5 Aplicaciones de la derivada

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Aplicaciones de la derivada

1. Extremos locales

En un entorno

I_{c}

x = c

si para todo $x \in I_{c}$ , $f (x) \geq f (c)$ , entonces $f (c)$ es el valor mínimo de $f$ en $I_{c}$ . Decimos que $(c, f (c))$ es mínimo local.
si para todo $x \in I_{c}$ , $f (x) \leq f (c)$ entonces $f (c)$ es el valor máximo de $f$ en $I_{c}$ . Decimos que $(c, f (c))$ es un máximo local.

Figura 5.1: Extremos locales de

f

I_{a}

1

Un punto

x = c

se dice punto crítico de

f

f^{'} (c) = 0

Figura 5.2: Extremos locales en puntos críticos

2

Problema: hallar el valor máximo y/o el valor mínimo de una función continua

f

en un intervalo

[a, b]

(a)

f

tiene un máximo y un mínimo en

[a, b]

(b)

Para determinar el valor máximo o mínimo en

[a, b]

se debe examinar

i.: los puntos críticos de $f$
ii.: los extremos $x = a$ y $x = b$
iii.: los puntos en $[a, b]$ donde la derivada no esta definida

3

La segunda derivada, si no se anula en un punto crítico

x = c

, decide el signo de

f (x) - f (c)

en un entorno

I_{c}

, por eso nos ayuda a decidir si

(c, f (x))

es un mínimo local o un máximo local.

La idea es que el signo de $f (x) - f (c)$ decide si se trata de un máximo un mínímo local y usamos el hecho de que

f (x) - f (a) = {(x - a)}^{2} (\frac{1}{2} f^{″} (a) + 𝜀 (x)), donde 𝜀 (x) = \frac{R (x)}{{(x - a)}^{2}} \to 0 si x \to a

Es decir,

si $f^{″} (c) > 0$ , $(c, f (x))$ es un mínimo local
si $f^{″} (c) < 0$ , $(c, f (x))$ es un máximo local

En el widget podemos mover el punto con el deslizador y efectivamente ver como $P_{2} = \frac{1}{2} f^{″} (c) {(x - c)}^{2}$ decide el signo de $f (x) - f (c)$ : o es $< 0$ o es $> 0$ en un torno suficientemente pequeño de $x = c$ .

Test de la segunda derivada

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

Ejemplo5Un problema de optimización

Hallar las dimensiones del trapecio isósceles de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio $4$ .

Solución.

Primero vamos a ver la situación con un widget: Arrastrando el deslizador podemos ver que hay un valor de $a$ para el que el área es máxima.

Optimización del trapecio

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte

Ahora vamos a hacer el cálculo formal de ese valor de $a$ en el que el área es máxima.

1

Modelo geométrico. Colocamos el semicírculo con centro en

(0, 0)

y radio

R = 4

, ecuación

x^{2} + y^{2} = 16

y \geq 0

. El trapecio isósceles tiene base mayor horizontal sobre el diámetro, base menor paralela arriba y vértices sobre la semicircunferencia.

2

Parámetro. Sea

2 x

la longitud de la base menor (

0 < x < 4

), entonces la altura

h

viene dada por

h = \sqrt{16 - x^{2}} .

3

Función área. Base mayor =

2 R = 8

. Área del trapecio:

A (x) = \frac{(base mayor + base menor)}{2} \cdot h = \frac{(8 + 2 x)}{2} \cdot \sqrt{16 - x^{2}} = (4 + x) \sqrt{16 - x^{2}} .

4

Optimización. Derivamos

A (x)

y simplificamos:

A^{'} (x) = \sqrt{16 - x^{2}} + (4 + x) \cdot \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{16 - x^{2} - x (4 + x)}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{16 - 4 x - 2 x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} .

Igualamos $A^{'} (x) = 0$ (numerador = 0):

2 x^{2} + 4 x - 16 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0 .

Solución positiva: $x = \frac{- 2 + \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$ .

5

Dimensiones del trapecio óptimo. Con

x = 2

\begin{aligned} Base menor & = 2 x = 4, \\ Base mayor & = 8, \\ Altura & = h = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} . \end{aligned}

6

Área máxima.

A_{máx} = (4 + 2) \cdot 2 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} .

Ejemplo6Extremos locales de

f

Determinar los extremos locales y la concavidad de $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 5$ en todo $ℝ$

1

Cálculo de las derivadas

\begin{aligned} f^{'} (x) & = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x - 2) (x + 1) \\ f^{″} (x) & = 12 x - 6 = 6 (2 x - 1) \end{aligned}

2

Puntos críticos y posible punto de inflexión

f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 1 y x = 2 f^{″} (x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

3

Tabla de signos de

f^{'} (x)

f^{″} (x)

−−12++0−−0+−−0++11−− ∞ 1∞ ∩ ∩∪∪22 1 155ffx′(′′fx(x))
2

4

Conclusiones

Máximo local: $(- 1, 12)$
Mínimo local: $(2, - 15)$
Punto de inflexión: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$
Concavidad:
- $f^{″} (x) < 0$ para $x < \frac{1}{2}$ : cóncava hacia abajo $\cap$
- $f^{″} (x) > 0$ para $x > \frac{1}{2}$ : cóncava hacia arriba $\cup$

Ejemplo7Un problema de relaciones relacionadas

1

Una escalera de 4 m de longitud está apoyada en una pared vertical. Su extremo inferior resbala, alejándose de la pared a 25 cm/s. ¿A qué velocidad aumenta el ángulo entre la pared y la escalera cuando el extremo superior está 2 m sobre el suelo?

Solución. La pared y el suelo están en ángulo recto, entonces el contexto es el de un triángulo rectangulo. Sea $𝜃$ el ángulo entre la pared vertical y la escalera. Como la escalera mide $4$ m,

sen 𝜃 = \frac{x}{4} .

