Tablas de verdad y equivalencias logicas

3. Tablas de verdad y equivalencias lógicas

Tablas de verdad

$P$	$\neg P$
V	F
F	V
$-$	$-$
$-$	$-$

$P$	$Q$	$P \land Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

$P$	$Q$	$P \lor Q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

$P$	$Q$	$P \to Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

$P$	$Q$	$P \equiv Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Tabla 1.1: Tablas de verdad básicas

Definición 2 — Tautología, contradicción y contingencia.

Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todos los valores de verdad de sus proposiciones simples; es una contradicción si es falsa en todos los casos, y una contingencia si no es ninguna de las dos.

Se dice que $Φ$ implica tautológicamente a $Ψ$ , y se escribe $Φ ⟹ Ψ$ , si $Φ \to Ψ$ es una tautología; y que $Φ$ y $Ψ$ son lógicamente equivalentes, $Φ \equiv Ψ$ , si $Φ \leftrightarrow Ψ$ es una tautología, es decir, si tienen la misma columna final en la tabla de verdad. Una tabla para $n$ proposiciones simples tiene $2^{n}$ filas.

Ejemplo2Verificar una implicación tautológica con la tabla

Verifique, usando tablas de verdad, que $(P \to Q) \land \neg Q$ implica tautológicamente a la proposición $\neg P$ .

Solución.

Por simplicidad en la tabla usamos $Φ \equiv [(P \to Q) \land \neg Q]$ , $Ψ \equiv \neg P$ y $Δ \equiv [Φ ⟹ Ψ]$ ; y mostremos que $Δ$ es verdadero siempre, es decir, que tenemos una tautología.


$P$	$Q$	$P \to Q$	$\neg Q$	$Φ$	$Ψ$	$Δ$

V	V	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V

Dado que en todos los casos $Δ$ es verdadero, entonces la expresión corresponde a una implicación tautológica.

Equivalencias lógicas y simplificación

Teorema 1 — Equivalencias lógicas.

Para proposiciones cualesquiera $P$ , $Q$ y $R$ se cumplen las equivalencias de la tabla siguiente, donde $V_{0}$ denota una tautología y $F_{0}$ una contradicción. Cada una se comprueba con una tabla de verdad, y todas pueden usarse para simplificar una proposición sin construir la tabla completa.

Implicación-disyunción (ID)	——-	$P \to Q \equiv \neg P \lor Q$
Contrapositiva		$P \to Q \equiv \neg Q \to \neg P$
DN		$\neg \neg P \equiv P$

De Morgan		$\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$
		$\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$

Conmutatividad		$P \lor Q \equiv Q \lor P$
		$P \land Q \equiv Q \land P$

Asociatividad		$P \lor (Q \lor R) \equiv (P \lor Q) \lor R$
		$P \land (Q \land R) \equiv (P \land Q) \land R$

Distributividad		$P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)$
		$P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$

Idempotencia		$P \land P \equiv P$
		$P \lor P \equiv P$

Inversos		$P \lor \neg P \equiv V_{0}$
		$P \land \neg P \equiv F_{0}$

Neutro		$P \lor F_{0} \equiv P$
		$P \land V_{0} \equiv P$

Dominación		$P \land F_{0} \equiv F_{0}$
		$P \lor V_{0} \equiv V_{0}$

Absorción		$P \lor (P \land Q) \equiv P$
		$P \land (P \lor Q) \equiv P$

Exportación		$P \to (Q \to R) \equiv (P \land Q) \to R$

Ejemplo3Determinar un valor de verdad por simplificación

Suponga que $(P \to Q) \land R$ es verdadera. Determine, usando simplificación, el valor de verdad de la proposición

(\neg P \lor T) \lor Q

Solución. De acuerdo a las tablas de verdad 1.1 tenemos $(P \to Q) \land R$ es verdadero solo si $(P \to Q)$ y $R$ son verdaderas. Por tanto,

$(P \to Q) \land R$ es verdadera entonces ${\begin{matrix} P \to Q & es & verdadera \\ R & es & verdadera \end{matrix}$

Simplificamos:

{\begin{matrix} (\neg P \lor T) \lor Q & \equiv & (\neg P \lor Q) \lor T & (commutatividad, asociatividad) \end{matrix}

Y, de acuerdo a la tabla de verdad para la conectiva "

\lor

", como

P \to Q

V

entonces

(\neg P \lor T) \lor Q \equiv \underset{V}{\underset{⏟}{(P \to Q)}} \lor T

es verdadera (sin importar el valor de verdad de $T$ )

