Simbolice la proposición existencial o universal

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1

Algunas aves no pueden volar

Solución

$\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in A:\mathit{nv}(x)$, donde $A=\{\text{aves}\}$ y $\mathit{nv}(x)$ significa “$x$ no puede volar”.

2

Un día en $1998$ cayó nieve en el Irazú.

Solución

$\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->d\in A_{1998}:n(d)$, donde $A_{1998}=\{\text{días de 1998}\}$ y $n(d)$ significa “el día $d$ cayó nieve en el Irazú”.

3

En todos los triángulos la suma de los ángulos es $180^{\circ }$.

Solución

$\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t\in T:s(t)=180^{\circ }$, donde $T=\{\text{triángulos}\}$ y $s(t)$ es la suma de los ángulos de $t$.

4

Para cada $y\in ℝ$ existe un $r\in ℝ$ tal que $r^2=y$.

Solución

$\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\in ℝ,\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->r\in ℝ,r^2=y$.

5

Para cada número real $x$ existe un número real $y$ mayor que $x$.

Solución

$\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ,\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\in ℝ,y>x$.

6

Existe un número real $y$ mayor que todos los números reales $x$.

Solución

$\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\in ℝ,\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ,y>x$.

Determine si la implicación es verdadera o falsa, enuncie su recíproco y determine si es verdadero o falso

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1

Si $x\in ℝ$ y $x>0$ entonces $x^2>0$.

Solución

V. El recíproco: “Si $x^2>0$ entonces $x\in ℝ$ y $x>0$”: F.

2

Para que exista $1∕n$ se necesita que $n\ne 0$.

Solución

V. Recíproco: “Si $n\ne 0$, entonces existe $1∕n$”: V.

3

Si $t=3$ o $t=-3$ entonces $t^2=9$ (donde $t$ es un número real).

Solución

V. Recíproco: “Si $t^2=9$, entonces $t=3$ o $t=-3$”: V.

4

Si todos los cuadrados son rectángulos, todos los triángulos son redondos.

Solución

F. Recíproco: “Si todos los triángulos son redondos, todos los cuadrados son rectángulos”: V.

Determine el valor lógico de las siguientes proposiciones,

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1

$\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ∕x^2+1=0$

Solución

Falsa.

2

$(\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ)(\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\in ℝ)\left[x+y=7\right]$.

Solución

Falsa.

De las siguientes proposiciones, hallar el valor de verdad.

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1

$(\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ:\left|x\right|=x)\wedge (\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ:x+1≮x)$.

Solución

Falsa.

2

$(\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ:x^3=x)\to (\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in ℝ:2x=x)$.

Solución

Verdadera.

Negar las siguientes proposiciones.

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1

$\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x:x+7<y$.

Solución

$\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x:x+7\ge y$

2

$\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x:p(x)\wedge \exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y:q(y)$.

Solución

$\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x:\neg <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->p\left(x\right)\vee \forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y:\neg <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->q(y)$

3

$\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in \mathbb{Z}:x^2=x$.

Solución

$\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\in \mathbb{Z}:x^2\ne x$

4

$\left(\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)p(y)\to \left(\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\right)\neg <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->q(x)$.

Solución

$\left(\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)p(y)\wedge \left(\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\right)q(x)$.

5

$(\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)\left[\neg <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->p(x)\right]\vee (\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)\left[q(x)\right]$.

Solución

$\left(\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\right)\left(p\left(x\right)\right)\wedge \left(\exists <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\right)\left(\neg <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->q\left(x\right)\right)$

Considere el siguiente razonamiento:

Para cada $x$ e $y$, si $x$ es mayor que $y$, entonces no ocurre que $y$ sea mayor que $x$. Dos es mayor que uno. Por tanto, no ocurre que uno sea mayor que dos.

Utilice cuantificadores y el método de demostración directa para probar su validez.