Ahora solo debemos derivar. En el widget se puede ver una animación del problema y en el "widget ampliado" se muestra una solución más ilustrativa. También tenemos una solución más abajo

La escalera resbala

Ventana independiente ampliada widget con la solución

Sea

𝜃

el ángulo entre la pared vertical y la escalera. Como la escalera mide

4

sen 𝜃 = \frac{x}{4} .

Derivando respecto al tiempo $t$ ,

cos 𝜃 \frac{d𝜃}{dt} = \frac{1}{4} \frac{dx}{dt} .

El extremo inferior se aleja de la pared a $25 cm/s$ , es decir,

\frac{dx}{dt} = 0.25 m/s .

Cuando el extremo superior está a $2$ m del suelo, $y = 2$

Como

cos 𝜃 = \frac{y}{4},

se tiene

cos 𝜃 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .

Sustituyendo,

\frac{1}{2} \frac{d𝜃}{dt} = \frac{1}{4} (0.25) .

Por tanto,

\frac{1}{2} \frac{d𝜃}{dt} = 0.0625,

y entonces

\frac{d𝜃}{dt} = 0.125 .

Por lo tanto, el ángulo aumenta a razón de

\frac{1}{8} rad/s

o equivalentemente,

0.125 rad/s .

2. Movimiento rectilíneo

Ejercicio3.1

Un objeto se lanza hacia arriba desde cierta altura, y

t

segundos después su altura, en metros, es

h (t) = 40 + 6 t - 4, 9 t^{2}

1: Calcule su velocidad promedio durante el primer segundo.
$1.1 m ∕ s$ .
2: Calcule su velocidad promedio durante el intervalo $[1, 2]$ .
$- 8.7 m ∕ s$ .
3: Calcule su velocidad promedio durante el intervalo $[1, 1.01]$ .
$- 3.849 m ∕ s$ .
4: ¿Cuál es su velocidad instantánea $1$ s después de ser lanzado?
$3.8 m ∕ s$ .
5: ¿Con qué velocidad golpea el suelo?
$- 28.6356 m ∕ s$ .

Ejercicio3.2

Una piedra se deja caer desde un puente de

150

m de altura, y

t

segundos después su altura, en metros, es

h (t) = 150 - 4.9 t^{2}

1: Calcule su velocidad promedio para $3 \leq t \leq 4$ .
$- 34.3 m ∕ s$ .
2: Calcule su velocidad promedio para $3 \leq t \leq 3.1$ .
$- 29.89 m ∕ s$ .
3: Calcule su velocidad promedio para $3 \leq t \leq 3.001$ .
$- 29.4049 m ∕ s$ .
4: ¿Cuál es su velocidad instantánea a los tres segundos?
$- 29.4 m ∕ s$ .
5: ¿Con qué velocidad golpea el suelo?
$- 54.2218 m ∕ s$ .

Ejercicio3.3

Un objeto se deja caer desde cierta altura

h_{0}

, en metros sobre el suelo, y

t

segundos después su altura, en metros, es

h (t) = h_{0} - 4.9 t^{2}

.Al caer al suelo su velocidad es de

- 15

m/s.¿Desde que altura se dejó caer?

h_{0} = 11.4796

Ejercicio3.4

Un automóvil se dirige hacia una pared. El conductor aplica los frenos y

t

segundos después la distancia entre el automóvil y la pared es

d (t) = 40 - 18 t + 2 t^{2}

1: ¿Cuál es la velocidad del automóvil $t$ segundos después de aplicar los los frenos?
$(18 - 4 t) m ∕ s$ .
2: ¿Cuánto tiempo tardaría en deternerse si no choca antes?
$4.5 s$ .
3: ¿Cuánto tiempo tardaría en chocar con la pared si no se detiene antes?
$4 s$ .
4: ¿Chocará con la pared?
Sí, porque tarda menos en chocar que en detenerse.

Ejercicio3.5

El espacio recorrido por un móvil viene dado por la ecuación

s (t) = 7 t + 25

. Compruebe que la velocidad media es constante en cualquier intervalo.

v_{m} = 7

4. Rectas tangentes y rectas normales

Ejercicio5.1

Encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva:

f (x) = 1 - x^{2}

, en el punto

(2, - 3)

. Grafique la parábola y sus respectivas rectas tangente y la normal.

Recta tangent:

y = - 4 x + 5

. Recta normal:

4 y = x - 14

Ejercicio5.2

Encuentre una parábola que tenga la ecuación

f (x) = a x^{2} + bx

, cuya recta tangente en el punto

(1, 1)

tenga por ecuación

y = 3 x - 2

f (x) = 2 x^{2} - x

Ejercicio5.3

¿Para qué valores de

a

b

la recta

2 x + y = b

es tangente a la parábola

f (x) = a x^{2}

cuando

x = 2

Parábola:

f (x) = \frac{- x^{2}}{2}

. Recta tangente:

2 x + y = 2

Ejercicio5.4

Verifique que la recta

y = - x

es tangente a la curva con ecuación

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x

. Determine el o los puntos

P

de tangencia y encuentre la ecuación de la recta normal a la curva en el punto

P

Hay dos puntos de tangencia para la recta dada:

P (3 - 3)

Q (1, 3)

. Las rectas normales, respectivamente son:

y = x - 6

y = x + 2

. La recta tangente en

Q

es:

y = - x + 4

Ejercicio5.5

Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva

f (x) = x ln x

que sea paralela a la recta

2 x - 2 y + 3 = 0

. ¿En cuál punto la gráfica de

f (x)

posee una recta tangente horizontal?

Recta normal:

y = x - 3 e^{- 2}

. Recta tangente horizontal en:

P (e^{- 1}, - e^{- 1})

Ejercicio5.6

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado:

w = \frac{1}{\sqrt{2 u + 5}}

u = - 2

w - 1 = - (u + 2)

Ejercicio5.7

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

1: $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ en $x = 8$ .
$y - \frac{1}{4} = - \frac{1}{18} (x - 8)$ .
2: $y = sen x + 2 cos x$ en $x = π ∕ 2$ .
$y - 1 = - 2 (x - \frac{π}{2})$ .

