7 Integral definida

7
Integral definida

1. Integración definida

Idea intuitiva de la integral definida.

Supongamos que $f$ es una función continua y positiva en un intervalo $[a, b]$ y sea $R$ la región entre la curva $f$ y el eje $X$ desde $0$ hasta $x \in [a, b]$ . Vamos a denotar el área de la región $R$ como $A (x)$

A (x) = \int_{0}^{x} f (t) dt

Con definición, $A (0) = 0$

Figura 7.1: Área bajo la curva

Idea intuitiva: Relación entre integración y derivación. Consideremos

A (x)

, el área de la región que va desde

0

hasta

x

,
Entonces, para conectar con la derivada, observemos la variación

A (x + h) - A (x)

Intuitivamente vemos que, según la figura 7.2,

A (x + h) - A (x) \approx h f (x)

es decir, $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} \approx f (x)$ o lo que es lo mismo, $A^{'} (x) \approx f (x)$

Figura 7.2:

A^{'} (x) \approx hf (x)

Entonces si $h \to 0$ , tendríamos que $A^{'} (x) = f (x)$ , es decir, $A (x)$ es la primitiva de $f (x)$ .

Ahora, $\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{0}^{b} f (x) dx - \int_{0}^{a} f (x) = A (b) - A (a)$ (recuerde que en esta definición $A (0) = 0$ .)

Figura 7.3:

\int_{a}^{b} f (x) dx = A (b) - A (a)

El problema es cuando $f$ presenta discontinuidades (que pueden ser caóticas) y ya no existe una primitiva $F$ en $D$ con la que se puede calcular.

Para arreglar este problema y que la integral no dependa de la derivada (excepto cuando no haya problemas), la integal se define como "el límite de la suma de las áreas de los rectángulos que cubren la región debajo de la curva", es decir,

\int_{a}^{b} f (x) dx = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k}) Δ_{k}

De aquí la notación suma de los " $f (x) dx$ "

Figura 7.4: Suma de Riemman

S_{n}

(hacer clic para ver el widget)

Para ser un poco más formales, necesitamos tener una noción de integral. Hay varias nociones de integral, pero vamos a usar la integral "en el sentido Riemann" que para este prósito esta bien (aunque esto se discute mucho!).

2. Sumas de Riemann

Para efectos prácticos solo vamos a considerar particiones "igualmente espaciadas" o "regulares" (esto es suficiente para la teoría).
Consideremos una partición "igualmente espaciada" del intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos

P = {[x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], . . ., [x_{n - 1}, x_{n}]}

donde $Δ x_{i} = | x_{i - 1} - x_{i} | = \frac{b - a}{n} = Δ x,$ es decir, $x_{k} = a + k \cdot Δ x$

Figura 7.5: Parición de

[a, b]

Una suma de Riemann para $f$ en este intervalo $[a, b]$ , para este tipo de particiones, es

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k}) Δ x_{k}

Las sumas $S_{n}$ dependen de la elección de los $ξ_{k}$ en cada intervalo $[x_{k - 1}, x_{k}]$ . La idea es que una función es integrable en el sentido Riemann si el límite de las sumas existe y no cambia, sin importar la elección de los $ξ_{k}$

Límite de las sumas de Riemann

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Definición 1 (Integral de Rieman).

Sea $f$ una función definida en [a,b]. Se dice que $f$ es integrable en el "sentido Riemann" en $[a, b]$ si el límite

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) \frac{(b - a)}{n} = I

existe y es único (no cambia) para cualquier escogencia de los $ξ_{k}$ en cada intervalo $[x_{k - 1}, x_{k}]$ . Que $n \to \infty$ nos dice que las particiones regulares cambian y se hacen cada vez más angostas, $| x_{k - 1} - x_{k} | \to 0$ .

1: Si $f$ es integrable, escribimos $\int_{a}^{b} f (x) dx = I$
2: Convenio: $\int_{a}^{a} f (x) dx = 0$
3: Convenio: $\int_{a}^{b} f (x) dx = - \int_{b}^{a} f (x) dx$

Ahora ya no dependemos de la derivada para integrar una función.

1

Las funciones continuas en

[a, b]

y también las funciones acotadas y continuas excepto en conjunto "numerable" de puntos en

[a, b]

, son integrales en el sentido Riemann

2

f

es integrable y

g

es acotada en

[a, b]

y si

f (x) = g (x)

[a, b]

excepto en un número finito de puntos, entonces

\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{b} g (x) dx

Por ejemplo $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ es acotada en $[0, 2]$ (tiene una discontinuidad evitable en $x = 1$ ), entonces

\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} dx = \int_{0}^{2} x + 1 dx

3

Cálculo: Si

f

es integrable, entonces se puede calcular la integral con

\int_{a}^{b} f (x) dx = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) \frac{(b - a)}{n}

usando cualquier escogencia fija de los $ξ_{k} :$ puntos medios, extremo $x_{k - 1}$ , extremo $x_{k}$ , etc.

