4 Derivada de una funcion

Ejercicio2.1

Use la definición para calcular la derivada de

f

.

1: $f (x) = 1 - 3 x + x^{2}$ en $x = - 6$
$- 15 .$
2: $f (v) = \frac{2 v + 3}{v - 4}$ en $v = 3$
$- 11 .$
3: $f (v) = \sqrt{v + 3}$ en $v = 1$
$\frac{1}{4} .$
4: $f (y) = \sqrt{2 y^{2} - 5}$ en $y = 2$
$\frac{4}{\sqrt{3}} .$
5: $f (x) = 5 cos (x - π)$ en $x = π$
$0 .$
6: $f (r) = sen r - 3 cos r$ en $r = π ∕ 3$
$\frac{(1 + 3 \sqrt{3})}{2} .$
7: $g (x) = c x^{2} + bx + 1$
$g^{'} (x) = 2 cx + b$ .
8: $h (x) = \frac{- 1}{\sqrt{x + 1}}$
$h^{'} (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{3 ∕ 2}} .$
9: $g (x) = x + \sqrt{x}$
$g^{'} (x) = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}} .$
10: $h (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$
$h^{'} (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} .$

Ejercicio4.1

Calcule la derivada de las siguientes funciones

1: $f (x) = 2 x^{8} - 3 x^{5} + 5$
$f^{'} (x) = 16 x^{7} - 15 x^{4}$ .
2: $f (x) = 3 x^{4 ∕ 3} - 6 x^{2 ∕ 3} - 2$
$f^{'} (x) = 4 x^{1 ∕ 3} - 4 x^{- 1 ∕ 3}$ .
3: $g (z) = \sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}}$
$g^{'} (z) = \frac{1}{2 \sqrt{z}} + \frac{1}{2 z \sqrt{z}}$ .
4: $h (z) = 3 z + \frac{1}{z} - \frac{2}{z^{2}} + \frac{3}{\sqrt[3]{z}}$
$h^{'} (z) = 3 - z^{- 2} + 4 z^{- 3} - z^{- 4 ∕ 3}$ .
5: $f (s) = (s^{2} + s + 1) (s^{2} + 2)$
$f^{'} (s) = 4 s^{3} + 3 s^{2} + 6 s + 2$ .
6: $f (v) = (v^{2} + 2 v) (v + 1) - 6 v^{2} + 5$
$f^{'} (v) = 3 v^{2} - 6 v + 2$ .
7: $f (y) = \frac{6 \sqrt{y^{5}} - 9 \sqrt{y}}{3 \sqrt{y^{3}}}$
$f^{'} (y) = 2 + 3 y^{- 2}$ .
8: $f (t) = \frac{40 t^{5} - t^{3} \sqrt{t}}{5 t^{2} \sqrt{t}}$
$f^{'} (t) = 20 t^{3 ∕ 2} - \frac{1}{5}$ .
9: $f (x) = \frac{ax + b}{cx + d}$
$f^{'} (x) = \frac{(ad - bc)}{{(cx + d)}^{2}}$ .
10: $f (t) = t^{2} - \sqrt{3} + \frac{1}{3 - t}$
$f^{'} (t) = 2 t + {(\frac{1}{3 - t})}^{2}$ .
11: $f (r) = \frac{sen r}{1 + r} - \frac{cos r}{1 - r}$
$f^{'} (r) = \frac{[(1 + r) cos r - sen r]}{{(1 + r)}^{2}} - \frac{[- sen r (1 - r) - cos r]}{{(1 - r)}^{2}}$ .
12: $f (u) = (2 u - 5) \frac{u + 1}{u + 2}$
$f^{'} (u) = \frac{12 u^{2} + 8 u - 1}{{(u + 2)}^{2}}$ .
13: $f (p) = (1 - 2 p) (3 p + 2) (p^{2} + 1)$
$f^{'} (p) = - 24 p^{3} - 3 p^{2} - 8 p - 1$ .
14: $f (x) = \frac{2}{x + 1} (1 - \frac{3}{x + 1})$
$f^{'} (x) = \frac{10 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$ .
15: $f (t) = \frac{4 - \frac{1}{1 - t}}{t - 2}$
$f^{'} (t) = \frac{- 4 t^{2} + 6 t - 1}{{(1 - t)}^{2} {(t - 2)}^{2}}$ .
16: $f (u) = \frac{u + 1}{u - 1} \cdot \frac{u^{2} + 2}{5 + u}$
$f^{'} (u) = \frac{u^{4} + 8 u^{3} - 13 u^{2} - 14 u - 18}{{(u - 1)}^{2} {(5 + u)}^{2}}$ .
17: $f (r) = \frac{(4 r + 6) (2 + 3 r)}{r (1 - 2 r)}$
$f^{'} (r) = \frac{64 r^{2} + 48 r - 12}{r^{2} {(1 - 2 r)}^{2}}$ .
18: $g (x) = 2 x^{- 2} arctan x$
$g^{'} (x) = - 4 x^{- 3} arctan x + \frac{2 x^{- 2}}{x^{2} + 1}$ .
19: $g (x) = (arccos x) (arcsen x)$
$g^{'} (x) = \frac{arccos x - arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .
20: $h (x) = \frac{sen x}{1 + cos x}$
$h^{'} (x) = \frac{1}{1 + cos x}$ .
21: $f (u) = \frac{1 + ln u}{1 - ln u}$
$f^{'} (u) = \frac{2}{u {(1 - ln u)}^{2}}$ .
22: $f (u) = \frac{u ln u}{1 - e^{u}}$
$f^{'} (u) = \frac{1 + ln u + e^{u} (u ln u - ln u - 1)}{{(1 - e^{u})}^{2}}$ .
23: $f (z) = \sqrt[3]{z} ln z$
$f^{'} (z) = z^{- 2 ∕ 3} (1 + \frac{ln z}{3})$ .
24: $g (t) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$
$g^{'} (t) = \frac{- 4 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .
25: $g (t) = \frac{ln t}{t + 1}$
$g^{'} (t) = \frac{1 + t - t ln t}{t {(t + 1)}^{2}}$ .
26: $h (x) = \frac{tan x - 1}{sec x}$
$h^{'} (x) = cos x + sen x$ .
27: $h (z) = \frac{e^{z}}{arccos z}$
$h^{'} (z) = \frac{e^{z} (\sqrt{1 - z^{2}} arccos z + 1)}{\sqrt{1 - z^{2}} {(arccos z)}^{2}}$ .
28: $h (z) = \frac{arc cot z}{\sqrt{z}}$
$h^{'} (z) = \frac{- 1}{\sqrt{z} (1 + z^{2})} - \frac{arccot z}{2 z \sqrt{z}} .$