Ejercicio5.8

Encuentre los puntos donde la recta tangente a

y = 4 u^{2} - 5 u + 6

es paralela a la recta con ecuación

y = 7 u - 2

(\frac{3}{2}, \frac{15}{2}) .

Ejercicio5.9

Encuentre los puntos donde la recta tangente a

y = \frac{2 x}{{(3 - x)}^{2}}

es paralela a la recta con ecuación

10 x - y = 5

(2, 4)

Ejercicio5.10

Encuentre los puntos donde la recta tangente a

y = e^{u^{2} + 2 u}

es horizontal.

(- 1, e^{- 1}) .

Ejercicio5.11

Encuentre la ecuación de la recta tangente a

3 x^{2} + 5 y^{2} = 48

(- 1, 3)

. (La ecuación anterior representa una elipse,

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}

donde

a

b

son los semiejes).

y - 3 = \frac{1}{5} (x + 1) .

Ejercicio5.12

Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{6} = 0

(3, - 2)

. (la ecuación anterior representa una hipérbola).

y + 2 = \frac{9}{4} (x - 3) .

Ejercicio5.13

Halle los puntos de la curva

f (x) = x^{3} - 3 x + 5

en los que la recta tangente es perpendicular a la recta

y = - \frac{x}{9}

. ¿En cuáles puntos la gráfica de

f

posee rectas tangentes horizontales?

La recta tangente es perpendicular a la recta

y = - \frac{x}{9}

(- 2, 3)

(2, 7)

. Posee rectas tangentes horizontales en

(1, 3)

(- 1, 7) .

Ejercicio5.14

Determine la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto donde

x = 0

, donde su ecuación es

y = (2 x + 1) {(x^{2} + 3 x + 1)}^{1 ∕ (x + 1)}

5

Ejercicio5.15

Sea

f (x) = (x^{3} - 4 x^{2}) g (x)

. Se sabe que la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación

y = g (x)

en el punto de tangencia

(- 2, 5)

y = \frac{x}{4} + 5

. Determine

f^{'} (- 2)

236.

Ejercicio5.16

Sea

y = f (x)

definida por

f (x) = x^{2} + 3 ln (x + 3)

. Determinar la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa

x = 0

. Verificar que la curva tiene otra recta tangente paralela a la recta anterior y determinarla.

y = x + 3 ln 3

.
La segunda recta tangente:

y = x + \frac{35}{4} - ln 8

Ejercicio5.17

Sea

g (x) = {[f (x)]}^{4}

donde

f

es una función derivable en

ℝ

tal que

f^{'} (1) = - \frac{1}{2}

f (1) = \frac{1}{2}

. Calcule una ecuación para la recta tangente a la gráfica de

g

x = 1

y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{16}

Ejercicio5.18

Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse

x^{2} + 4 y^{2} = 36

que pasan por el punto

(12, 3)

y = 3

y = \frac{2}{3} x - 5

Ejercicio5.19

Hallar la derivada de la función

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 & si & x & \geq & - 1 \end{matrix}

y, si existe, hallar la ecuación de la recta tangente en $x = - 1$ .

f_{-}^{'} (- 1) \neq f_{+}^{'} (- 1)

6. L’Hôpital y formas indeterminadas

Ejercicio7.1

Calcule cada uno de los límites siguientes e indique la forma indeterminada que se presenta.

1

lim_{x \to 1} \frac{1 - x + ln x}{x^{3} - 3 x + 2}

\frac{- 1}{6}

2

lim_{x \to 0} \frac{2 sen (\frac{π}{4} - x) - \sqrt{2}}{x}

- \sqrt{2}

3

lim_{v \to π ∕ 2} sen (cos v) sec v

1

4

lim_{r \to 0^{+}} (e^{r} - 1) ln r

0

5

lim_{r \to π ∕ 2} r tan r - \frac{π}{2} sec r

- 1

6

lim_{q \to 0} q^{(\frac{3}{4 + ln q})}

e^{3}

7

lim_{t \to {(π ∕ 2)}^{-}} {(tan t)}^{2 t - π}

1

8

lim_{𝜃 \to {(π ∕ 2)}^{-}} {(sen 𝜃)}^{sec 𝜃}

1

9

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{r}{n})}^{nt}

con

r

t

constantes,

t > 0

e^{rt}

10

lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - x}{{sen}^{2} (2 x)}

\frac{1}{4}

11

lim_{x \to 1} (\frac{1}{ln x} - \frac{1}{x - 1})

\frac{1}{2}

12

lim_{z \to + \infty} (z e^{1 ∕ z} - z)

1

13

lim_{x \to {(π ∕ 2)}^{+}} {(x - π ∕ 2)}^{cos x}

1

14

lim_{x \to + \infty} {(\frac{x}{x + 1})}^{x}

e^{- 1}

15

lim_{x \to 0} \frac{ln (1 + x^{2})}{cos (3 x) - e^{- x}}

0

16

lim_{x \to 1} \frac{sen (x - 1)}{ln (2 x - 1)}

\frac{1}{2}

17

lim_{x \to 0} (arcsen x) (csc x)

1

18

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2} sec x})

\frac{1}{2}

19

lim_{x \to 0^{+}} x ln (sen x)

0

20

lim_{x \to 0} {(cos (2 x))}^{1 ∕ x^{2}}

e^{- 2}

21

lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{2 x})}^{x^{2}}

+ \infty

22

lim_{x \to 0} \frac{x - tan x}{x - sen x}

- 2

23

lim_{x \to 0} \frac{sen (kx) + tan (nx)}{arctan (nx)}, n \neq 0

\frac{k + n}{n}

24

lim_{y \to 0} {(e^{2 y} - y)}^{y^{- 1}}

e

25

lim_{x \to + \infty} \frac{- 1}{x^{2} {sen}^{2} (\frac{2}{x})}

\frac{- 1}{4}

26

lim_{x \to + \infty} (x - 1) sen (\frac{πx}{x - 1})

- π

27

lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - (1 + x)}{x^{n}}, n = 1, 2, 3, . . .

a): Si n = 1 entonces $lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - (1 + x)}{x^{n}} = 0$ .
b): Si n = 2 entonces $lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - (1 + x)}{x^{n}} = \frac{1}{2}$ .
c): Si n $\geq 3$ entonces $lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - (1 + x)}{x^{n}} = + \infty$ .