Ejercicio 4.1

Mediante tablas de verdad compruebe que

\neg p \lor q

p \to q

son lógicamente equivalentes para dos proposiciones cualesquiera

p

q


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg p \lor q$	$p \to q$	$(\neg p \lor q) \leftrightarrow (p \to q)$


V	V	F	V	V	V

V	F	F	F	F	V

F	V	V	V	V	V

F	F	V	V	V	V

Ejercicio 4.2

Haga una tabla de verdad para las siguientes proposiciones

1

\neg [p \lor (\neg q)]


$p$	$q$	$\neg q$	$p \lor \neg q$	$\neg (p \lor \neg q)$


V	V	F	V	F

V	F	V	V	F

F	V	F	F	V

F	F	V	V	F

2

x \land [y \lor (\neg z)]


$x$	$y$	$z$	$\neg z$	$y \lor \neg z$	$x \land (y \lor \neg z)$


V	V	V	F	V	V

V	V	F	V	V	V

V	F	V	F	F	F

V	F	F	V	V	V

F	V	V	F	V	F

F	V	F	V	V	F

F	F	V	F	F	F

F	F	F	V	V	F

Ejercicio 4.3

Muestre por medio de una tabla de verdad que la conclusión en el siguiente razonamiento es incorrecto.

"Si yo fuera el presidente de Costa Rica, entonces viviría en Zapote. No soy el presidente de Costa Rica. Por lo tanto, no vivo en Zapote."

Considere p =“Soy el presidente de CR” y q= “Vivo en Zapote”.

Sea $A = [(p \to q) \land \neg p] \to \neg q$


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p \to q$	$(p \to q) \land \neg p$	$A$


V	V	F	F	V	F	V

V	F	F	V	F	F	V

F	V	V	F	V	V	F

F	F	V	V	V	V	V

Ejercicio 4.4

¿Es

p \land (q \lor r)

lógicamente equivalente a

(p \land q) \lor (p \land r)

Sea

A = p \land (q \lor r) \leftrightarrow (p \land q) \lor (p \land r)


$p$	$q$	$r$	$q \lor r$	$p \land q$	$p \land r$	$p \land (q \lor r)$	$(p \land q) \lor (p \land r)$	$A$


V	V	V	V	V	V	V	V	V

V	V	F	V	V	F	V	V	V

V	F	V	V	F	V	V	V	V

V	F	F	F	F	F	F	F	V

F	V	V	V	F	F	F	F	V

F	V	F	V	F	F	F	F	V

F	F	V	V	F	F	F	F	V

F	F	F	F	F	F	F	F	V

Ejercicio 4.5

Dadas las siguientes proposiciones:

$p : 5 > 10$ .
$q :$ Si $x^{2} + 1 = 0$ , entonces $x$ es un número real.
$r :$ El punto medio de un segmento equidista de los extremos del segmento.
$t :$ Si $x + 3 = 0$ , entonces $x = - 3$ .

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

1: $[(p \land q) \to r] \land \neg t$
Falsa, ya que $t$ es verdadera, con lo cual su negación es falsa y por tanto la conjunción ( $\land$ ) entre las proposiciones es una proposición falsa.
2: $[(p \equiv q) \to \neg r \land t] \lor (p \lor r)$
Verdadera, ya que como $r$ es verdadera las disyunciones ( $\lor$ ) entre las proposiciones son proposiciones verdaderas.

Ejercicio 4.6

Si tenemos las proposiciones

p (x) : x^{2} - 16 = 0

q (x) : x - 12 = 0

r (x) : x^{2} > 9

. Hallar el valor de verdad de

1: $[p (2) \land \neg q (2)] \equiv r (4)$ .
Falsa.
2: $[\neg p (4) \to r (5)] \lor \neg q (4)$ .
Verdadera.
3: $[(p (1) \land p (3)) \equiv (r (2) \lor p (3))] \to [\neg (p (2) \lor q (2))]$ .
Verdadera.

Ejercicio 4.7

Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones.

1

(p \equiv \neg q) \equiv (q \to p)

Sea

A = (p ⟷ \neg q) ⟷ (q \to p)


$p$	$q$	$\neg q$	$p ⟷ \neg q$	$q \to p$	$A$


V	V	F	F	V	F

V	F	V	V	V	V

F	V	F	V	F	F

F	F	V	F	V	F

2

(p \land \neg q) \to (\neg p \lor q)

Sea

A = (p \land \neg q) \to (\neg p \lor q)


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p \land \neg q$	$\neg p \lor q$	$A$


V	V	F	F	F	V	V

V	F	F	V	V	F	F

F	V	V	F	F	V	V

F	F	V	V	F	V	V

3

[(p \lor \neg r) \land (p \lor r)] \land [(q \to p) \land (q \lor p)] .