Ejercicio6.1

Calcule la derivada de las siguientes funciones

1: $f (y) = {[{(y^{2} + 3)}^{4} - 1]}^{3}$
$f^{'} (y) = 24 {[{(y^{2} + 3)}^{4} - 1]}^{2} \cdot {(y^{2} + 3)}^{3} \cdot y$ .
2: $f (𝜃) = sen (5 𝜃) {sec}^{2} (5 𝜃)$
$f^{'} (𝜃) = 5 sec (5 𝜃) + 10 {sen}^{2} (5 𝜃) {sec}^{3} (5 𝜃)$ .
3: $f (x) = {(\frac{x - 7}{x + 2})}^{3}$
$f^{'} (x) = 27 {(x - 7)}^{2} ∕ {(x + 2)}^{4}$ .
4: $f (t) = \frac{3 t^{4}}{\sqrt{t^{2} - 5 t}}$
$f^{'} (t) = \frac{18 t^{5} - 105 t^{4}}{2 \sqrt{t^{2} - 5 t^{3}}}$ .
5: $f (x) = \frac{ta n^{3} (x) - 1}{sen (x) + 2}$
$f^{'} (x) = \frac{3 {tan}^{2} (x) {sec}^{2} (x) (sin (x) + 2) - cos (x) ({tan}^{3} (x) - 1)}{{(sin (x) + 2)}^{2}}$
6: $f (x) = e^{2 x^{2} - 5 x + 3}$
$f^{'} (x) = (4 x - 5) e^{2 x^{2} - 5 x + 3}$ .
7: $f (q) = {(q - 3 e^{q ∕ 3})}^{5}$
$f^{'} (q) = 5 {(q - 3 e^{\frac{q}{3}})}^{4} (1 - e^{\frac{q}{3}})$ .
8: $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$
$f^{'} (x) = \frac{2 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .
9: $f (x) = ln (t \sqrt{t^{2} + 1})$
$f^{'} (x) = t^{- 1} + t {(t^{2} + 1)}^{- 1} .$
10: $f (p) = ln [\frac{(p^{3} - 1) e^{- p^{2}}}{\sqrt{1 - 5 p}}]$
$f^{'} (p) = 3 p^{2} {(p^{3} - 1)}^{- 1} - 2 p + 5 {(2 - 10 p)}^{- 1}$ .
11: $f (z) = \sqrt{1 + ln z} + ln (1 + \sqrt{z})$
$f^{'} (z) = \frac{1}{2} z^{- 1} {(1 + ln z)}^{\frac{- 1}{2}} + \frac{1}{2} z^{\frac{- 1}{2}} {(1 + \sqrt{z})}^{- 1}$ .
12: $f (x) = e^{3 x} g ({ln}^{2} x)$ , donde $g$ es derivable.
$f^{'} (x) = 3 e^{3 x} g ({ln}^{2} x) + 2 e^{3 x} g^{'} ({ln}^{2} x) \frac{ln x}{x} .$
13: $f (y) = {ln}^{2} (2 y + 6)$
$f^{'} (y) = \frac{2 ln (2 y + 6)}{(y + 3)} .$
14: $f (z) = {ln}^{2} [ln (2 z^{3} - 8 z)]$
$f^{'} (z) = \frac{2 ln (ln (2 z^{3} - 8 z)) (6 z^{2} - 8)}{[(2 z^{3} - 8 z) ln (2 z^{3} - 8 z)]} .$
15: $f (x) = \frac{e^{x} + tan (x + 1)}{sen (2 x)}$
$f^{'} (x) = \frac{sen (2 x) (e^{x} + {sec}^{2} (x + 1)) - 2 cos (2 x) (e^{x} + tan (x + 1))}{{sen}^{2} (2 x)}$