Teorema 1 — (TFC).

1.

f

es R-integrable en

[a, b]

F^{'} (x) = f (x)

para todo

x \in [a, b],

entonces

\int_{a}^{b} f (x) dx = F (x) |_{b}^{a} = F (b) - F (a)

2.

g

es continua en

[a, b]

(por tanto R-integrable), entonces definimos la función

G

como

G (x) : = \int_{a}^{x} g (t) dt, x \in [a, b]

Entonces $G$ es continua en y $G^{'} (x) = g (x)$ en $[a, b]$

Funciones definidas por una integral.

Cuando una función $f$ no tiene primitiva elemental, como es el caso de $e^{- x^{2}},$ $\frac{sin x}{x},$ $\sqrt{1 - x^{4}}$ , etc., el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que sí existe una primitiva para $f$ , aunque no podamos calcularla y, en ese caso, podemos definir una nueva función.

Por ejemplo,

1: $erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{x} e^{- t^{2}} dt$
2: $Si (x) = ∫_{0}^{x} \frac{sin t}{t} dt$
3: $F (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^{4}}}$ (función elíptica)

Ejemplo9(Interpretación física).

Si $s (t)$ es la distancia recorrida en un tiempo $t$ por un objeto, entonces la velocidad instántanea es $v (t) = s^{'} (t) .$ Supongamos que conocemos la velocidad de un objeto que se mueve sobre una línea recta, en centímetros por segundo,

s^{'} (t) = v (t) = t^{2} - \frac{10}{{(t + 1)}^{2}} y \int v (t) dt = s (t) + K

Es decir, $s$ es una primitiva de $v$ .

1

Como

v (0) = - 10,

esto nos dice que en

t = 0

el objeto se movía para atrás, a una velocidad de

10

cm/seg. Y a partir de

t \approx 1.34

se empezó a mover hacia adelante.

2

Cinco segundos después, su velocidad era

v (5) = 24.72

cm/seg. ¿Cuál fue la distancia recorrida hacia adelante cuando

t = 5

De acuerdo al TFC, la distancia neta recorrida es $\int_{0}^{5} (t^{2} - 10 ∕ {(t + 1)}^{2}) dt = s (5) - s (0) \approx 33.3333,$ es decir, el área neta de la región bajo al curva $v$ nos da la distancia neta recorrida.

3

¿Cuál es la distancia total recorrida (incluyendo el recorrido hacia atrás)?

Si $\int | t^{2} - 10 ∕ {(t + 1)}^{2} | dt = S (t) + K,$ la distancia recorrida total es

\int_{0}^{5} | t^{2} - 10 ∕ {(t + 1)}^{2} | dt = S (5) - S (0) \approx 43.1825

3. Cálculo del área de una región

Si una región $R$ está entre dos funciones continuas $f$ y $g$ en un intervalo $[a, b]$ , tal que $f (x) \geq g (x)$ en este intervalo, entonces el área de la región $R$ , denotada $A_{R}$ , es

A_{R} = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) dx

Ejemplo10

Calcule el área de la región sombreada entre las curvas $y = 1 ∕ 4 {(x + 1)}^{2} + 2,$ $y = 3 - x,$ $y = 1 ∕ 2 sen x$ y $x = 0,$ desde $x = - 2$ hasta $x = 2 .$

Área de una región entre curvas

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Solución. Usando el widget anterior, la región se subdivide en tres subregiones, cada una entre dos curvas.

1

La primera subregión

R_{1}

va desde

x = - 2

hasta

x = 0

, entre

y = 1 ∕ 4 {(x + 1)}^{2} + 2

y ele eje

X

A_{R_{1}} = \int_{- 2}^{0} [\frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} - 0] dx

2

La segunda subregión

R_{2}

, entre

y = 1 ∕ 4 {(x + 1)}^{2} + 2

y = 1 ∕ 2 sen x

, va de

0

hasta

x = 2 \sqrt{3} - 3

pues

1 ∕ 4 {(x + 1)}^{2} + 2 = 3 - x ⟹ x = 2 \sqrt{3} - 3 > 0

A_{R_{2}} = \int_{0}^{2 \sqrt{3} - 3} [\frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2 - \frac{1}{2} sen x] dx

