6 Integracion

6
Integración

Primitivas y conexidad.

Sea $f : D \subset ℝ \to ℝ$ .

1

Una función

F : D \to ℝ

es una primitiva de

f

D

F^{'} (x) = f (x) para todo x \in D .

2

F

G

son primitivas de

f

en un intervalo

I

(conexo), entonces existe una constante

C

tal que

F (x) - G (x) = C para todo x \in I, es decir, difieren en una constante .

3

Usamos la notación

\int f (x) dx = F (x) + C

Ejemplo8

Por abuso del lenguaje, es usual no indicar el conjunto dende la primitiva tiene sentido

1

\int \frac{x}{| x |} dx = | x | + C

(*)

2

\int | x | dx = \frac{1}{2} x | x | + C

3

\int \frac{1}{x} dx = ln | x | + C

(*)

4

\int ln x dx = x ln x - x + C

5

\int \frac{1}{x^{2} + 1} dx = arctan x + C

6

\int arctan x dx = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C

7

Las funciones continuas en

D

tienen primitiva en

D

(como establece el Teorema Fundamental del Cáculo que está más adelante), pero esta primitiva no siempre se puede expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo

(a): $\int e^{- x^{2}} dx$
(b): $\int \frac{sen x}{x} dx$
(c): $\int \frac{1}{ln x} dx$

(*) Formalmente, como el dominio de $y = x ∕ | x |$ y de $y = 1 ∕ x$ es $ℝ ∖ {0}$ , las primitivas deberían escribirse con constantes distintas en cada componente conexa:

\int \frac{x}{| x |} dx = {\begin{matrix} x + C_{1} & si & x > 0, \\ - x + C_{2} & si & x < 0, \end{matrix} \int \frac{1}{x} dx = {\begin{matrix} ln (x) + C_{1} & si & x > 0, \\ ln (- x) + C_{2} & si & x < 0 . \end{matrix}

1. Integrales básicas y sustitución

Ejercicio2.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{(w^{2} - 2) (w^{2} + 2)}{4 w^{3}} dw$
$\frac{1}{8} w^{2} + \frac{1}{2 w^{2}} + C .$
2: $\int \frac{6^{x} - 4 \cdot 1 5^{x}}{3^{2 x}} dx$
$\frac{{(\frac{2}{3})}^{x}}{ln (\frac{2}{3})} - \frac{4 {(\frac{5}{3})}^{x}}{ln (\frac{5}{3})} + C .$
3: $\int \frac{(e^{q} - 1) (e^{q} + 1)}{e^{q}} dq$
$e^{q} + e^{- q} + C .$
4: $\int \frac{2^{t} - 1}{5 + t ln 2 - 2^{t}} dt$
$- \frac{1}{ln 2} ln | 5 + t ln 2 - 2^{t} | + C .$
5: $\int {(e^{u ∕ 2} + e^{- u ∕ 2})}^{2} du$
$e^{u} + 2 u - e^{- u} + C .$
6: $\int \frac{u du}{(u^{2} + 1) \sqrt{1 + ln (u^{2} + 1)}}$
$\sqrt{1 + ln (u^{2} + 1)} + C .$
7: $\int (5 r^{2} + csc (r) cot (r)) dr$
$\frac{5 r^{3}}{3} - csc r + C .$
8: $\int \frac{{(2 v - 1)}^{2}}{3 \sqrt{v^{3}}} dv$
$\frac{8 v^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{8 v^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2}{3 v^{\frac{1}{2}}} + C .$
9: $\int \frac{{(w^{2} - 2)}^{2} (w^{2} + 2)}{3 w^{3}} dw$
$\frac{1}{3} (\frac{w^{4}}{4} - w^{2} - 4 ln | w | - \frac{4}{w^{2}}) + C .$
10: $\int \frac{24 q}{4 q^{2} + 7} dq$
$3 ln (4 q^{2} + 7) + C .$
11: $\int (\frac{3}{z^{2}} - \frac{3 z}{z^{2} + 1}) dz$
$- 3 z^{- 1} - \frac{3}{2} ln (z^{2} + 1) + C .$
12: $\int 3 {sec}^{2} (u) (tan (u + 5)) du$
$- 3 (\frac{tan (x)}{tan (5)} + \frac{(1 + tan (5)) \cdot \ln (tan (5) tan (x) - 1)}{{tan}^{2} (5)}) + C$
13: $\int {sec}^{2} (α) \sqrt{5 + 2 tan (α)} dα$
$\frac{{(5 + tan α)}^{^{3 ∕ 2}}}{3} + C .$
14: $\int {tan}^{2} (α) {sec}^{2} (α) sen (α) dα$

