halle el valor de

a

b

para que la función correspondiente sea continua en el valor de

x

que se indica.

a): En $x = 0$ , $g (x) = {\begin{matrix} \frac{sen (2 x)}{ax} & si & x < 0 \\ b & si & x = 0 \\ \frac{e^{ax}}{b} & si & x > 0 \end{matrix}$
b): En $x = 1$ , $h (x) = {\begin{matrix} \frac{x + 1}{a} & si & x < 1 \\ b & si & x = 1 \\ \frac{a^{2} x - 1}{1 + a} & si & x > 1 \end{matrix}$

a.: ( $a = 2$ y $b = 1$ ) ó ( $a = - 2$ y $b = - 1$ )
b.: $a = 2$ y $b = 1$ .

Ejercicio2.8

Considere las siguientes funciones:

$g (x) = {\begin{matrix} x^{2} + ax + b & si & x < 2 \\ 6 & si & x = 2 \\ 2 ax + 3 b & si & x > 2 \end{matrix}$ y

$f (x) = {\begin{matrix} c x^{2} + 4 & si & x < 6 \\ cx + b & si & x \geq 6 \end{matrix}$

Determine condiciones suficientes para

a, b

c

para que la función

f \circ g

sea continua en

x = 2 .

a = 0,

b = 2

c = \frac{- 1}{15}

Ejercicio2.9

Sea

f

una función continua en

ℝ

que cumple:

lim_{x \to 2} \frac{f (x)}{x - 2} = 6 y f (x) = 0 si y solo si x = 2

Considere la función: $g (x) = {\begin{matrix} \frac{a \cdot f (x)}{x^{2} - 5 x + 6} + 4 x & si & x < 2 \\ 2 & si & x = 2 \\ \frac{b \cdot sen (x - 2)}{f (x)} + a & si & x > 2 \end{matrix}$

Determine el valor de $a$ y $b$ para que $g$ sea continua en $ℝ .$

a = 1

b = 6

Ejercicio2.10

Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.

1

f (x) = {\begin{matrix} e^{x} & si & x < 1 \\ 4 & si & x = 1 \\ - x + e + 1 & si & x > 1 \end{matrix}

No en 1.

2

f (x) = {\begin{matrix} - x & si & x \leq - 1 \\ - x^{2} + 2 & si & - 1 < x < 1 \\ 2 & si & x \geq 1 \end{matrix}

No en 1.

3

f (x) = {\begin{matrix} - x & si & x \leq 0 \\ x^{2} & si & 0 < x < 1 \\ \sqrt{x} & si & x > 1 \end{matrix}

No en 1.

4

h (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 0 \\ 0 & si & x = 0 \\ ln x & si & x > 0 \end{matrix}

No en 0

Ejercicio2.11

Determine los valores de

a

c

(si es posible) de modo que

f

sea continua:

1

f (x) = {\begin{matrix} x + 2 c & si & x < - 2 \\ 3 ax + a & si & - 2 \leq x \leq 1 \end{matrix}

a = \frac{1}{2}

c = \frac{- 1}{4}

2

f (x) = {\begin{matrix} x - 1 & si & x < 1 \\ a & si & x = 1 \\ x^{2} + a & si & x > 1 \end{matrix}

No es posible.

3

f (x) = {\begin{matrix} - 3 sen x & si & x \leq - \frac{π}{2} \\ a sen x + c & si & - \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \\ cos x & si & x \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

a = \frac{- 3}{2}

c = \frac{3}{2}

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