16: $f (w) = ln (\frac{\sqrt{w - 1}}{w^{3} cos (w^{2})})$
$f^{'} (w) = \frac{1}{2 (w - 1)} - \frac{3}{w} + \frac{sen (w^{2}) \cdot 2 w}{cos (w^{2})}$ .
17: $h (z) = {arccos}^{2} (\frac{e^{- z}}{z})$
$h^{'} (z) = 2 arccos (\frac{e^{- z}}{z}) \cdot \frac{- 1}{\sqrt{1 - {(\frac{e^{- z}}{z})}^{2}}} \cdot \frac{- z e^{- z} - e^{- z}}{z^{2}}$
18: $f (x) = {arctan}^{3} (ln (x^{2} + e^{x}))$
$f^{'} (x) = \frac{3 {arctan}^{2} (ln (x^{2} + e^{x})) \cdot (2 x + e^{x})}{(x^{2} + e^{x}) \cdot (1 + {ln}^{2} (x^{2} + e^{x}))} .$
19: $h (x) = ln (3^{g (x^{3} + 4)} + 1)$
$h^{'} (x) = \frac{3 ln 3 \cdot 3^{g (x^{3} + 4)} \cdot g^{'} (x^{3} + 4) \cdot x^{2}}{3^{g (x^{3} + 4)} + 1} .$
20: $f (x) = \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} (x + 3)}{{(4 x - 1)}^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} (x + 3)}{{(4 x - 1)}^{2}} (\frac{- 2 x}{1 - 2 x^{2}} + \frac{1}{x + 3} - \frac{8}{4 x - 1})$ .
21: $f (v) = \sqrt{\frac{{(v - 1)}^{3}}{(2 v + 7) {(5 - v)}^{2}}}$
$f^{'} (v) = \sqrt{\frac{{(v - 1)}^{3}}{(2 v + 7) {(5 - v)}^{2}}} (\frac{3}{2 v - 2} - \frac{1}{2 v + 7} + \frac{1}{5 - v})$
22: $f (t) = t^{ln t}$
$f^{'} (t) = 2 t^{ln t - 1} ln t .$
23: $f (w) = e^{w} w^{1 - w}$
$f^{'} (w) = e^{w} w^{1 - w} (w^{- 1} - ln w)$ .
24: $g (z) = sec (e^{1 - 2 z})$
$g^{'} (z) = - 2 e^{1 - 2 z} sec (e^{1 - 2 z}) tan (e^{1 - 2 z})$ .
25: $h (u) = e^{u sen u} + {ln}^{3} (3 - 2 u^{2})$
$h^{'} (u) = e^{u sen u} (sen u + u cos u) - \frac{12 u {ln}^{2} (3 - 2 u^{2})}{3 - 2 u^{2}}$ .
26: $h (u) = {cos}^{4} ⌊ sen (k u^{3}) ⌋$
$h^{'} (u) = - 12 k u^{2} {cos}^{3} ⌊ sen (k u^{3}) ⌋ sen ⌊ sen (k u^{3}) ⌋ cos (k u^{3})$
27: $g (u) = {ln}^{2} (sen u) + ln (1 - e^{2 u})$
$g^{'} (u) = 2 cot u ln (sen u) - \frac{2 e^{2 u}}{1 - e^{2 u}}$ .
28: $g (u) = ln (sec (u^{3}) + \tan (u^{3}))$
$g^{'} (u) = 3 u^{2} sec (u^{3})$ .