Sean:

A = (p \lor \neg r) \land (p \lor r)

$B = (q \to p) \land (q \lor p)$

$C = [(p \lor \neg r) \land (p \lor r)] \land [(q \to p) \land (q \lor p)]$


$p$	$q$	$r$	$\neg r$	$p \lor \neg r$	$p \lor r$	$q \to p$	$q \lor p$	$A$	$B$	$C$


V	V	V	F	V	V	V	V	V	V	V

V	V	F	V	V	V	V	V	V	V	V

V	F	V	F	V	V	V	V	V	V	V

V	F	F	V	V	V	V	V	V	V	V

F	V	V	F	F	V	F	V	F	F	F

F	V	F	V	V	F	F	V	F	F	F

F	F	V	F	F	V	V	F	F	F	F

F	F	F	V	V	F	V	F	F	F	F

Ejercicio 4.8

Determine, con base en tablas de verdad, si cada una de las propiedades que se enuncian es una tautología, una contradicción o una contingencia.

1

(P \to Q) \equiv (\neg P \lor Q)

Sea

A = (P \to Q) ⟷ (\neg P \lor Q)


$P$	$Q$	$\neg P$	$P \to Q$	$\neg P \lor Q$	$A$


V	V	F	V	V	V

V	F	F	F	F	V

F	V	V	V	V	V

F	F	V	V	V	V

Es una tautología.

2

(P \land Q) \to (P \lor \neg Q)

B = (P \land Q) \to (P \lor \neg Q)


$P$	$Q$	$\neg Q$	$P \land Q$	$P \lor \neg Q$	$B$


V	V	F	V	V	V

V	F	V	F	V	V

F	V	F	F	F	V

F	F	V	F	V	V

Es una tautología.

3

(P \to Q) \equiv (\neg Q \to \neg P)

Sea

A = (P \to Q) ⟷ (\neg Q \to \neg P)


$P$	$Q$	$\neg Q$	$\neg P$	$P \to Q$	$\neg Q \to \neg P$	$A$


V	V	F	F	V	V	V

V	F	V	F	F	F	V

F	V	F	V	V	V	V

F	F	V	V	V	V	V

Es una tautología.

4

((P \to Q) \land \neg Q) \to P

Sea

B = [(P \to Q) \land \neg Q] \to P


$P$	$Q$	$\neg Q$	$P \to Q$	$(P \to Q) \land \neg Q$	$B$


V	V	F	V	F	V

V	F	V	F	F	V

F	V	F	V	F	V

F	F	V	V	V	F

Es una contingencia.

Ejercicio 4.9

Use una tabla de verdad para determinar si es una tautología

1: $y \lor (z \to y)$
No.
2: $[a \to (\neg b)] \lor (a \land b)$
Sí.
3: $[p \land (q \to r)] \to (r \to q)$
No.

Ejercicio 4.10

Use una tabla de verdad para determinar si las siguientes proposiciones son equivalentes

1: $\neg (p \lor q)$ y $(\neg p) \land (\neg q)$
Sí.
2: $x \land (y \lor z)$ y $(x \land y) \lor (x \land z)$
Sí.
3: $\neg [p \land (q \to r)]$ y $(p \to q) \land [p \to (\neg r)]$
Sí.

Ejercicio 4.11

Determine el valor de la proposición:

Si $5 + 4 = 11$ , entonces $6 + 6 = 12$

Verdadera.

Ejercicio 4.12

Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición:

\neg [\neg [p \lor (\neg q \to p)]] \lor (q \land \neg p)

\neg [\neg [p \lor (\neg q \to p)]] \lor (q \land \neg p)

Sea $A = \neg \neg [p \lor (\neg q \to p)] \lor (q \land \neg p)$ .


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$\neg q \to p$	$p \lor (\neg q \to p)$	$q \land \neg p$	$A$


$V$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$	$F$	$V$

$V$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$F$	$V$

$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$

$F$	$F$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$

Note que: $\neg [\neg [p \lor (\neg q \to p)]] \equiv p \lor (\neg q \to p)$

Ejercicio 4.13

Determinar si la proposición

[(\neg p \lor q) \land \neg q] \to \neg p

es una tautología.

[(\neg p \lor q) \land \neg q] \to \neg p

es una tautología

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