Calculemos $f^{\prime }(a)$ para $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, con $a\ne 0$.

1.

Se escribe el cociente de diferencias: ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}={\displaystyle \frac{1}{h}}\left({\displaystyle \frac{1}{a+h}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}\right)$.

2.

Se suman las fracciones del paréntesis: ${\displaystyle \frac{1}{a+h}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}={\displaystyle \frac{-h}{a(a+h)}}$.

3.

Se cancela $h$ (lícito porque en el límite $h\ne 0$): ${\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}={\displaystyle \frac{-1}{a(a+h)}}$.

4.

Se toma el límite: $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{-1}{a(a+h)}}=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$.

Hallemos la recta tangente a $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ en el punto de abscisa $a=2$.

1.

El punto de tangencia es $\left(2,f(2)\right)=\left(2,{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

2.

Por el ejemplo anterior, $f^{\prime }(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$, de donde la pendiente es $f^{\prime }(2)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

3.

Se sustituye en $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$: $y-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-2)$, es decir, $y=-{\displaystyle \frac{x}{4}}+1$.

4.

Como $f$ es derivable en $2$, también es continua ahí. El recíproco falla: $g(x)=|x|$ es continua en $0$ y no es derivable en $0$, pues los cocientes de diferencias tienden a $-1$ por la izquierda y a $1$ por la derecha.