Ejercicio6.2

Si

f

es una función derivable, obtenga la derivada de las siguientes funciones

1: $y = \frac{f (ln z)}{z e^{z}}$
$y^{'} = \frac{f^{'} (ln z) - (1 + z) f (ln z)}{z^{2} e^{z}}$ .
2: $y = f (e^{- u}) e^{f (u)}$
$y^{'} = e^{f (u)} [f (e^{- u}) f^{'} (u) - e^{- u} f^{'} (e^{- u})]$ .
3: $y = f (w^{2 n}) - {[f (w)]}^{n}$
$y^{'} = 2 n w^{2 n - 1} f^{'} (w^{2 n}) - n {[f (w)]}^{n - 1} f^{'} (w) .$
4: $y = e^{4 w} f ({ln}^{3} w)$
$y^{'} = e^{4 w} [4 f ({ln}^{3} w) + \frac{3 {ln}^{2} w}{w} f^{'} ({ln}^{3} w)]$ .

Ejercicio8.1

Calcule el valor numérico que se indica

1

{(f \cdot g)}^{'} (2)

, dado que

f (2) = - 1

,

g (2) = 3

,

f^{'} (2) = 1

y

g^{'} (2) = - 2

{(f \cdot g)}^{'} (2) = 5

.

2

h^{'} (- 1)

, dado que

h (x) = x^{2} p (x)

,

p (- 1) = 4

y

p^{'} (- 1) = 2

h^{'} (- 1) = - 6

.

3

{(f ∕ g)}^{'} (5)

, dado que

f (5) = - 2

,

g (5) = - 1 ∕ 2

,

f^{'} (5) = 4

y

g^{'} (5) = 2

{(f ∕ g)}^{'} (5) = 8

.

4

q^{'} (4)

, dado que

q (x) = f (x) ∕ \sqrt{x}

,

f (4) = - 3

y

f^{'} (4) = 0

q^{'} (4) = \frac{3}{16}

.

5

Suponga que

f (5) = 4

,

g (5) = 2

,

f^{'} (5) = - 6

y

g^{'} (5) = 5

. Encuentre los valores de:

(a): ${(f + g)}^{'} (5)$
(b): ${(f \cdot g)}^{'} (5)$
(c): ${(f ∕ g)}^{'} (5)$
(d): ${(g ∕ f)}^{'} (5)$
(e): ${(\frac{f}{f - g})}^{'} (5)$ .

a): ${(f + g)}^{'} (5) = - 1$ .
b): $f \cdot g)^{'} (5) = 8$ .
c): ${(f ∕ g)}^{'} (5) = - 8$ .
d): $g ∕ f)^{'} (5) = 2$ .
e): ${(\frac{f}{f - g})}^{'} (5) = 8$ .

6

Dado que

q (6) = 2

,

p^{'} (2) = - 1

y

q^{'} (6) = 4

, determine:

{(p \circ q)}^{'} (6)

.

{(p \circ q)}^{'} (6) = - 4

.

7

Dado que

h (t) = \frac{f (3 - t)}{t}

donde

f

es alguna función con

f (1) = 3

y

f^{'} (1) = - 1

, determine:

h^{'} (2)

.

h^{'} (2) = - \frac{1}{4}

.

8

Dado que

h (x) = \sqrt{f (e^{x^{2} - x})}

,

f (1) = 4

y

f^{'} (1) = 6

, determine:

h^{'} (0)

.

h^{'} (0) = - \frac{3}{2}

.

9

Dado que

g (y) = ln f (2^{y})

,

f (1) = ln 2

y

f^{'} (1) = - 3

, determine:

g^{'} (0)

.

g^{'} (0) = - 3

.

