Cálculo de derivadas

3. Cálculo de derivadas

Teorema 13 — Reglas de derivación.

Sean $f$ y $g$ derivables, y sean $c, k \in ℝ$ . En los puntos donde las expresiones estén definidas,

\begin{aligned} {(c)}^{'} & = 0, & {(x^{k})}^{'} & = k x^{k - 1}, \\ {(f \pm g)}^{'} & = f^{'} \pm g^{'}, & {(cf)}^{'} & = c f^{'}, \\ {(fg)}^{'} & = f^{'} g + f g^{'}, & {(\frac{f}{g})}^{'} & = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}} (g \neq 0) . \end{aligned}

La regla de la potencia se aplica para exponentes reales en los intervalos donde la potencia correspondiente está definida.

Ejemplo24Reglas del producto y del cociente

Derivemos $f (x) = \frac{2 x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$ .

1.

Se identifican el numerador y el denominador:

u = 2 x^{3} - 5 x

v = x^{2} + 1

, con

v \neq 0

para todo

x

2.

Con la regla de la potencia y la de la suma:

u^{'} = 6 x^{2} - 5

v^{'} = 2 x

3.

Se aplica la regla del cociente

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

f^{'} (x) = \frac{(6 x^{2} - 5) (x^{2} + 1) - (2 x^{3} - 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} .

4.

Se desarrolla y se simplifica el numerador:

(6 x^{4} + x^{2} - 5) - (4 x^{4} - 10 x^{2}) = 2 x^{4} + 11 x^{2} - 5

, de modo que

f^{'} (x) = \frac{2 x^{4} + 11 x^{2} - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Teorema 14 — Derivadas de funciones elementales.

Para $a > 0$ , $a \neq 1$ , se tiene

\begin{matrix} {(e^{x})}^{'} = e^{x}, & {(a^{x})}^{'} = a^{x} ln a, & {(ln x)}^{'} = \frac{1}{x}, \\ {(sen x)}^{'} = cos x, & {(cos x)}^{'} = - sen x, & {(tan x)}^{'} = {sec}^{2} x, \\ {(cot x)}^{'} = - {csc}^{2} x, & {(sec x)}^{'} = sec x tan x, & {(csc x)}^{'} = - csc x cot x, \\ {(arcsen x)}^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, & {(arccos x)}^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, & {(arctan x)}^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}, \end{matrix}

Cada fórmula se entiende en los puntos interiores del dominio de la función.

Ejemplo25Una combinación de funciones elementales

Derivemos $f (x) = 3 e^{x} - 2 sen x + 5 ln x + arctan x$ , para $x > 0$ .

1.: Por las reglas de la suma y del múltiplo constante, se deriva cada sumando por separado y se conservan los coeficientes.
2.: Derivadas exponencial y trigonométrica: ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ y ${(sen x)}^{'} = cos x$ .
3.: Derivadas logarítmica e inversa: ${(ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ (definida para $x > 0$ ) y ${(arctan x)}^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .
4.: Reuniendo todo: $f^{'} (x) = 3 e^{x} - 2 cos x + \frac{5}{x} + \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Ejercicio 4.1