3

La tercera subregión

R_{3}

entre

y = 3 - x

y = 1 ∕ 2 sen x

, va de

x = 2 \sqrt{3} - 3

hasta

x = 2

A_{R_{3}} = \int_{2 \sqrt{3} - 3}^{2} [3 - x - \frac{1}{2} sen x] dx

Entonces el área de la región esta dada por

\begin{matrix} A_{R} & = & \int_{- 2}^{0} [\frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2 - 0] dx + \int_{0}^{2 \sqrt{3} - 3} [\frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2 - \frac{1}{2} sen x] dx + \int_{2 \sqrt{3} - 3}^{2} [3 - x - \frac{1}{2} sen x] dx \\ \approx & 7.28039 \dots \end{matrix}

Ejercicio4.1

Calcule las siguientes integrales

1: $\int_{0}^{1} e^{x} {(e^{x} - 1)}^{4} dx$
$\frac{{(e - 1)}^{5}}{5}$
2: $\int_{- 2}^{3} (p^{3} (p - 4 p^{- 2})) dp$
$45$
3: $\int_{- π ∕ 2}^{π} [4 cos r + sen (r - \frac{π}{2})] dr$
$3$
4: $\int_{- 2}^{- 2 ∕ \sqrt{3}} \frac{du}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$
$\frac{- π}{6}$
5: $\int_{1}^{5} | 6 - 4 u | du$
$25$
6: $\int_{- 1}^{1} \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{2}} dx$
$\frac{2}{9}$
7: $\int_{2}^{7} q \sqrt{q + 2} dq$
$\frac{886}{15}$
8: $\int_{1}^{2} \frac{v^{2} + 3}{2 v^{3} + 18 v - 5} dv$
$\frac{1}{6} ln (\frac{47}{15})$
9: $\int_{0}^{- 1} \frac{x + 1}{x + 2} dx$
$ln 2 - 1$
10: $\int_{ln 3}^{ln 8} e^{r} \sqrt{1 + e^{r}} dr$
$\frac{38}{3}$
11: $\int_{π ∕ 6}^{π ∕ 4} 3 {sec}^{2} u (tan u) + 5 du$
$16 - 5 \sqrt{3}$
12: $\int_{1}^{9} \sqrt{s} ln s ds$
$36 ln 3 - \frac{104}{9}$
13: $\int_{- π ∕ 6}^{π ∕ 6} z cos 2 z dz$
0
14: $\int_{- 1}^{0} w^{3} 8^{w^{2} + 1} dw$
$\frac{28 - 32 ln 8}{{ln}^{2} 8}$
15: $\int_{1}^{e} {(1 + ln u)}^{2} du$
$2 e - 1$
16: $\int_{- 3}^{0} \frac{ln (4 - 7 x)}{\sqrt{{(4 - 7 x)}^{3}}} dx$
$\frac{2 ln 4 - 4}{14} - \frac{2 ln 25 + 4}{35}$
17: $\int_{0}^{2} f (x) dx$ si $f (x) = {\begin{matrix} x^{4} & si & - 4 \leq x < 1 \\ x^{5} & si & 1 \leq x \leq 10 \end{matrix}$
$\frac{107}{10}$
18: $\int_{- π}^{π} f (x) dx$ si $f (x) = {\begin{matrix} x & si & - π \leq x < 0 \\ sen x & si & 0 \leq x \leq π \end{matrix}$
$2 - \frac{π^{2}}{2}$
19: $\int_{- 3}^{3} (| 2 - x | + x^{2}) dx$
31
20: $\int_{- 1 ∕ 2}^{0} \frac{5}{4 x^{2} + 4 x + 5} dx$
$\frac{5}{4} arctan (\frac{1}{2})$
21: $\int_{0}^{4} | x^{2} - 4 x + 3 | dx$
4
22: $\int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \frac{{cos}^{3} x}{{sen}^{4} x} dx$
$\frac{2 - \sqrt{2}}{3}$
23: $\int_{5 ∕ 3}^{7 ∕ 3} \frac{dx}{\sqrt{4 - 9 {(x - 2)}^{2}}}$
$\frac{π}{9}$
24: $\int_{0}^{π^{2}} cos \sqrt{r} dr$
$- 4$

Ejercicio4.2

Encuentre la fórmula para

g (u)

, dado que

g (0) = 1

y que

g^{'} (u) = \frac{1 - u}{\sqrt{4 - u^{2}}}

g (u) = arcsen (\frac{u}{2}) + \sqrt{4 - u^{2}} - 1

Ejercicio4.3

Verifique que

\int_{a}^{b} = b - c

f (x) = {\begin{matrix} 0 & si & a \leq x < c \\ k & si & a \leq x \leq c \\ 1 & si & c < x \leq b \end{matrix}

Se omite.