8. Conceptos teóricos

Ejercicio9.1

Halle el error en los procedimientos siguientes:

1: $lim_{x \to 0} \frac{sen x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{cos x}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{- sen x}{2}$
Se omite.
2: $lim_{x \to + \infty} x cos (\frac{1}{x}) = lim_{x \to + \infty} \frac{cos (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{sen (\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}} = lim_{x \to + \infty} sen (\frac{1}{x}) = 0$ .
Se omite.

Ejercicio9.2

Sean

a

b

c

constantes tales que

lim_{x \to 0} \frac{a x^{2} + sen (bx) + sen (cx) + sen (dx)}{3 x^{2} + 5 x^{4} + 7 x^{6}} = 8

. Encuentre el valor de

a + b + c + d

a + b + c + d = 24

Ejercicio9.3

¿Para qué valores de

a

b

es verdadera la ecuación siguiente?

lim_{x \to 0} (\frac{sen (2 x)}{x^{3}} + a + \frac{b}{x^{2}}) = 0

a = \frac{4}{3}

b = - 2

Ejercicio9.4

¿Para qué valor de

a

es verdadera la ecuación siguiente?

lim_{x \to + \infty} {(\frac{x + a}{x - a})}^{x} = e

a = \frac{1}{2}

Ejercicio9.5

Sea

f (x) = {\begin{matrix} {| x |}^{x} & si & x & \neq & 0 \end{matrix}

. Verifique que

f

es continua en

x = 0

Se omite.

10. Tasas de cambio relacionadas

Ejercicio11.1

Resolver los siguientes problemas sobre tasas relacionadas:

1

Un hombre está parado en el borde de un muelle, remolcando hacia sí con una cuerda una lancha. él recoje la cuerda a 40 cm/s, y sus manos se mantienen 2 m más altas que el punto en que la cuerda está atada a la lancha. ¿A qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando le faltan 3 m para llegar?

Se acerca a 0,480740 m/s.

2

Una piedra cae en una laguna, creando una onda circular que cree centrada en el punto de contacto. El radio de la onda aumenta a 30 cm/s. ¿A qué velocidad crece el área del círculo encerrado por la onda cuando su radio es 1 m?

Crece 18849,6 cm

^{2}

/s.

3

Una esfera de hielo se derrite de manera tal que su superficie decrece a 2 cm

^{2}

por minuto. ¿A qué velocidad disminuye el radio de la esfera cuando es 15 cm?

Disminuye 0,00530516 cm/min.

4

Un tanque cónico tiene su vértice abajo, y mide 2 m de altura y 2 m de radio en la parte superior. Por su extremo inferior está saliendo agua a razón de 25 m

^{3}

por segundo. Al mismo tiempo, al tanque le entra agua por su parte superior a una tasa constante de litros por segundo. Si el nivel de agua desciende a 5 m/s cuando es igual a un metro, ¿A qué tasa le está entrando agua al tanque?

Entran 9,29204 L/s.

5

Una canoa de desagüe mide tres metros de largo, y sus extremos son triángulos isósceles de 10 cm de altura y 10 cm de base, con su vértice hacia abajo. Si la canoa está recibiendo agua a 50 cm

^{3}

/s y esta agua no sale, ¿a qué velocidad aumenta el nivel del agua cuando ha alcanzado los 8 cm?

Aumenta

0, 0208 \bar{3}

cm/s.

6

Una piscina mide 12 m de largo y 6 m de ancho. Su profundidad es 1.2 m en un estremo y 2.7 m en el otro extremo, aumentando en línea recta de un extremo al otro. Si se bombea agua en la piscina a 3 m

^{3}

por minuto, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando es 1 m en el extremo más profundo?

Sube 6,25 cm/min.

7

Un avión vuela a una altura constante de

10 000

m sobre terreno horizontal, en linea recta y a velocidad constante. Un radar en tierra, delante del avión, percibe un ángulo de elevación que aumenta a 0.5

^{\circ}

por segundo cuando el avión está a 14 km de distancia del radar. ¿Cuál es la velocidad del avión en kilómetros por hora?

615,752 km/h.

8

De un tubo sale arena a razón de 16 dm

^{3}

/s. Si la arena forma una piramide cónica en el suelo cuya altura es siempre

\frac{1}{4}

del diámetro de la base, ¿con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando tiene 4 dm de altura?

0,0796 dm/s, aproximadamente.

9

Una escalera de 4 m se apoya contra un muro y su base se comienza a resbalar. Cuando la base está a 3,7 m del muro, la base se aleja a razón de 1.5 m/s.

(a): ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre el suelo y la parte superior de la escalera sobre el muro en ese instante?
(b): ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formado por la escalera, el muro y el suelo en ese instante?
(c): ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo $𝜃$ entre la escalera y el suelo en ese instante?

(a): $- 3, 65$ m/s.
(b): $- 5, 613$ m $^{2}$ /s.
(c): $- 0, 9869$ rad/s.

10

Una mujer, en un muelle, tira de un bote a razón de 15 m/min sirviéndose de una soga amarrada al bote a nivel de agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4,8 m por arriba del nivel del agua, ¿con qué rapidéz el bote se aproxima al muelle cuando le falta por recoger 6 m de cuerda?

Se acercan a una velocidad de 25 m/min.

11

Un automóvil que se desplaza a razón de 9 m/s, se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a 36 m de la intersección un camión que viaja a razón de 12 m/s cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 2s después de que el camión pasa dicho cruce?

4,2 m/s.

12

Un avión vuela con velocidad constante, a una altura de 3000 m, en una trayectoria recta que lo llevará directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador advierte que el ángulo de elevación del avión es de

\frac{π}{3}

radianes y aumenta a razón de

\frac{1}{60}

rad/s. Determine la velocidad del avión.

-66,67 m/s.