(Sug: Recuerde que ${tan}^{2} (x) = {sec}^{2} (x) - 1$ )

$\frac{{sec}^{3} α}{3} - sec α + C .$
15: $\int \frac{x + 1}{x - 1} dx$
$x - 1 + 2 ln | x - 1 | + C .$
16: $\int \frac{1}{1 + e^{- x}} dx$
$ln (e^{x} + 1) + C .$
17: $\int sen (2 x) cos (2 x) dx$
$\frac{- {cos}^{2} (2 x)}{4} + C .$
18: $\int tan (x) ln (cos x) dx$
$- \frac{{ln}^{2} (cos x)}{2} + C .$
19: $\int x^{x} (1 + ln x) dx$

(Sug: Recuerde que ${[x^{x}]}^{'} = x^{x} ln (x + 1)$ )

$x^{x} + C .$
20: $\int \frac{x + 1}{1 + x^{2}} dx$
$arctan x + \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C .$
21: $\int x cos (x^{2}) dx$
$\frac{1}{2} sen x^{2} + C .$
22: $\int 5 x \sqrt{1 + x^{2}} dx$
$\frac{5 {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}}{3} + C$
23: $\int sen x \sqrt{1 + cos x} dx$
$- \frac{2}{3} {(1 + cos x)}^{3 ∕ 2} + C .$
24: $\int \frac{dx}{1 - sen x}$
(Sug: Multiplique por $\frac{1 + sen x}{1 + sen x}$ y separe)

$\frac{2 cos x + 2}{sen x - cos x - 1} + C .$
25: $\int \frac{u du}{\sqrt{3 + u^{2}}}$
$\sqrt{3 + u^{2}} + C .$
26: $\int \frac{x + 3}{2 x + 1} dx$
$\frac{5 ln | 2 x + 1 |}{4} + \frac{x}{2} + C .$
27: $\int \frac{2 x^{2} + 4 x + 5}{x - 1} dx$
(Sug: Sustitución y luego separe en fracciones)

$11 ln | x - 1 | + x^{2} + 6 x + C .$
28: $\int \frac{z}{z + 1 - \sqrt{z + 1}} dz$
$2 \sqrt{z + 1} + z + 1 + C .$
29: $\int \frac{cos x - sen x}{sen x + cos x} dx$
$ln | sen x + cos x | + C .$
30: $\int \frac{ln (tan x)}{sen x cos x} dx$

(Sug: Recuerde que $csc (x) sec (x) = 2 csc (2 x)$ )
$\frac{{ln}^{2} | tan (x) |}{2} + C$
31: $\int \frac{1}{x \sqrt{x + 1}} dx$
(Sug: Sustituición y $\frac{2}{u^{2} - 1} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1}$ )
$ln | \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x + 1} + 1} | + C .$
32: $\int \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{x}}} dx$
$\frac{4 {(\sqrt{1 + \sqrt{x}})}^{3}}{3} - 4 \sqrt{1 + \sqrt{x}} + C .$
33: $\int \frac{x}{\sqrt{x + 1} + 2} dx$
$\frac{2 \sqrt[]{{(x + 1)}^{3}}}{3} - 2 (x + 1) + 6 \sqrt{x + 1}$