Ejercicio4.4

Verifique que

\int_{0}^{π ∕ 2} \sqrt{sen (t)} dt = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx

Se omite.

Ejercicio4.5

Realice el cambio de variable

s = at

para mostrar que

\int_{0}^{x} \frac{ds}{a^{2} + s^{2}} = \frac{1}{a} arctan (\frac{x}{z}) con a \neq 0

Se omite.

5. Sumas de Riemann

Ejercicio6.1

Dadas la función y la partición

P

, estime la suma de Riemann para los puntos izquierdos, la suma para los puntos medios y la suma para los puntos derechos.

1: $f (u) = \sqrt{2 u + 4}, P = {- 2, - 1.8, - 1.6, - 1.3, - 1}$
0,74984; 0,950158; 1,08461.
2: $h (z) = {\begin{matrix} 4 - z^{2} & si & z \leq 3 \\ 5 - z & si & z > 3 \end{matrix}, P = {2, 2.5, 3, 3.02, 4, 5}$
1,7154; -0,3125; -2,6054.

Ejercicio6.2

Dadas la función, el intervalo y el valor de

n

, estime la suma de Riemann de la función en el intervalo usando

n

subintervalos regulares para los puntos izquierdos, para los puntos derechos y para los puntos medios.

1: $f (t) = 3 ln t,$ intervalo $[1, 2], n = 6$
0,982130; 1,16061; 1,32870.
2: $f (r) = r^{2} \sqrt{1 - r^{2}},$ intervalo $[- 1, 1], n = 8$
0,344540; 0,410727; 0,324540.

Ejercicio6.3

Calcule cada integral como límite de sumas de Rieman

1: $\int_{0}^{3} (1 - 4 v) dv$
-15
2: $\int_{3}^{7} u (2 u - 5) du$
$\frac{332}{3}$
3: $\int_{- 1}^{1} (2 t - t^{3}) dt$
0
4: $\int_{1}^{4} (2 - 3 x) dx$
$\frac{- 33}{2}$
5: $\int_{- 1}^{3} (x - x^{2}) dx$
$\frac{- 16}{3}$
6: $\int_{0}^{2} (9 - 3 x^{2}) dx$
10

Ejercicio6.4

(*)

Utilice sumas de Riemann para verificar que

\int_{a}^{b} x dx = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}

Se omite.

Ejercicio6.5

Sea

f

una función definida por

f (x) = x^{2} + 1

. Utilizando

6

rectángulos, aproxime el área limitada por la gráfica de

f

y el eje

X

, en el intervalo

[1, 4]

20, 375 < 24 < 27, 875

7. Teorema fundamental del cálculo

Ejercicio8.1

Derive las siguientes funciones

1: $F (t) = \int_{t}^{5} ln (6 + y^{2}) dy$
$f^{'} (t) = - ln (6 + t^{2})$
2: $F (t) = \int_{4}^{e^{t}} ln u du$
$f^{'} (t) = t e^{t}$
3: $F (r) = \int_{- 1}^{sen (rπ)} \sqrt[5]{w^{2} + 1}) dw$
$f^{'} (r) = π cos (rπ) \sqrt[5]{r^{2} π^{2} + 1}$
4: $F (y) = \int_{e^{y}}^{\sqrt{y^{3}}} \frac{sen α}{α} dα$
$f^{'} (y) = \frac{3 sen (y^{3 ∕ 2})}{2 y} - sen (e^{y})$
5: $F (x) = \int_{x}^{2} cos (t^{2}) dt$
$f^{'} (x) = - cos (x^{2})$
6: $G (x) = \int_{x^{2}}^{x^{3}} ln (t) dt$ , $x > 0$
$g^{'} (x) = 3 x^{2} ln x^{3} - 2 x ln x^{2}$
7: $F (x) = \int_{1 - 3 x}^{1} \frac{u^{3}}{1 + u^{2}} du$
$f^{'} (x) = \frac{3 {(1 - 3 x)}^{3}}{{(1 - 3 x)}^{2} + 1}$

Ejercicio8.2

Sea

g

una función integrable. Encontrar

c

, de modo que

\int_{c}^{x} g (t) dt = cos (x) - \frac{1}{2}

c \in {\frac{π}{3} + 2 πk \lor \frac{- π}{3} + 2 πk, k \in ℤ}

Ejercicio8.3

Sea

f

una función integrable; si

f

cumple que

\int_{0}^{x} f (t) dt = \int_{x}^{1} t^{2} f (t) dt + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C, con C constante