10

Si

H (x) = f (g (x))

donde

g (3) = 6

,

g^{'} (3) = 4

y

f^{'} (6) = 7

, halle

H^{'} (3)

.

H^{'} (3) = 28

.

11

Sean

f

y

g

funciones derivables. Si

H (x) = 2 f (x) ln (g (x))

,

g (x) > 0

, determine

H^{'} (3)

dado que

g (3) = e

,

g^{'} (3) = - 2

,

f (3) = 3

y

f^{'} (3) = 1 ∕ 2

.

H^{'} (3) = \frac{e - 12}{e}

.

12

Sea

g

una función derivable tal que

g (1) = 3

y

g^{'} (1) = 2

. Determine:

a): $F^{'} (0)$ si $F (x) = g (e^{ax}) \cdot e^{- ax}$ , $a$ constante real.
b.): $H^{'} (0)$ si $H (x) = {[g (2^{x})]}^{2} \cdot 2^{- x}$ .

a): $F^{'} (0) = - a$ .
b): $H^{'} (0) = 3 ln 2$ .

13

Sea

f

una función derivable, entonces:

a): Si $x {[f (x)]}^{3} + xf (x) = 6$ y $f (3) = 1$ , hallar $f^{'} (3)$ .
b): Si ${[g (x)]}^{2} + 12 x = x^{2} g (x)$ y $g (4) = 12$ , hallar $g^{'} (4)$

a): $f^{'} (3) = \frac{- 1}{6}$ .
b): $g^{'} (4) = \frac{21}{2}$ .

14

Sean

f

y

g

funciones tales que

f (5) = 4

,

g (5) = 2

,

f^{'} (5) = - 6

y

g^{'} (5) = 5

. Determine

{(f \cdot g)}^{'} (5)

y

{(\frac{f}{f - g})}^{'} (5)

.

{(f \cdot g)}^{'} (5) = 8

y

{(\frac{f}{f - g})}^{'} (5) = 8

.

15

Sea

f

una función derivable tal que

h (x) = x^{2} f (x) + \frac{f (x)}{x}

. Si se sabe que

f (1) = 2

y

h^{'} (1) = 5

, encuentre

f^{'} (1)

.

f^{'} (1) = \frac{3}{2}

.

16

Sea

f

una función derivable tal que

x {[f (x)]}^{3} + xf (x) = 6

y

f (3) = 1

. Halle

f^{'} (3)

.

f^{'} (3) = \frac{- 1}{6}

.

Ejercicio10.1

Esta sección es para reforzar la teoría de derivación

1

Si

f

es una función derivable y

g

una función tal que

g (x) = xf (x)

, utilice la definición para demostrar que

g^{'} (x) = f (x) + x f^{'} (x)

.

Se omite.

2

Si

f

es una función derivable y

g

una función tal que

g (x) = 3 f^{2} (x)

, utilice la definición para demostrar que

g^{'} (x) = 6 f (x) f^{'} (x)

.

Se omite.

3

Encuentre una función

f

y un número real

a

tales que

lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{6} - 64}{h} = f^{'} (a)

.

a = 2

y

f (x) = x^{6}

.

4

Suponga que

f

es una función que satisface la ecuación:

f (x + y) = f (x) + f (y) + x^{2} y + x y^{2} \forall x, y \in ℝ

Suponga también que $lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1$ . Encuentre $f (0)$ , $f^{'} (0)$ y $f^{'} (x)$ .

f (0) = 0

,

f^{'} (0) = 1

y

f^{'} (x) = x^{2} + 1

.

5

Suponga que la función

h (x)

satisface

h^{'} (x) = - xh (x)

. Muestre que la función

y = xh (x)

satisface la ecuación:

x y^{'} = (1 - x^{2}) y

Se omite.

6

Sea

g

una función continua que cumple

g^{'} (x) = \frac{1}{x}

. Muestre que

y = \frac{1}{1 + x + g (x)}

cumple la ecuación diferencial

x y^{'} = y (yg (x) - 1)

.

Se omite.

7

Verifique que si

f (x) = arctan (\frac{x + 1}{1 - x}) - arctan x

, entonces

f^{'} (x) = 0 .

Se omite.