$- 12 ln (\sqrt{x + 1} + 2) + C .$
34: $\int \frac{\sqrt{{(x + 3)}^{3}}}{x + 7} dx$
$\frac{2 \sqrt{{(x + 3)}^{3}}}{3} - 8 \sqrt{x + 3} + 16 arctan (\frac{\sqrt{x + 3}}{2}) + C .$
35: $\int \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}} dx$
$2 \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[6]{x} + 6 ln | \sqrt[6]{x} - 1 | + C .$
36: $\int \frac{1}{x - \sqrt[3]{x}} dx$
$\frac{3 ln | \sqrt[3]{x^{2}} - 1 |}{2} + C .$
37: $\int \frac{x + 1}{x \sqrt{x - 2}} dx$
$2 \sqrt{x - 2} + \sqrt{2} arctan (\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{2}}) + C$
38: $\int 2 y^{3} \sqrt{9 - y^{2}} dy$
$- \frac{2}{3} y^{2} {(9 - y^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} {(9 - y^{2})}^{\frac{5}{2}} + C$

3. Integración de potencias trigonométricas

Ejercicio4.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int {(1 - sen (2 x))}^{2} dx$

(Sug: Recuerde que ${sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)$ )

$\frac{3 x}{2} + cos (2 x) - \frac{1}{8} sen (4 x) + C .$
2: $\int tan (x) {sec}^{3} (x) dx$
$\frac{{sec}^{3} x}{3} + C .$
3: $\int \frac{{sec}^{2} (x)}{cot (x)} dx$

(Sug: Recuerde que ${tan}^{2} (x) = {sec}^{2} (x) - 1$ y luego haga una sustitución)

$\frac{1}{2} {tan}^{2} x + C .$
4: $\int {sec}^{3} z {tan}^{3} z dz$
$\frac{1}{5} {sec}^{5} z - \frac{1}{3} {sec}^{3} z + C .$
5: $\int \frac{{sec}^{2} x}{4 + tan x} dx$
$ln | 4 + tan x | + C .$
6: $\int \frac{1 - sen x}{cos x} dx$

(Sug: Multiplique por $\frac{1 + sin (x)}{1 + sin (x)}$ y luego haga una sustitución)

$ln | 1 + sen r | + C .$
7: $\int {sen}^{3} (x) \sqrt{1 + \cos (x)} dx$
$- \frac{2}{7} \sqrt{{(1 + \cos (x))}^{7}} + \frac{4}{5} \sqrt{{(1 + \cos (x))}^{5}} + C .$
8: $\int \frac{{(1 + sen x)}^{2}}{1 - {sen}^{2} x} dx$
$2 tan x + 2 sec x - x + C .$
9: $\int {tan}^{3} x {sec}^{4} x dx$
$\frac{1}{4} {tan}^{4} x + \frac{1}{6} {tan}^{6} x + C .$
10: $\int {sen}^{3} (3 x) dx$
$- \frac{1}{3} (cos 3 x - \frac{1}{3} {cos}^{3} 3 x) + C .$
11: $\int {cot}^{4} x dx$
$- \frac{1}{3} {cot}^{3} x + cot x + x + C .$
12: $\int {sec}^{4} (5 z) {tan}^{2} (5 z) dz$
$\frac{1}{25} {tan}^{5} 5 x + \frac{1}{15} {tan}^{3} 5 x + C .$

5. Sustitución trigonométrica

Ejercicio6.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{dx}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
$ln | \frac{x + \sqrt{9 + x^{2}}}{3} | + C .$
2: $\int \frac{r^{2} + 1}{\sqrt{4 - r^{2}}} dr$

(Sug: Recuerde que ${sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)$ )

$3 arcsen (\frac{r}{2}) - \frac{r \sqrt{4 - r^{2}}}{2} + C .$
3: $\int \frac{dx}{\sqrt{(4 x^{2} - 25})^{3}}$
$- \frac{x}{25 \sqrt{4 x^{2} - 25}} + C$
4: $\int \frac{dx}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{2}}$

(Sug: Completación de cuadrados y haga sustitución)