13

Se bombea agua a un tanque que tiene forma de cono truncado circular recto a una razón uniforme de 2 l/min (1 litro equivale a 1000

c m^{3}

). El tanque tiene una altura de 80cm y radios inferior y superior de 20 cm y 40 cm, respectivamente.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 30 cm?

Nota: El volumen $V$ de un cono truncado circular recto de altura $h$ y radios inferior y superior $a$ y $b$ , respectivamente, viene dado por: $V = \frac{hπ}{3} (a^{2} + ab + b^{2})$ .

0,8418 cm/s, aproximadamente.

14

Una ardilla en la base de un árbol comienza a subirlo a razón de 2,5 m/s. Dos segundos después, un gato, situado a 36 m de la base del árbol, ve la ardilla y comienza correr hacia el árbol con una rapidez de 3 m/s. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el gato y la ardilla 4s después de iniciada la persecución?

Disminuye a razón de 1,22 m/s.

15

Una granja tiene un tanque de agua de forma cónica (invertido), de radio 6 m y 15 m de altura. El tanque se encuentra vacío, por lo que el administrador de la granja enciende una bomba que vierte agua en el tanque a razón de 10 m

^{3}

/min, sin embargo no se percata de la existencia de un agujero en el fondo del tanque por donde se escapa el agua a razón de 0,5 m

^{3}

/min. Determine a qué razón varía el nivel del agua cuando la profundidad es de 8,28 m.

Disminuye a razón de 0,28 m/min.

16

Un controlador aéreo sitúa dos aviones (A y B) a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto en el ángulo recto. El controlador detecta que el avión A viaja a 450 km/h y el avión B a 600 km/h.

(a): ¿A qué ritmo varía la distancia entre los dos aviones, cuando A y B están a 150 km y 200 km, respectivamente, del punto de convergencia?
(b): ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias distintas?

(a): Disminuye a razón de 750 km/h.
(b): 20 min.

17

Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice opuesto al origen está sobre la curva

y = 2^{x}

. En este vértice, la coordenada

y

aumenta a razón de 1 unid/s. ¿A qué velocidad aumenta el área del rectángulo cuando

x = 2

Aumenta a razón de 3,44 unid

^{2}

/s.

12. Extremos, crecimiento, decrecimiento y concavidad.

Ejercicio13.1

Sea

f (x) = x^{2} + ax + b

. Encuentre los valores de

a

b

tales que

f (1) = 3

sea un valor extremo de

f

[0, 2]

. ¿Este valor es máximo o mínimo?

a = - 2

b = 4

. Es valor mínimo.

Ejercicio13.2

Determine los valores de

a

b

de modo que la función

f (x) = 3 a x^{2} \cdot e^{b x^{2} + 1}

tenga un extremo relativo en el punto

(1, 2)

a = \frac{2}{3}

b = - 1

Ejercicio13.3

Halle una función de la forma

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + cx + d

que alcance extremos relativos en los puntos

(- 2, 3)

(1, 0)

. Verifique que en

(- 2, 3)

se alcanza un máximo relativo y en

(1, 0)

un mínimo relativo.

f (x) = \frac{2}{9} x^{3} + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{7}{9}

Ejercicio13.4

A continuación se presentan ciertas afirmaciones, determine si cada una de ellas es verdadera o falsa, justificando su respuesta.

1: Sea $f$ una función tal que $f^{'} (c) = 0$ , entonces necesariamente $f$ tiene un máximo o un mínimo relativo en $x = c$ .
F.
2: Si $f$ es una función continua en $[- 1, 1]$ y $f (- 1) = f (1)$ entonces necesariamente existe un número real $c$ tal que $- 1 < c < 1$ y $f^{'} (c) = 0$ .
F.
3: Si $f$ es una función derivable en $[- 1, 1]$ y $f (- 1) = f (1)$ entonces necesariamente existe un número real $c$ tal que $- 1 < c < 1$ y $f^{'} (c) = 0$ .
V.
4: Si $f$ es una función tal que $f^{″} (x) = 0$ entonces necesariamente $(2, f (2))$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f$ .
F.
5: Si $(a, b)$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f$ entonces necesariamente $(a, b)$ no puede ser extremo relativo de la gráfica de $f$ .
F.
6: Se puede encontrar una función $f$ tal que $f (x) > 0$ , $f^{'} (x) < 0$ y $f^{″} (x) > 0$ para toda $x \in D_{f}$ .
V.
7: No se puede encontrar una función $f$ , continua en $ℝ$ tal que $f (1) = - 2$ , $f (3) = 0$ y $f^{'} (x) < 0$ para toda $x \in ℝ$ .
V.

Ejercicio13.5

¿Para qué valores de

c

el polinomio

P (x) = x^{4} + c x^{3} + \frac{1}{24} x^{2}

tiene:

1: ¿Dos puntos de inflexión?
$c \in (] - \infty, - \frac{1}{3} [\cup] \frac{1}{3}, + \infty [)$
2: ¿Un punto de inflexión?
$c = \frac{1}{3}$ o $c = - \frac{1}{3}$
3: ¿Ningún punto de inflexión?
$c \in] - \frac{1}{3}, \frac{1}{3} [$

Ejercicio13.6

Encuentre los números críticos de la función.

1: $g (x) = \sqrt[3]{x^{2} - x}$
$x = \frac{1}{2}, x = 0, x = 1$ .
2: $f (x) = x e^{2 x}$
$x = - \frac{1}{2}$ .

Ejercicio13.7

Encuentre los extremos absolutos de la función en el intervalo dado.

1: $g (r) = - 3 r^{4} + 4 r^{3} + 72 r^{2}$ en $[- 3, 2]$ .
Máx en $(- 3, 297)$ ; mín en $(0, 0)$ .
2: $f (q) = \frac{q + 1}{\sqrt{q^{2} + 5}}$ en $[- 2, 2]$ .
Máx en $(2, 1)$ ; mín en $(- 2, - \frac{1}{3})$ .
3: $f (y) = y ln y - 2 y$ en $[1, 4]$ .
Máx en $(1, - 2)$ ; mín en $(e, - e)$ .
4: $g (𝜃) = cos (4 𝜃)$ en $[- π ∕ 2, π ∕ 2]$ .
Máx en $(- \frac{π}{2}, 1), (0, 1)$ y $(\frac{π}{2}, 1)$ ; mín en $(- \frac{π}{4}, - 1)$ y $(\frac{π}{4}, - 1)$ .