8

Sea

f : ℝ - {0} \to ℝ

derivable tal que

f^{'} (x) = f (\frac{1}{x})

para todo

x \neq 0 :

a): Verifique que $f^{″} (x) = f (x) \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .
b): Hallar condiciones sobre $a$ , $b$ , $c$ tales que $a x^{2} \cdot f^{″} (x) + bx \cdot f^{'} (x) + c \cdot f (x) = 0$ donde $a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0$ .

a): Se omite.
b): $a = c$ , $b = 0$ .

9

Si

f

es una función tal que

f^{'} (x) = e^{- 2 x}

y

u = ln (x^{2})

, utilice la regla de la cadena para demostrar que

\frac{d}{dx} [f (u)] = \frac{2}{x^{5}}

.

Se omite.

10

Encuentre

f^{'} (x)

si se sabe que

\frac{d}{dx} [f (2 x)] = x^{2}

.

f^{'} (x) = \frac{x^{2}}{8}

.

Ejercicio12.1

Calcule la derivada que se solicita.

1: $\frac{dz}{dx}$ en $(- 3, 0)$ , dado $x^{2} z + x z^{2} = 3 x + 9$ .
$\frac{1}{3}$ .
2: $\frac{dx}{dt}$ en $(4, - 4)$ , dado $x + t + e^{x + t} = 1$
$- 1$ .
3: $\frac{dz}{dw}$ , dado $z^{2} = ln (w + z)$
$z^{'} = \frac{1}{2 z (w + z) - 1}$ .
4: $\frac{dx}{dy}$ , dado $4 x ln (2 x + y) = 4$
$x^{'} = \frac{- x}{[ln (2 x + y) (2 x + y) + 2 x]}$ .

Ejercicio12.2

Suponga que la ecuación

e^{y} = y^{2} \cdot e^{x}

define a

y

como función de

x

. Determine

\frac{dy}{dx}

y

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

. En ambos casos exprese su respuesta sólo en términos de

y

.

\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y - 2}

y

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{- 2 y}{{(y - 2)}^{2}}

.

Ejercicio12.3

Sabiendo que las ecuaciones siguientes definen a

y

como función implícita de la variable

x

, obtenga

y^{'}

.

1: $x^{3} - sen y + x {ln}^{2} y = y e^{2 x}$
$y^{'} = \frac{2 y^{2} e^{2 x} - 3 x^{2} y - y {ln}^{2} y}{2 x ln y - y cos y - y e^{2 x}}$ .
2: $x + cos x + x y^{2} = e^{y}$
$y^{'} = \frac{sen x - y^{2} - 1}{2 xy - e^{y}}$ .
3: $x + e^{xy} - y^{3} - y = 3$
$y^{'} = \frac{y e^{xy} + 1}{1 + 3 y^{2} - x e^{xy}}$ .

Ejercicio14.1

Calcule la primera derivada de cada una de las funciones siguientes:

1: $f (x) = {(x + 1)}^{x^{2}}$
$f^{'} (x) = (2 x ln (x + 1) + \frac{x^{2}}{x + 1}) {(x + 1)}^{x^{2}}$
2: $g (x) = \sqrt{{(2 x)}^{x}}$
$g^{'} (x) = \frac{2^{x - 1} x^{x} (ln (2 x) + 1)}{\sqrt{{(2 x)}^{x}}}$
3: $h (x) = {(x^{3} + x)}^{3 x - 2}$
$h^{'} (x) = (3 ln (x^{3} + x) + \frac{(3 x^{2} + 1) (3 x - 2)}{x^{3} + x}) {(x^{3} + x)}^{3 x - 2}$

Ejercicio14.2

Utilice la derivación logarítmica para calcular la primera derivada de cada una de las funciones siguientes:

1: $y = \frac{{(x + 3)}^{2}}{e^{x} \cos (x)}$
$y^{'} = \frac{(x + 3) [sen (x) \cdot (x + 3) - cos (x) \cdot (x + 1)]}{e^{x} {cos}^{2} (x)}$
2: $h (x) = \frac{x^{\frac{3}{4}} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(3 x + 2)}^{5}}$
$h^{'} (x) = \frac{(- 39 x^{3} + 14 x^{2} - 51 x + 6) \sqrt{x^{2} + 1}}{4 \sqrt[4]{x} (x^{2} + 1) {(3 x + 2)}^{6}}$
3: $f (x) = \frac{x^{2} (x^{3} - 2)}{{(5 x^{3} + 1)}^{2}}$
$f^{'} (x) = - \frac{x (5 x^{6} - 45 x^{3} + 4)}{{(5 x^{3} + 1)}^{3}}$

Ejercicio16.1

Calcule la derivada que se indica.