Calcule la derivada de las siguientes funciones

1: $f (x) = 2 x^{8} - 3 x^{5} + 5$
$f^{'} (x) = 16 x^{7} - 15 x^{4}$ .
2: $f (x) = 3 x^{4 ∕ 3} - 6 x^{2 ∕ 3} - 2$
$f^{'} (x) = 4 x^{1 ∕ 3} - 4 x^{- 1 ∕ 3}$ .
3: $g (z) = \sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}}$
$g^{'} (z) = \frac{1}{2 \sqrt{z}} + \frac{1}{2 z \sqrt{z}}$ .
4: $h (z) = 3 z + \frac{1}{z} - \frac{2}{z^{2}} + \frac{3}{\sqrt[3]{z}}$
$h^{'} (z) = 3 - z^{- 2} + 4 z^{- 3} - z^{- 4 ∕ 3}$ .
5: $f (s) = (s^{2} + s + 1) (s^{2} + 2)$
$f^{'} (s) = 4 s^{3} + 3 s^{2} + 6 s + 2$ .
6: $f (v) = (v^{2} + 2 v) (v + 1) - 6 v^{2} + 5$
$f^{'} (v) = 3 v^{2} - 6 v + 2$ .
7: $f (y) = \frac{6 \sqrt{y^{5}} - 9 \sqrt{y}}{3 \sqrt{y^{3}}}$
$f^{'} (y) = 2 + 3 y^{- 2}$ .
8: $f (t) = \frac{40 t^{5} - t^{3} \sqrt{t}}{5 t^{2} \sqrt{t}}$
$f^{'} (t) = 20 t^{3 ∕ 2} - \frac{1}{5}$ .
9: $f (x) = \frac{ax + b}{cx + d}$
$f^{'} (x) = \frac{(ad - bc)}{{(cx + d)}^{2}}$ .
10: $f (t) = t^{2} - \sqrt{3} + \frac{1}{3 - t}$
$f^{'} (t) = 2 t + {(\frac{1}{3 - t})}^{2}$ .
11: $f (r) = \frac{sen r}{1 + r} - \frac{cos r}{1 - r}$
$f^{'} (r) = \frac{(1 + r) cos r - sen r}{{(1 + r)}^{2}} + \frac{(1 - r) sen r - cos r}{{(1 - r)}^{2}}$ .
12: $f (u) = (2 u - 5) \frac{u + 1}{u + 2}$
$f^{'} (u) = \frac{2 u^{2} + 8 u - 1}{{(u + 2)}^{2}}$ .
13: $f (p) = (1 - 2 p) (3 p + 2) (p^{2} + 1)$
$f^{'} (p) = - 24 p^{3} - 3 p^{2} - 8 p - 1$ .
14: $f (x) = \frac{2}{x + 1} (1 - \frac{3}{x + 1})$
$f^{'} (x) = \frac{10 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$ .
15: $f (t) = \frac{4 - \frac{1}{1 - t}}{t - 2}$
$f^{'} (t) = \frac{- 4 t^{2} + 6 t - 1}{{(1 - t)}^{2} {(t - 2)}^{2}}$ .
16: $f (u) = \frac{u + 1}{u - 1} \cdot \frac{u^{2} + 2}{5 + u}$
$f^{'} (u) = \frac{u^{4} + 8 u^{3} - 13 u^{2} - 14 u - 18}{{(u - 1)}^{2} {(5 + u)}^{2}}$ .
17: $f (r) = \frac{(4 r + 6) (2 + 3 r)}{r (1 - 2 r)}$
$f^{'} (r) = \frac{64 r^{2} + 48 r - 12}{r^{2} {(1 - 2 r)}^{2}}$ .
18: $g (x) = 2 x^{- 2} arctan x$
$g^{'} (x) = - 4 x^{- 3} arctan x + \frac{2 x^{- 2}}{x^{2} + 1}$ .
19: $g (x) = (arccos x) (arcsen x)$
$g^{'} (x) = \frac{arccos x - arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .
20: $h (x) = \frac{sen x}{1 + cos x}$
$h^{'} (x) = \frac{1}{1 + cos x}$ .
21: $f (u) = \frac{1 + ln u}{1 - ln u}$
$f^{'} (u) = \frac{2}{u {(1 - ln u)}^{2}}$ .
22: $f (u) = \frac{u ln u}{1 - e^{u}}$
$f^{'} (u) = \frac{1 + ln u + e^{u} (u ln u - ln u - 1)}{{(1 - e^{u})}^{2}}$ .
23: $f (z) = \sqrt[3]{z} ln z$
$f^{'} (z) = z^{- 2 ∕ 3} (1 + \frac{ln z}{3})$ .
24: $g (t) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$
$g^{'} (t) = \frac{- 4 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .
25: $g (t) = \frac{ln t}{t + 1}$
$g^{'} (t) = \frac{1 + t - t ln t}{t {(t + 1)}^{2}}$ .
26: $h (x) = \frac{tan x - 1}{sec x}$
$h^{'} (x) = cos x + sen x$ .
27: $h (z) = \frac{e^{z}}{arccos z}$
$h^{'} (z) = \frac{e^{z} (\sqrt{1 - z^{2}} arccos z + 1)}{\sqrt{1 - z^{2}} {(arccos z)}^{2}}$ .
28: $h (z) = \frac{arccot z}{\sqrt{z}}$
$h^{'} (z) = \frac{- 1}{\sqrt{z} (1 + z^{2})} - \frac{arccot z}{2 z \sqrt{z}} .$

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