Ejercicio13.8

Encuentre los intervalos donde la función es creciente o decreciente, y los extremos locales.

1: g(z)= $5 z^{2 ∕ 3} + z^{5 ∕ 3}$
Crece en $] - \infty, - 2 [$ y en $[0, \infty [$ ; decrece en $[- 2, 0]$ ; máx en $(- 2, 3 \sqrt[3]{4})$ ; mín en $(0, 0)$ .
2: g(v)= $\frac{v + 1}{v^{2} + v + 1}$
Crece en $[- 2, 0]$ ; decrece en $] - \infty, - 2]$ y en $[0, \infty [$ ; máx en $(0, 1)$ ; mín en $(- 2, frac 13)$ .
3: $f (p) = \frac{p^{2} - 2 p + 2}{p - 1}$
Máx en $(0, - 2)$ ; mín en $(2, 2)$ .
4: $h (x) = x^{2} + e^{4 - x^{2}}$
Máx en $(0, e^{4})$ ; mín en $(- 2, 5)$ y en $(2, 5)$ .
5: $h (t) = ln (t^{2} + 5)$
Mín en $(0, ln 5)$ .

Ejercicio13.9

Determinar el valor de

k

que hace que la función

f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} + k}

tenga un único extremo relativo. ¿Se trata de un máximo o un mínimo?

k = 1

. Se trata de un mínimo.

Ejercicio13.10

La función

f (x) = x^{3} + a x^{2} + bx + c

tiene un punto de derivada nula en

(1, 1)

que no es extremo relativo. Razonar el valor de

a

b

c

a = - 3, b = 3, c = 0

14. Trazo de curvas

Ejercicio15.1

Encuentre las ecuaciones de todas las rectas asíntotas de cada una de las funciones siguientes:

1: $f (z) = \frac{2 z + 3 - z^{2}}{2 z^{2} - 3 z - 9}$
$z = - \frac{3}{2}$ , $y = \frac{- 1}{2}$ .
2: $g (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 3}}$
$x = 3$ , $y = 1$ .
3: $h (w) = \frac{e^{w} + 1}{e^{w} - 1}$
$w = 0$ , $y = - 1$ en $- \infty$ , $y = 1$ en $\infty$ .
4: $g (u) = u - 2 + \frac{u^{2}}{u + 2}$
$u = - 2$ , $y = 2 u - 4$ .
5: $f (x) = \frac{x e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$
$x = 0$ , $y = - 1$ en $- \infty$ , $y = x$ en $\infty$ .

Ejercicio15.2

A continuación se muestra la gráfica de la primera derivada de

f

1: ¿En qué intervalos crece la función $f$ ? Explique.
$f$ crece en los intervalos: $] 2, 4 [$ y $] 6, + \infty [$ pues es donde $f^{'} (x) > 0$ .
2: ¿En qué valores de $x$ tiene $f$ un máximo local? Explique.
Sólo en $x = 4$ ; pues $f^{'} (x) = 0$ . Alrededor de este punto $f^{'}$ cambia de signo.
3: ¿En qué valores de $x$ tiene $f$ un mínimo local? Explique.
En $x = 2$ y $x = 6$ ; pues $f^{'} (x) = 0$ . Alrededor de estos puntos, $f^{'}$ cambia de signo.
4: ¿En qué intervalos es $f$ cóncava hacia arriba? Explique.
$f$ es cóncava hacia arriba en los intervalos $] 1, 3 [,] 5, 7 [$ y $] 8, + \infty [$ [ ; pues $f^{'}$ crece.
5: ¿En qué valores de $x$ , posee $f$ puntos de inflexión? ¿Porqué?
En $x = 1; x = 3; x = 5; x = 7$ y $x = 8$ ; pues $f^{'}$ alcanza máx. o mín. relativos, o bien, $f^{'}$ no existe y hay cambio de monotonía de $f^{'}$ .

Ejercicio15.3

Considere la gráfica de la primera derivada de una función

f : ℝ \to ℝ

. Si se sabe que

f

es continua en todo su dominio, entonces con base en la gráfica que sigue responda cada una de las preguntas que se plantean.

1: ¿En qué intervalos $f$ decrece?
La gráfica de $f$ decrece en los intervalos: $] - \infty, - 4.5 [$ , $] - 3.5, - 2.5 [$ , $] - 2, 0 [$ y $] 1, + \infty [$ , pues es donde $f^{'} (x)$ es negativa.
2: ¿En qué valores de $x$ , $f$ alcanza un máximo?
En $x = - 3, 5$ , $x = - 2$ y $x = 1$ , pues es donde $f^{'} (x)$ es cero y, alrededor de estos puntos, hay cambio de signo de $f^{'}$ de positivo a negativo (recuerde que $f$ es continua y el máximo puede ser "un pico"). En $x = - 2$ y en $x = 1$ no podría ser un máximo local.
3: ¿En qué valores de $x$ , $f$ alcanza un mínimo local?
En $x = - 4.5$ , $x = - 2.5$ y $x = 0$ ; pues es donde $f^{'} (x)$ es cero y, alrededor de estos puntos, hay cambio de signo de $f^{'}$ de negativo a positivo.
4: ¿En qué intervalos es $f$ cóncava hacia abajo?
$f$ es cóncava hacia abajo en los intervalos $] - 4, - 3 [$ y $] 1, + \infty [$ , pues $f^{'}$ es decreciente y por lo tanto $f^{′′} (x)$ es negativa.
5: ¿En qué valores de $x$ , $f$ posee puntos de inflexión?
En: $x = - 4$ , $x = - 3$ y $x = 1$ , pues es donde $f^{'}$ alcanza máximos o mínimos, o bien, $f^{'}$ no existe y hay cambio de monotonía de $f^{'}$ .
6: Realice un bosquejo de una posible gráfica para $f$ .
7: Realice un bosquejo de una posible gráfica para $f^{″}$ .

