Algebra y composicion de funciones continuas

5. Álgebra y composición de funciones continuas

Teorema 11 — Álgebra y composición de funciones continuas.

Si $f$ y $g$ son continuas en $c$ y $k \in ℝ$ , entonces también son continuas en $c$ las funciones

kf, f + g, f - g, fg, \frac{f}{g} si g (c) \neq 0 .

Si $g$ es continua en $c$ y $f$ es continua en $g (c)$ , entonces la composición $f \circ g$ es continua en $c$ y

lim_{x \to c} f (g (x)) = f (g (c)) .

Ejemplo19Continuidad de una composición

Estudiemos $h (x) = sen (\frac{1}{x^{2} + 1})$ y calculemos $lim_{x \to 0} h (x)$ .

1.: Se escribe $h = f \circ g$ con $g (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ y $f (u) = sen u$ .
2.: $g$ es un cociente de polinomios y su denominador nunca se anula ( $x^{2} + 1 \geq 1$ ), así que $g$ es continua en todo $ℝ$ ; en particular en $c = 0$ , donde $g (0) = 1$ .
3.: $f (u) = sen u$ es continua en todo $ℝ$ , en particular en $g (0) = 1$ .
4.: Por el teorema, $h = f \circ g$ es continua en $0$ y el límite se calcula evaluando: $lim_{x \to 0} sen (\frac{1}{x^{2} + 1}) = sen (1)$ .

Corolario 1 (Funciones elementales).

Los polinomios, las funciones exponenciales, las funciones trigonométricas y la función valor absoluto son continuas en todos los puntos de sus dominios. Las funciones racionales son continuas donde el denominador no se anula; las funciones logarítmicas y las funciones con radicales son continuas donde están definidas.

Ejemplo20Conjunto de continuidad de una función elemental

Determinemos dónde es continua $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 4}$ .

1.: El numerador $\sqrt{x - 1}$ es continuo donde está definido, es decir, en $x \geq 1$ .
2.: El denominador $x^{2} - 4$ es un polinomio, continuo en todo $ℝ$ , y se anula en $x = \pm 2$ .
3.: Por el teorema del cociente, $f$ es continua en los puntos donde ambas funciones lo son y además el denominador no se anula. El valor $x = - 2$ ya estaba excluido por el dominio del radical.
4.: Por lo tanto $f$ es continua en $[1, 2 [\cup] 2, + \infty [$ .

Ejercicio 6.1

Considere las siguientes funciones:

$g (x) = {\begin{matrix} x^{2} + ax + b & si & x < 2 \\ 6 & si & x = 2 \\ 2 ax + 3 b & si & x > 2 \end{matrix}$ y

$f (x) = {\begin{matrix} c x^{2} + 4 & si & x < 6 \\ cx + b & si & x \geq 6 \end{matrix}$

Determine condiciones suficientes para

a, b

c

para que la función

f \circ g

sea continua en

x = 2 .

a = 0,

b = 2

c = \frac{- 1}{15}

Ejercicio 6.2

Sea

f

una función continua en

ℝ

que cumple:

lim_{x \to 2} \frac{f (x)}{x - 2} = 6 y f (x) = 0 si y solo si x = 2

Considere la función: $g (x) = {\begin{matrix} \frac{a \cdot f (x)}{x^{2} - 5 x + 6} + 4 x & si & x < 2 \\ 2 & si & x = 2 \\ \frac{b \cdot sen (x - 2)}{f (x)} + a & si & x > 2 \end{matrix}$

Determine el valor de $a$ y $b$ para que $g$ sea continua en $ℝ .$

a = 1

b = 6

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