$\frac{arctan (x + 1)}{2} + \frac{x + 1}{2 (x^{2} + 2 x + 2)} + C .$
5: $\int \frac{dx}{\sqrt{{(5 - 4 x - x^{2})}^{3}}}$

(Sug: Completación de cuadrados y $u = x + 2$ )

$\frac{x + 2}{9 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + C .$
6: $\int \frac{12}{\sqrt{9 - {(3 x)}^{2}}} dx$
$4$ arcsen $x + C .$
7: $\int \frac{du}{u^{4} \sqrt{u^{2} - 5}}$
$\frac{\sqrt{u^{2} - 5}}{25 u} - \frac{\sqrt{(u^{2} - 5})^{3}}{75 u^{3}} + C .$
8: $\int \frac{z + 2}{\sqrt{3 - 2 z - z^{2}}} dz$

(Sug: Completación de cuadrados y sustitución)

arcsen $(\frac{z + 1}{2}) - \sqrt{3 - 2 z - z^{^{2}}} + C .$
9: $\int \frac{dx}{(x + 1) \sqrt{x^{2} + 2 x}}$
$\pm$ arcsen $(x + 1) + C_{1} =$ -arccot $(\sqrt{x^{2} + 2 x}) + C_{2} .$
10: $\int \frac{dx}{x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}}$
$- \frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{25 x} + C .$
11: $\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 3}} dx$
(Sug: Sustitución trigonométrica y multiplique por $\frac{cot (u) + csc (u)}{cot (u) + csc (u)})$

$\frac{1}{\sqrt{3}} ln | \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{3}}{x} | + C .$
12: $\int \frac{\sqrt{9 x^{2} - 4}}{x} dx$

(Sug: Recuerde que ${tan}^{2} (x) = {sec}^{2} (x) - 1$ )

$\sqrt{9 x^{2} - 4} - 2$ arcsec $(\frac{3 x}{2}) + C .$
13: $\int \frac{x - 3}{{(x^{2} + 2 x + 4)}^{2}} dx$
$- \frac{4 x + 7}{6 (x^{2} + 2 x + 4)} - \frac{2 \sqrt{3}}{9} (arctan (\frac{x + 1}{\sqrt{3}})) + C$
14: $\int \frac{dx}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x - 8}} dx$

(Sug: Completación de cuadrados y sustitución)

$\frac{1}{3} ln | \frac{3 x + 1 + \sqrt{9 x^{2} + 6 x - 8}}{3} | + C .$
15: $\int \frac{dx}{\sqrt{4 x - x^{2} - 3}}$
$arcsen (x - 2) + C .$
16: $\int \sqrt{1 - z^{2}} dz$

(Sug: Reescriba ${cos}^{2} (x) = \frac{1}{2} cos (2 x) + \frac{1}{2}$ )

$\frac{arcsen (x) + x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + C .$
17: $\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} dx$
$- arctan (\sqrt{x^{2} - 1}) + \sqrt{x^{2} - 1} + C .$