1: $\frac{d^{3} z}{d q^{3}}$ si $z = e^{1 - 4 q}$
$z^{‴} = - 64 e^{1 - 4 q}$ .
2: $\frac{d^{2} x}{d s^{2}}$ si $x = \frac{1 - 2 s}{1 + 2 s}$
$x^{″} = 16 {(1 + 2 s)}^{- 3}$ .
3: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ en $(- 1, 4)$ si $x^{2} - xy = 5$
$y^{″} = 10$ .
4: $y^{‴}$ si $y = \frac{1 - x}{1 + x}$ ,
$y^{′′′} = - 12 {(x + 1)}^{- 4}$ .
5: $y^{″}$ si $y^{3} + 3 x + 7 = 6 y$
$y^{′′} = \frac{2 y}{{(2 - y^{2})}^{3}}$ .
6: $y^{″}$ si $2 y - y ln y = 3 x + 2$
$y^{′′} = \frac{9}{y {(1 - ln y)}^{3}}$ .

Ejercicio18.1

Una ecuación diferencial es aquella en que interviene una función desconocida y sus derivadas.
Resuelva los siguientes problemas relativos a ecuaciones diferenciales.

1: Considere la ecuación $f^{″} (x) + 4 \cdot f^{'} (x) + 4 \cdot f (x) = 0$ . Pruebe que $f (x) = (3 x - 5) e^{- 2 x}$ satisface la ecuación anterior.
Se omite.
2: Halle las constantes $A$ , $B$ y $C$ tales que la función $y = A x^{2} + Bx + C$ satisfaga la ecuación: $y^{″} + y^{'} - 2 y = x^{2}$
A = B = $\frac{- 1}{2}$ y C = $\frac{- 3}{4}$ .

Ejercicio18.2

Sea

F (x) = f (x) \cdot g (x)

, donde

f

y

g

tienen derivadas de todos los órdenes.

1: Demuestre que $F^{″} (x) = f^{″} (x) \cdot g (x) + 2 f^{'} (x) g^{'} (x) + f (x) g^{″} (x)$ .
Se omite.
2: Encuentre fórmulas similares para $F^{‴} (x)$ y $f^{(4)} (x)$ .
a) $F^{′′′} (x) = f^{′′′} (x) \cdot g (x) + 3 f^{′′} (x) \cdot g^{'} (x) + 3 f^{'} (x) \cdot g^{′′} + f (x) \cdot g^{′′′}$ .

b) $F^{(4)} (x) = f^{(4)} (x) \cdot g (x) + 4 f^{′′′} (x) \cdot g^{'} + 6 f^{′′} (x) \cdot g^{′′} (x) + 4 f^{'} (x) \cdot g^{′′′} (x) + f (x) \cdot g^{4} (x) .$

Ejercicio18.3

Verifique que la función

y = e^{2 x} + x e^{2 x}

satisface la ecuación

y^{″} - 4 y^{'} + 4 y = 0

.

Se omite.

Ejercicio18.4

Verifique que la función

y = \frac{1}{2} sen x - \frac{1}{2} cos x + 10 e^{- x}

satisface la ecuación

\frac{dy}{dx} + y = sen x

.

Se omite.

Ejercicio18.5

Verifique que la función

g (x) = \frac{sen (πx)}{x}

satisface la siguiente igualdad:

g^{″} (x) + \frac{2}{x} g^{'} (x) = - π^{2} g (x)

Se omite.

Ejercicio18.6

Pruebe que para

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}

se cumple que

(4 x^{3} + 4 x) y^{″} = 4 y^{'} (1 - 3 x^{2})

.

Se omite.

Ejercicio18.7

De un polinomio de tercer grado

Q (x)

se sabe que

Q (1) = 0

,

Q^{'} (1) = 2

,

Q^{″} (1) = 4

y

Q^{‴} (1) = 12

. Calcular

Q (2)

(Sugerencia: Sea

p (x) = a x^{3} + b x^{2} + cx + d

).

Q (2) = 6 .

4
Derivada de una función

1. Derivadas: Interpretación Geométrica

3. Cálculo de derivadas

5. Regla de la cadena

7. Valor Numérico

9. Conceptos teóricos

11. Derivación implícita

13. Derivación logarítmica

15. Derivadas de orden superior

17. Otros ejercicios

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