Inferencias logicas

7. Inferencias lógicas

Teorema 2 — Reglas de inferencia.

Un razonamiento con premisas $H_{1}, \dots, H_{n}$ y conclusión $C$ es válido si $(H_{1} \land \dots \land H_{n}) ⟹ C$ , es decir, si es imposible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Las reglas siguientes son razonamientos válidos y permiten encadenar deducciones sin construir tablas de verdad.

Reglas	Premisas		Conclusión
Simplificación	$P \land Q$	$∴$	$P$
	$P \land Q$	$∴$	$Q$

Adjunción	$P, Q$	$∴$	$P \land Q$

Adición	$P$	$∴$	$P \lor Q$

Modus ponens	$P, P \to Q$	$∴$	$Q$

Modus tollens	$P \to Q, \neg Q$	$∴$	$\neg P$

Silogismo Disy	$P \lor Q, \neg P$	$∴$	$Q$

Silogismo Hip	$P \to Q, Q \to R$	$∴$	$P \to R$

Dilema Constructivo	$P \lor Q,$ $P \to R, Q \to S$	$∴$	$R \lor S$

Dilema Destructivo	$\neg R \lor \neg S,$ $P \to R, Q \to S$	$∴$	$\neg P \lor \neg Q$

Ley de casos	$P \to Q, \neg P \to R$	$∴$	$Q \lor R$

Ejemplo5Una deducción con varias reglas

1

Demuestre

P

a partir de las premisas

(a): $(\neg P \lor \neg Q) \to (R \land S)$
(b): $R \to T$
(c): $\neg T$

Plan: Como queremos obtener

P,

la idea es ver si podemos inferir

\neg (R \land S)

para obtener, por MT,

\neg (\neg P \lor \neg Q) \equiv P \land Q

en la primera premisa y concluir lo que necesitamos.

Primero usamos MT en (2) y (3):	$R \to T, \neg T ∴ \neg R,$
Para negar $(R \land S)$ usamos adición y DM:	$\neg R ∴ \neg R \lor \neg S \equiv \neg (R \land S),$
Tenemos, usando MT,	$(\neg P \lor \neg Q) \to (R \land S), \neg (R \land S) ∴ \neg (\neg P \lor \neg Q)$
Usamos DN, DM y simplificación:	$\neg (\neg P \lor \neg Q) \equiv P \land Q, ∴ P$

Ejercicio 8.1

Demuestre

1: $\begin{matrix} 1 . & x \land z \\ 2 . & (\neg x) \lor y \end{matrix}$

$\begin{matrix} 3 . & x & S 1 \\ 4 . & y & SD 2, 3 \end{matrix}$
2: $\begin{matrix} 1 . & p \lor q \\ 2 . & q \to r \\ 3 . & \neg r \end{matrix}$

$\begin{matrix} 4 . & \neg q & MT 2, 3 \end{matrix}$
3: $\begin{matrix} 1 . & (a \lor d) \to (\neg c) \\ 2 . & c \land b \end{matrix}$

$\begin{matrix} 3 . & c & S 2 \\ 4 . & \neg (a \lor d) & MT 1, 3 \\ 5 . & (\neg a) \land (\neg d) & DeMorgan \end{matrix}$

Ejercicio 8.2

Construir una prueba formal de la validez para cada uno de los argumentos siguientes:

1

Demostrar

Q

(a): $M \to N$
(b): $N \to O$
(c): $(M \to O) \to (N \to P)$
(d): $(M \to P) \to Q$

(a): $M \to N$
(b): $N \to O$
(c): $(M \to O) \to (N \to P)$
(d): $(M \to P) \to Q$
(e): $M \to O$ SH1,2
(f): $N \to P$ MP3,5
(g): $M \to P$ SH1,6
(h): $Q$ MP4,7

2

Demostrar

T \lor S

(a): $Q \lor T$
(b): $Q \to R$
(c): $\neg R$

(a): $Q \lor T$
(b): $Q \to R$
(c): $\neg R$
(d): $\neg Q$ MT2,3
(e): $T$ SD1,4
(f): $T \lor S$ Adi5

Ejercicio 8.3

Deducir

t

a partir de las siguientes premisas:

(p \land q) \to r

\neg (q \to r)

s \lor p

s \to t

\neg (q \to r)

se obtiene

q \land \neg r

, luego

q

\neg r

. Por modus tollens en

(p \land q) \to r

, se sigue

\neg (p \land q)

; por De Morgan,

\neg p \lor \neg q

. Como

q

, por silogismo disyuntivo resulta

\neg p

. De

s \lor p

\neg p

se obtiene

s

, y de

s \to t

se concluye

t

por modus ponens.

Ejercicio 8.4

Analice el siguiente razonamiento y establezca su validez.

Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por lo tanto no necesita branquias.

Es válido. Sean

M

: “es mamífero”,

O

: “toma oxígeno del aire” y

B

: “necesita branquias”. De

M \to O

M \land V

se obtienen

M

y luego

O

; de

O \to \neg B

se concluye

\neg B

Ejercicio 8.5

Estudie la validez del siguiente argumento:

Si sigue lloviendo, entonces el río se crece. Si sigue lloviendo y el río se crece, entonces el puente será arrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia hace que el puente sea arrastrado por las aguas, entonces no será suficiente un solo camino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o bien los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.

El argumento no es válido: falta la premisa “sigue lloviendo”. Por ejemplo, sean

L

: sigue lloviendo,

R

: el río crece,

P

: el puente es arrastrado,

C

: un camino basta y

E

: los ingenieros se equivocaron. Con

L = R = P = E = F

C = V

, todas las premisas

L \to R

(L \land R) \to P

P \to \neg C

C \lor E

son verdaderas, pero la conclusión

E

es falsa.