7. Integración por partes

Ejercicio8.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{w + 1}{e^{w}} dw$
$- e^{- w} (w + 2) + C .$
2: $\int log (5 y^{2} - 4 y) dy$
$\frac{1}{ln 10} [y ln | 5 y^{2} - 4 y | - 2 y - \frac{4 ln | 5 y - 4 |}{5}] + C$
3: $\int arcsen (2 y) dy$
$y$ arcsen $2 y + \frac{\sqrt{1 - 4 y^{2}} 2}{+} C .$
4: $\int {(p - 1)}^{3} e^{p^{2} - 2 p} dp$
$\frac{p (p - 2) e^{p (p - 2)}}{2} + C$
5: $\int \frac{t e^{t}}{{(t + 1)}^{2}} dt$
$\frac{e^{t}}{(t + 1)} + C .$
6: $\int {sec}^{3} x dx$
$\frac{sec x tan x + ln | sec x + tan x |}{2} + C .$
7: $\int cos (ln r) dr$
$\frac{r [cos (ln r) + sen (ln r)]}{2} + C .$
8: $\int (3 y^{2} + 1) ln (y^{2} - 1) dy$
$(y^{3} + y) ln (y^{2} - 1) - \frac{2 y^{3}}{3} - 4 y + 2 ln | \frac{y + 1}{y - 1} | + C .$
9: $\int w^{3} \cdot 8^{w^{2} + 1} dw$
$\frac{w^{2} 8^{w^{2} + 1}}{2 ln 8} - \frac{8^{w^{2} + 1}}{2 {ln}^{2} 8} + C .$
10: $\int \frac{ln z}{{(z + 1)}^{2}} dz$
$\frac{- ln | z |}{(z + 1)} + ln | z | - ln | z + 1 | + C .$
11: $\int ln (\sqrt{x}) dx$
$\frac{x ln | x | - x}{2} + C .$
12: $\int x sec (x) tan (x) dx$
$x sec x - ln | sec x + tan x | + C .$
13: $\int x arctan (x) dx$
$\frac{x^{2} arctan (x) + arctan (x) - x}{2} + C .$
14: $\int x^{3} e^{- x^{2}} dx$
Sug. 1ro $u = e^{- x^{2}},$ luego partes.

$- \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{2} - \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C .$
15: $\int \frac{x arcsen (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx$
$x - \sqrt{1 - x^{2}} \cdot arcsen x + C .$
16: $\int e^{2 𝜃} sen (3 𝜃) d𝜃$
$\frac{e^{2 𝜃} (2 sen 3 𝜃 - 3 cos 3 𝜃)}{13} + C .$
17: $\int w^{2} e^{- w} dw$
$- e^{- x} (x^{2} + 2 x + 2)$ + C.
18: $\int ln (\sqrt{x}) dx$
$x ln \sqrt{x} - \frac{x}{2} + C .$
19: $\int cos (x) ln (sen (x)) dx$
$sen x \cdot ln | sen x | - sen x + C .$
20: $\int cos (x) ln (sen (x)) dx$
$sen x \cdot ln | sen x | - sen x + C .$

Ejercicio8.2

Calcule, usando integración por partes,

\int | x | dx

(Sug: Use

| x | = \sqrt{x^{2}}

y eventualmente hay que racionalizar)

Como $| x | = \sqrt{x^{2}}$ entonces

\int | x | dx = \int \sqrt{x^{2}} dx

Ahora si $u = \sqrt{x^{2}}$ y $dv = dx$

{\begin{matrix} \int \sqrt{x^{2}} dx & = & x \sqrt{x^{2}} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}} dx \\ = & x \sqrt{x^{2}} - \int \sqrt{x^{2}} dx \end{matrix}