1.: Determine el criterio de $f$
2.: Determine el valor de $C,$ que satisface la igualdad anterior.

f (x) = 2 x^{15}

, b)

c = - \frac{1}{9}

Ejercicio8.4

Encuentre una función

f

y un número

a

tales que

6 + \int_{a}^{x} \frac{f (t)}{t^{2}} dt = 2 \sqrt{x}, \forall x > 0

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}

a = 9

Ejercicio8.5

(*)

Verifique que la gráfica de

y = f (x)

es cóncava hacia arriba en

ℝ

, si

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{a^{2} + t^{2}}} dt

con

a \neq 0

Se omite.

Ejercicio8.6

Sea

f

una función tal que

\int_{0}^{1} f (t) dt = 2, \int_{0}^{4} f (t) dt = - 6

\int_{4}^{3} f (t) dt = 1 .

Hallar

\int_{1}^{3} f (t) dt

-7

Ejercicio8.7

Sea

f

una función tal que

\int_{1}^{4} f (t) dt = 6, \int_{2}^{4} f (t) dt = 4

\int_{1}^{3} f (t) dt = 1 .

Hallar

\int_{2}^{3} f (t) dt

-1

Ejercicio8.8

Hallar todos los valores de

x

, tales que

\int_{0}^{x} (t^{3} - t) dt = \frac{1}{3} \int_{\sqrt{2}}^{x} (t - t^{3}) dt .

x = 0

x = \pm \sqrt{2}

Ejercicio8.9

f

es una función continua en

ℝ

\int_{0}^{4} f (x) dx = 20,

calcule

\int_{0}^{2} f (2 x) dx .

Ejercicio8.10

Considere las funciones

g

h

definidas por

g (x) = \int_{0}^{x} f (u) du

h (x) = \int_{0}^{g (x)} 3 f (t) dt

con

f

derivable tal que

f (0) = 2 .

Calcule

h^{'} (0)

9. Cálculo de áreas

Ejercicio10.1

Determine el área de la región limitada por:

1: $f (x) = x^{3} + 2 x$ y el eje $X,$ desde $x = - 1$ hasta $x = 3 .$
$A = \frac{61}{2} {(ul)}^{2}$
2: $x = y + 5$ y $x = \frac{y^{2} + 2}{2}$ .
$A = 18 {(ul)}^{2}$ .
Observe que: $A = \int_{- 2}^{4} (y + 5 - \frac{y^{2} + 2}{2}) dy$ .
O bien: $A = \int_{1}^{3} 2 \sqrt{2 x - 2} dx + \int_{3}^{9} (\sqrt{2 x - 2} - (x - 5)) dx$
3: $y = 0$ y $y = 1 - x^{2}$ desde $x = - 1$ hasta $x = 1 .$ Realice la representación gráfica de la región.
$A = \frac{4}{3} {(ul)}^{2}$
4: $y = 0$ y $y = 2 - | x |$ desde $x = - 2$ hasta $x = 2 .$ Realice la representación gráfica de la región.
$A = 4 {(ul)}^{2}$
5: $y = x^{2} - 4 x + 3$ y $y = - x^{2} + 2 x + 3 .$ Realice la representación gráfica de la región.
$A = 9 {(ul)}^{2}$
6: $y = x^{3}, x = - 2, x = 4$ .
$A = 68 {(ul)}^{2}$
7: $y = | x |, x = - 2, x = 2$ .
$A = 4 {(ul)}^{2}$
8: $y = x^{2} + 1, y = x + 3$ .
$A = \frac{9}{2} {(ul)}^{2}$
9: $y^{2} = - x, x - y = 4, y = 0, y = 2$ .
$A = \frac{38}{3} {(ul)}^{2}$ .
Observe que: $A = \int_{0}^{2} [4 + y - (- y)] dy$ .
O bien: $A = \int_{- 4}^{0} (2 - \sqrt{- x}) dx + \int_{0}^{4} 2 x dx + \int_{4}^{6} [2 - (x - 4)] dx$

Ejercicio10.2

Considere la función

f

definida por

{\begin{matrix} 3 x^{2} & si & 0 \leq x \leq 2 \\ 16 - 2 x & si & x > 2 \end{matrix}

Determine el área de la región limitada por la gráfica de $f$ , el eje $X$ y la recta $x = 3 .$ Incluya un esbozo de la región.

A = 19 {(ul)}^{2}

Ejercicio10.3