Si $f$ es una función derivable y $g$ una función tal que $g(x)=\mathit{xf}(x)$, utilice la definición para demostrar que $g^{\prime }(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)$.

Si $f$ es una función derivable y $g$ una función tal que $g(x)=3f^2(x)$, utilice la definición para demostrar que $g^{\prime }(x)=6f(x)f^{\prime }(x)$.

Encuentre una función $f$ y un número real $a$ tales que $\underset{h\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{{\left(2+h\right)}^6-64}{h}}=f^{\prime }(a)$.

Suponga que $f$ es una función que satisface la ecuación:
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+x^{2}y+x{y}^2\forall <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x,y\in ℝ$$

Suponga también que $\underset{x\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=1$. Encuentre $f(0)$, $f^{\prime }(0)$ y $f^{\prime }(x)$.

Suponga que la función $h(x)$ satisface $h^{\prime }(x)=-\mathit{xh}(x)$. Muestre que la función $y=\mathit{xh}(x)$ satisface la ecuación: $$x{y}^{\prime }=\left(1-x^2\right)y$$

Sea $g$ una función continua que cumple $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Muestre que $y={\displaystyle \frac{1}{1+x+g(x)}}$ cumple la ecuación diferencial $x{y}^{\prime }=y\left(\mathit{yg}(x)-1\right)$.

Verifique que si $f(x)=\text{arctan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left({\displaystyle \frac{x+1}{1-x}}\right)-\text{arctan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$, entonces $f^{\prime }(x)=0.$

Sea $f:ℝ-\left\{0\right\}\to ℝ$ derivable tal que $f^{\prime }(x)=f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ para todo $x\ne 0:$

a)

Verifique que $f^{″}(x)=-f(x)\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

b)

Hallar condiciones sobre $a$, $b$, $c$ tales que $a{x}^2\cdot f^{″}(x)+\mathit{bx}\cdot f^{\prime }(x)+c\cdot f(x)=0$ donde $a^2+b^2+c^2\ne 0$.

Si $f$ es una función tal que $f^{\prime }(x)=e^{-2x}$ y $u=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(x^2\right)$, utilice la regla de la cadena para demostrar que ${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\left[f(u)\right]={\displaystyle \frac{2}{x^5}}$.

Encuentre $f^{\prime }(x)$ si se sabe que ${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\left[f(2x)\right]=x^2$.