$∴ 2 \int \sqrt{x^{2}} dx = x \sqrt{x^{2}}$

Es decir, $∴ \int \sqrt{x^{2}} dx = \frac{x | x |}{2} + K$

9. Fracciones parciales

Ejercicio10.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{1}{x^{4} - x^{2}} dx$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2} ln | \frac{x - 1}{x + 1} | + C .$
2: $\int \frac{3 x^{2} - 4 x + 5}{(x - 1) (x^{2} + 1)} dx$
$2 ln | x - 1 | + \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) - 3 arctan x + C .$
3: $\int \frac{p^{3} + 14 p^{2} + 2}{4 p^{4} + 4 p^{3} - 7 p^{2} + 2 p} dp$
$- \frac{- 9}{4 (2 p - 1)} + \frac{1}{4 ln | 2 p - 1 |} + ln | p | - ln | p + 2 | + C .$
4: $\int \frac{5 z^{3} - z^{2} + 4 z + 4}{(z^{2} + z) (z^{3} - z)} dz$
$\frac{4}{z} - \frac{3}{z + 1} - 3 ln | z + 1 | + 3 ln | z - 1 | + C .$
5: $\int \frac{26 u - 34 + 2 u^{2}}{{(u - 2)}^{3} {(2 u + 1)}^{2}} du$
$\frac{- 2}{u - 2} - \frac{1}{{(u - 2)}^{2}} + \frac{3}{2 (2 u + 1)} + \frac{ln | 2 u + 1 |}{2} + C$
6: $\int \frac{u - 8}{u^{2} - 2 u - 8} du$
$\frac{5}{3} ln | u + 2 | - \frac{2}{3} ln | u - 4 | + C .$
7: $\int \frac{8 - 10 w^{2} - w^{3}}{8 w + 2 w^{2} - w^{3}} dw$
$w + ln | w | + 2 ln | w + 2 | + 9 ln | w - 4 | + C .$
8: $\int \frac{- x^{2} + x - 1}{(4 - x^{2}) {(x - 5)}^{2}} dx$
$\frac{ln | x - 2 |}{12} - \frac{ln | x + 2 |}{28} - \frac{ln | x - 5 |}{21} - \frac{1}{x - 5} + C .$
9: $\int \frac{9^{x} + 3^{x} + 6}{9^{x} - 3^{x} - 2} dx$
$2 {log}_{3} | 3^{x} - 2 | + 2 {log}_{3} | 3^{x} + 1 | - 3 x + C .$
10: $\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} dx$
$x - ln | x | + 2 ln | x - 1 | + C .$
11: $\int \frac{1}{{(x + 5)}^{2} (x - 1)} dx$
$- \frac{1}{36} ln | x + 5 | + \frac{1}{6 (x + 5)} + \frac{1}{36} ln | x - 1 | + C .$
12: $\int \frac{1}{x^{3} - 1} dx$
$\frac{ln | x - 1 |}{3} - \frac{ln | x^{2} + x + 1 |}{6} - \frac{arctan (\frac{2 x + 1}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C .$
13: $\int \frac{5 x^{2} + 3 x + 12}{x^{3} + 4 x} dx$
$3 ln | x | + \frac{3}{2} arctan (\frac{x}{2}) + ln | x^{2} + 4 | + C .$
14: $\int \frac{5 x^{2} + 12 x + 1}{x^{3} + 3 x^{2} - 4} dx$
$2 ln | x - 1 | + 3 ln | x + 2 | - \frac{1}{x + 2} + C .$
15: $\int \frac{x + 3}{2 x + 1} dx$
$\frac{5}{4} ln | 2 x + 1 | + \frac{x}{2} + C .$
16: $\int \frac{2 x^{2} + 4 x + 5}{x - 1} dx$
$11 ln | x - 1 | + x^{2} + 6 x + C .$