Ejercicio 8.6

Demostrar

T \land S

a partir de las siguientes premisas:

1.: $E \to S$
2.: $\neg T \to \neg J$
3.: $E \land J$

1.: $E \to S$
2.: $\neg T \to \neg J$
3.: $E \land J$
4.: $E$ Simp3
5.: $S$ MP1,4
6.: $J$ Simp3
7.: $\neg \neg T$ MT2,6
8.: $T$ DN7
9.: $T \land S$ Adj8,5

Ejercicio 8.7

Demostrar que

x < 4

y < 6

si se satisfacen las siguientes premisas:

1.: $P : x + 2 < 6 \Rightarrow x < 4$
2.: $Q : y < 6 \lor x + y ≮ 10$
3.: $R : x + y < 10 \land x + 2 < 6$

$P : x + 2 < 6$

$R : x < 4$

$S : y < 6$

$Q : x + y < 10$

Las premisas se pueden reescribir de la siguiente forma:

1.: $P \to R$
2.: $S \lor \neg Q$
3.: $Q \land P$
4.: $Q$ Simp3
5.: $P$ Simp3
6.: $R$ MP1,5
7.: $S$ SD2,4
8.: $R \land S$ Adj6,7

Ejercicio 8.8

Demostrar

x^{2} = 9

si se cumple:

1.: $x = 3 \to 2 x^{2} = 18$
2.: $x = 3 \lor x = - 3$
3.: $x = - 3 \to 2 x^{2} = 18$
4.: $2 x^{2} = 18 \to x^{2} = 9$

De las premisas 1, 2 y 3, por dilema constructivo, se obtiene

(2 x^{2} = 18) \lor (2 x^{2} = 18)

y, por idempotencia,

2 x^{2} = 18

. Al aplicar modus ponens con la premisa 4, se concluye

x^{2} = 9

Ejercicio 8.9

En la siguiente demostración se concluye

\neg p

a partir de cuatro premisas. Se usaron reglas de inferencia y leyes lógicas. Para cada paso, indica la ley o regla que se aplicó (DM, IM, CP, DC, DN, AB, SD, etc.)


Paso

a.	$\neg (p \land q)$	Premisa
b.	$\neg q \to r$	Premisa
c.	$s \to \neg r$	Premisa
d.	$\neg s \to \neg (p \lor \neg q)$	Premisa

e.	$\neg p \lor \neg q$
f.	$\neg s \lor \neg r$
g.	$\neg r \to q$
h.	$\neg (p \lor \neg q) \lor q$
i.	$(\neg p \land q) \lor q$
j.	$q$

	$∴ \neg p$


Paso	Fórmula	Ley / Regla

a.	$\neg (p \land q)$	Premisa
b.	$\neg q \to r$	Premisa
c.	$s \to \neg r$	Premisa
d.	$\neg s \to \neg (p \lor \neg q)$	Premisa

e.	$\neg p \lor \neg q$	DM De Morgan en a.)
f.	$\neg s \lor \neg r$	IM Implicación material en c.)
g.	$\neg r \to q$	CP Contraposición en b.)
h.	$\neg (p \lor \neg q) \lor q$	DC f,d,g
i.	$(\neg p \land q) \lor q$	DM + DN en h.)
j.	$q$	AB Absorción en i.)

	$\neg p$	SD Silogismo disyuntivo: e.) y j.)

Ejercicio 8.10

Demostrar

D \to C

a partir de las premisas:

1.: $A \to (B \to C)$
2.: $D \to A$
3.: $B$
4.: $D$

1.: $A \to (B \to C)$
2.: $D \to A$
3.: $B$
4.: $D$
5.: $A$ MP4,2
6.: $B \to C$ MP1,5
7.: $C$ MP6,3
8.: $\neg D \lor C$ Adi 7
9.: $D \to C$ ID8

Ejercicio 8.11

En cada caso, demuestre cada proposición a partir de las premisas dadas. Justifique cada paso.

1

\begin{matrix} (1) & (\neg p \lor \neg q) \to (r \land s) \\ (2) & r \to t \\ (3) & \neg t \end{matrix}

(a): $(\neg p \lor \neg q) \to (r \land s)$
(b): $r \to t$
(c): $\neg t$
(d): $\neg r$ MT3,2
(e): $\neg r \lor \neg s$ Adi4
(f): $\neg (r \land s)$ DM5
(g): $\neg (\neg p \lor \neg q)$ MT1,6
(h): $p \land q$ DM y DN7
(i): $p$ Simp8

2

\begin{matrix} (1) & (R \lor Q) \to \neg T \\ (2) & \neg Q \lor R \\ (3) & P \lor Q \\ (4) & P \to (R \land S) \end{matrix}

(a): $(R \lor Q) \to \neg T$ Premisa
(b): $\neg Q \lor R$ Premisa
(c): $P \lor Q$ Premisa
(d): $P \to (R \land S)$ Premisa
(e): $Q \to R$ ID2
(f): $\neg P \lor (R \land S)$ ID4
(g): $(\neg P \lor R) \land (\neg P \lor S)$ Distributividad6
(h): $\neg P \lor R$ Simp7
(i): $P \to R$ ID8
(j): $R \lor R$ DC3,9,5
(k): $R$ Idempotencia10
(l): $R \lor Q$ Adi11
(m): $\neg T$ MP1,12
(n): $\neg T \lor U$ Adi13
(o): $\neg (T \land \neg U)$ DM y DN14

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