Ejercicio15.4

Trace una gráfica para cada función que cumpla las condiciones dadas en cada ejercicio.

1

Propiedades de la función

f

(a): $f (- 4) = f (- 2) = f (0) = f (2) = 0$ , $f (- 1) = - 1$ ,
(b): $f (1) = 2$ ,
(c): $f^{'} (- 3) = f^{'} (- 1) = f^{'} (1) = 0$ ,
(d): $f^{'} (x) > 0$ si $x < - 3$ o $- 1 < x < 1$ ,
(e): $f^{'} (x) < 0$ si $- 3 < x < - 1$ o $x > 1$ ,
(f): $lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$

2

Propiedades de la función

f

(a): $dom f =] 0, \infty [- {2}$ ,
(b): $f (1) = 1$ ,
(c): $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 2} f (x) = - \infty$ ,
(d): $f^{'} (x) > 0$ si $0 < x < 1$ o $x > 2$ ,
(e): $f^{'} (x) < 0$ si $1 < x < 2$

3

Propiedades de la función

f

(a): $D_{f} = ℝ - {- 3, 1}$
(b): $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$
(c): $lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$
(d): $lim_{x \to - 3^{-}} f (x) = - \infty$
(e): $lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = 2$
(f): $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 2$
(g): $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - \infty$
(h): $f (0) = - 1$
(i): $f (- 1) = 1$
(j): $f^{'} (x) < 0$ $\forall x > 3$
(k): $f^{'} (x) = - 1$ $\forall x \in] - 3, - 1 [$
(l): l.) $lim_{x \to - 1} f (x)$ existe.

4

Propiedades de la función

f

(a): $D_{f} = ℝ - [\frac{- 1}{2}, \frac{1}{2}]$
(b): $lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$
(c): $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = - 1$
(d): $lim_{x \to {(- 1 ∕ 2)}^{-}} f (x) = 0$
(e): $lim_{x \to {(1 ∕ 2)}^{+}} f (x) = 1$
(f): $f^{'} (x) > 0$ $\forall x \in] - \infty, - 3 [\cup] \frac{1}{2}, 2 [$
(g): $f^{'} (- 2) = 0$
(h): $f^{'} (- 1)$ no existe.

5

Propiedades de la función

f

(a): $D_{f} = ℝ$
(b): $f$ es derivable únicamente en $ℝ - {- 1, 2}$
(c): $lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 1$
(d): $f^{″} (x) > 0$ , $\forall x > 3$
(e): $f^{″} < 0$ , $\forall x \in] - \infty, 2 [- {- 1}$
(f): $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = - \infty$
(g): $f$ es continua a la izquierda de 2.
(h): $lim_{x \to - \infty} f^{'} (x) = 0$
(i): $lim_{x \to - \infty} f (x) < 0$
(j): $f (2) = 2$

6

Propiedades de la función

f

(a): $f^{'} (- 1) = 0$ , $f^{'} (1)$ no existe
(b): $f^{'} (x) < 0$ si $| x | < 1$ , $f^{'} (x) > 0$ si $| x | > 1$ ,
(c): $f (- 1) = 4$ ,
(d): $f (1) = 0$ ,
(e): $f^{″} (x) < 0$ si $x \neq 1$ .

Ejercicio15.5

Dados la gráfica de

f^{'}

y algunos datos de

f

, bosqueje la gráfica de

f

1.: $lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - \infty$
2.: $lim_{x \to + \infty} f (x) = - 2$
3.: $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = + \infty$
4.: $f (- 2) = f (1) = 0$
5.: $f (3) = - 1$

Ejercicio15.6

Realice el análisis completo y trace la gráfica, de cada una de las funciones siguientes:

1: $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{4 - x^{2}}$
$f^{'} (x) = - \frac{10 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}, f^{″} (x) = - \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}}$
2: $f (u) = \frac{u^{3} - 4}{u}$
$f^{'} (u) = \frac{2 u^{3} + 4}{u^{2}}, f^{″} (u) = \frac{2 (u^{3} - 4)}{u^{3}}$
3: $g (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 3}}$
$g^{'} (x) = - \frac{3}{2 \sqrt{x} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}, g^{″} (x) = \frac{3 ({(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + 3 x \sqrt{x - 3})}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{3}}$
4: $h (x) = \frac{3}{1 + e^{- x}}$
$h^{'} (x) = \frac{3 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}, h^{″} (x) = \frac{3 e^{- 2 x} (- e^{x} + 1)}{{(e^{- x} + 1)}^{3}}$

Ejercicio15.7

Determine las ecuaciones de todas las asíntotas a la gráfica de la función

h

definida por:

h (x) = {\begin{matrix} \frac{4 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} & si & x & \leq & - 5 \\ \frac{3 x^{2} + 6 x}{x^{2} - 9} & si & - 5 & < & x & \leq & 0 \\ arctan (\frac{3 x - 2}{1 - 3 x}) & si & x & > & 0 \end{matrix}

A.H cuando

x \to + \infty : y = \frac{- π}{4}

, A.V:

x = - 3

, A.O: cuando

x \to - \infty : y = 4 x .

Ejercicio15.8

Para cada una de las funciones siguientes:

Verifique las derivadas dadas.
Realice el análisis completo y trace la gráfica respectiva.

1: $\begin{matrix} f (x) = \frac{x^{3} - 27}{8 - x^{3}}, & f^{'} (x) = - \frac{57 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{2}}, & f^{″} (x) = \frac{228 x (x^{3} + 4)}{{(x^{3} - 8)}^{3}} \end{matrix}$
2: $\begin{matrix} r (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}, & r^{'} (x) = \frac{x^{4} - 3 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}, & r^{″} (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \end{matrix}$

16. Problemas de Optimización

Ejercicio17.1

Resuelva los siguientes problemas de optimización.