11. Práctica General

Ejercicio12.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} dx$
$\frac{2}{3} {(e^{x} + 1)}^{3 ∕ 2} - 2 \sqrt{e^{x} + 1} + C$ .
2: $\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} dx$
$\frac{- x}{4 \sqrt{x^{2} - 4}} + C$ .
3: $\int \frac{4 x}{4 x^{2} + 4 x + 5} dx$
$\frac{1}{2} ln | 4 x^{2} + 4 x + 5 | - \frac{1}{2} arctan (\frac{2 x + 1}{2}) + C$ .
4: $\int \frac{ln (2 x)}{\sqrt{x^{3}}} dx$
$\frac{- 2 ln (2 x)}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}} + C .$
5: $\int \frac{3 x + 7}{\sqrt{6 x - 9 x^{2}}} dx$
$\frac{8}{3} arcsen (3 x - 1) - \frac{1}{3} \sqrt{6 x - 9 x^{2}} + C .$
6: $\int \frac{x}{\sqrt{4 - 2 x - x^{2}}} dx$
$- \sqrt{4 - 2 x - x^{2}} - arcsen (\frac{x + 1}{\sqrt{5}}) + C .$
7: $\int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x - 3}{x^{2} - 3 x} dx$
$\frac{x^{3}}{3} + ln | x^{2} - 3 x | + C .$
8: $\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 3)} dx$
$3 ln | x - 2 | - \frac{1}{2} ln | x^{2} + 3 | + \frac{5}{\sqrt{3}} arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}) + C .$
9: $\int \frac{4 x + 5}{\sqrt{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{3}}} dx$
$\frac{9 x - 13}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}} + C .$
10: $\int \frac{\sqrt{4 - {ln}^{2} y}}{y} dy$
$2 arcsen (\frac{1}{2} ln y) + (\frac{1}{2} ln y) \sqrt{4 - {ln}^{2} y} + C .$
11: $\int \frac{du}{e^{u} \sqrt{1 + e^{2 u}}} du$
$\frac{\sqrt{1 + e^{2 u}}}{e^{u}} + C .$
12: $\int \frac{q + 1}{q^{3} + q} dq$
$arctan q + ln | q | - \frac{1}{2} ln | q^{2} + 1 | + C .$
13: $\int \frac{dq}{q^{2} {(q^{2} + 8)}^{3 ∕ 2}}$
$\frac{- (q^{2} + 4)}{32 q \sqrt{q^{2} + 8}} + C .$
14: $\int \frac{1 + sen t}{cos t} dt$
$ln | sec t + tan t | - ln | cos t | + C .$
15: $\int \frac{2 t^{2} + 3 t - 2}{3 t^{4} - 2 t^{3}} dt$
$- \frac{1}{2 t^{2}} - ln | t | + ln | 3 t - 2 | + C$ .
16: $\int \frac{ln (ln x)}{x ln x} dx$
$\frac{1}{2} {ln}^{2} (ln x) + C .$
17: $\int \frac{sen (7 x) + cos (7 x)}{\sqrt{sen (7 x) - cos (7 x)}} dx$
$\frac{2}{7} \sqrt{sen (7 x) - cos (7 x)} + C .$
18: $\int y^{3} cos (y^{2}) dy$
$\frac{1}{2} (cos y^{2} + y^{2} sen y^{2}) + C .$
19: $\int \frac{x - 3}{x^{2} + 4 x + 6} dx$
$\frac{ln (x^{2} + 4 x + 6)}{2} - \frac{5}{\sqrt{5}} arctan (\frac{x + 2}{\sqrt{2}}) + C .$
20: $\int \frac{3 cos x}{{sen}^{2} x + sen x - 2} dx$
$ln | \frac{sen x - 1}{sen x + 2} | + C .$
21: $\int \frac{4 x^{2} - 3 x - 1}{x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12} dx$
$26 ln | x - 3 | - 22 ln | x - 2 | + \frac{9}{x - 2} + C$ .
22: $\int \frac{dz}{z cos (ln (4 z))}$
$ln | sec (ln (4 z)) + tan (ln (4 z)) | + C .$
23: $\int ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) dx$
$x ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \sqrt{x^{2} + 1} + C .$
24: $\int {sec}^{4} (1 - u) tan (1 - u) du$
$\frac{{sec}^{4} (1 - u)}{4} + C$
25: $\int \frac{x + 20}{\sqrt{{(5 - 4 x - x^{2})}^{3}}} dx$
$\frac{2 x + 5}{\sqrt{5 - 4 x - x^{2}}} + C$
26: $\int x^{2} \cdot a^{x} dx, a > 0$
$\frac{a^{x}}{ln a} (x^{2} - \frac{4 x}{ln a} + \frac{4}{{ln}^{2} a}) + C .$
27: $\int \sqrt{e^{x} - 1} dx$
$2 \sqrt{e^{x} - 1} - 2 arctan \sqrt{e^{x} - 1} + C .$
28: $\int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \cdot \frac{1}{x^{2}} dx$ ,
Sug: $x = \frac{1}{t}$

$arcsen (\frac{1}{x}) - \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + C .$
29: $\int \frac{arcsen x}{x^{2}} dx$
$- \frac{arcsin (x)}{x} - \frac{1}{2} ln | \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} | + C .$
30: $\int x cos (3 x) dx$
$\frac{1}{3} x sen (3 x) + \frac{1}{9} cos (3 x) + C .$
31: $\int \frac{y^{2}}{\sqrt{{(1 - y^{2})}^{3}}} dy$
$\frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} - arcsen y + C .$
32: $\int \frac{sen (2 x)}{\sqrt{1 + se n^{2} x}} dx$
$2 \sqrt{1 + {sen}^{2} (x)} + C$ .
33: $\int e^{x} ln (e^{x} + 1) dx$
$e^{x} ln | e^{x} + 1 | - e^{x} + ln | e^{x} + 1 | + C .$
34: $\int \frac{x + 1}{(2 x + x^{2}) \sqrt{2 x + x^{2}}} dx$
$\frac{- 1}{\sqrt{2 x + x^{2}}} + C .$
35: $\int \frac{5 x - \sqrt{arcsen x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx$
$- 5 \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{2}{3} {(\sqrt{arcsen x})}^{3} + C .$
36: (*) $\int \frac{arctan (e^{- x})}{e^{- x}} dx$
$e^{x} arctan (e^{- x}) + \frac{1}{2} ln | e^{- 2 x} + 1 | + C .$
37: $(*) \int ln (x^{2} + 2 x + 5) dx$
$(x + 1) ln (x^{2} + 2 x + 5) - 2 x + 4 arctan (\frac{x + 1}{2}) + C .$

Ejercicio12.2

Verifique que

\int \frac{3}{1 + 2 \sqrt{e^{- x}}} dx = 6 ln | e^{x ∕ 2} + 2 | + C .

Se omite.

Ejercicio12.3

Verifique que

\int \frac{e^{x} (1 + x ln x)}{x} dx = e^{x} ln x + C .

Se omite.

Ejercicio12.4

(*)

Verifique, utilizando integración por partes, las siguientes fórmulas de reducción:

1: $\int x^{n} ln x dx = \frac{x^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}} ((n + 1) ln x - 1) + C$ con $n \neq - 1$
Se omite.
2: $\int {sen}^{n} x dx = - \frac{1}{n} cos (x) \cdot {sen}^{n - 1} (x) + \frac{n - 1}{n} ∫ {sen}^{n - 2} (x) dx$
Se omite. (Suger: $u = {sen}^{n - 1} (x)$ y $dv = sen xdx$ )
3: $\int {sen}^{2} (x) dx = \frac{1}{2} (x - sen x \cdot cos x) + C$
Se omite. (Suger: Aplicar fórmulas anteriores)

Ejercicio12.5

Calcule las funciones que cumplen con las condiciones dadas

1: $p^{'} (w) = 2 w + 1, p (1) = 4$
$p (w) = w^{2} + w + 2$ .
2: $z^{″} (r) = 6 r^{2} + 2 + r^{- 2}, z^{'} (- 1) = - 1, z (1) = \frac{1}{2}$
$z^{'} (r) = 2 r^{3} + 2 r - \frac{1}{r} + 2 .$
$z (r) = \frac{r^{4}}{2} + r^{2} -$ ln $| r | + 2 r - 3$
3: $q^{″} (t) = 12 t^{2} - 12 t - e^{t}, q^{'} (1) = - 1 - e, q (1) = 0$
$q^{'} (t) = 4 t^{3} - 6 t^{2} - e^{t} - 4 .$
$q (t) = t^{4} - 2 t^{3} - e^{t} - 4 t + 7 + e .$

Ejercicio12.6

(*)

Determine una función

f

tal que

f (- 1) = - 3,

f^{'} (- 1) = - 10

f^{″} (x) = 24 + 4 e^{2 (x + 1)}

f (x) = 12 x^{2} + e^{2 (x + 1)} + 12 x - 4

Ejercicio12.7

(*)

Sea

f

una función cuya gráfica contiene el punto

(1, 6)

y que la pendiente de su recta tangente en

(x, f (x))

2 x + 1

. Encuentre

f (2) .

f (2) = 10, f (x) = x^{2} + x + 4 .

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6Integración

1. Integrales básicas y sustitución

3. Integración de potencias trigonométricas

5. Sustitución trigonométrica

7. Integración por partes

9. Fracciones parciales

11. Práctica General

6
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