1: Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada, cuyos materiales para los lados cuestan $$ 3$ el $d m^{2}$ y, para el fondo, $$ 4$ el $d m^{2}$ . ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que se puede construir con un valor de $$ 48$ ?
$2$ dm de largo, $2$ dm de ancho y $\frac{4}{3}$ dm de alto.
2: Halle el punto sobre la recta $6 x + y = 9$ , más cercano al punto $(- 3, 1)$ .
$(\frac{45}{37}, \frac{63}{37})$
3: Un bote sale de un muelle a las $2 : 00$ p.m. y viaja hacia el sur a una velocidad dde $20$ km/h. Otro bote ha estado enfilando hacia el este a $15$ km/h y llega al mismo muelle a las $3 : 00$ p.m. ¿En que momento estuvieron los dos botes más próximos?
A las $2 : 21 : 36$ p.m.
4: Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto $(3, 5)$ y corta un área mínima en el primer cuadrante.
$y = \frac{- 5}{3} x + 10$ .
5: Una persona está en un punto $X$ en la orilla de un río recto de $50$ m de ancho, y quiere llegar a otro punto $Y$ en la otra orilla del río, ubicado $75$ m río abajo. Puede correr a $250$ m/min por su lado del río para luego nadar a $30$ m/min en línea recta hasta llegar a $Y$ . Desestimando la corriente del río, ¿qué distancia debe correr antes de entrar al agua, y qué distancia nadar, de modo que minimice el tiempo total? ¿Cuánto es el tiempo mínimo?
Correr 68,956 m; nadar 50,364 m; 1,955 min.
6: Una pista de atletismo consta de una zona rectangular y un semicírculo en cada uno de sus extremos. Si el perímetro de la pista ha de ser $200$ metros, calcular las dimensiones que hacen máxima el área de la zona rectangular. ¿Cuál es el área total de la pista?
Correr $68, 956$ m, nadar $50, 364$ m; $1, 955$ min.
7: Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $5$ cm y $12$ cm, si el rectángulo tiene un vértice en el ángulo recto del triángulo y otro vértice en la hipotenusa del triángulo.

$2.5$ cm $\times$ $6$ cm.
8: Se desea cercar una superficie de $60000$ $m^{2}$ en forma rectangular, para después dividirla en dos mitades con una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo y en qué dirección debe ir la división para minimizar el costo de la cerca?

200 m $\times$ 300 m, con la división paralela al lado de 200 m.
9: El interior de una pista de carreras de $800$ metros consiste en un rectángulo con semicírculos en dos de sus extremos opuestos (en la figura, la pista es el perímetro). Encuentre las dimensiones que maximizan el área del rectángulo.

63.66 m el radio de los semicírculos, 200 m los lados rectos.
10: Una lata cilíndrica con tapa debe contener $225$ $c m^{3}$ de líquido. EL costo por $c m^{2}$ de material es de $15$ céntimos para el fondo y la tapa, y $10$ céntimos para la pared lateral. ¿Qué dimensiones de la lata minimizan el costo de los materiales?¿Cuál es el costo mínimo?
2.8794 cm el radio de la base, 8.6382 cm la altura; costo $23.44$ colones.
11: Un envase circular se construye poniendo una semiesfera en un extremo de un cilindro circular recto. El envase, incluyendo la semiesfera, debe tener una capacidad de $1.8$ litros.¿Cuáles dimensiones minimizan la cantidad de material requerido?

7.00527 cm el radio del cilindro, 7.00527 cm la altura del cilindro.
12: Un rectángulo tiene un vértice en $(0, 0)$ , un lado sobre el eje $X$ y otro lado sobre el eje $Y$ . El vértice opuesto a $(0, 0)$ está sobre la parábola $y = 2 x^{2} - 9 x + 12$ con $0 \leq x \leq 3$ . ¿Cuál es el área máxima posible para el rectángulo?

$A = 9$ cuando $x = 3$ .
13: La ecuación $x^{2} + y^{2} = 9$ describe en el plano cartesiano una circunferencia de radio $3$ con centro en el origen.¿Cuál es el área del mayor rectángulo que se puede inscribir en esa circunferencia?

18.
14: ¿Cuál es la distancia mínima entre la parábola $P$ con ecuación $y = x^{2}$ y la recta $R$ con ecuación $y = x - 1$ ?

$\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ , entre $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ y $(\frac{7}{8}, \frac{- 1}{8})$ .
15: ¿Cuá es el largo y el ancho que debe tener un rectángulo de $100$ metros de perímetro para que su área sea máxima?
Ancho y largo iguales: 25 metros.
16: Hallar dos números positivos cuyo producto sea $192$ y cuya suma sea mínima.
Los números son: 55 y 55.
17: Con $10$ metros de hilo se forman u círculo y un triángulo isósceles rectángulo. ¿Cuánto hilo hay que emplear en el círculo para que el área total encerrada por ambos sea máxima?
En el círculo hay que emplear 10 metros.
18: Una caja de base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de $32$ $d m^{3}$ . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
$4$ dm el lado de la base, $2$ dm la altura.
19: Un rectángulo está acotado por los ejes " $x$ ", " $y$ " y por el gráfico de la ecuación $y = \frac{6 - x}{2}$ . ¿Cuál es el largo y el ancho que debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?

Ancho: $\frac{3}{2}$ ; largo: $3$ .
20: Un rectángulo está limitado por el eje " $x$ " y por el semicírculo $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ . ¿Cuál debe ser el largo y el ancho del rectángulo para lograr que su área sea máxima?

Ancho y largo iguales: aproximadamente 3,54.
21: Si se cuenta con $1 200$ cm $^{2}$ de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
Vol= $2750$ m $^{2}$ .
22: En un cartel rectangular los márgenes superior e inferior miden $6$ cm cada uno y los laterales, $4$ cm. Si el área del material impreso se fija en $384$ cm $^{2}$ , ¿cuáles son las dimensiones del cartel de área mínima?
Largo 26 cm y ancho 24 cm.