Derivemos $y=x^{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}$, para $x>0$.

1.

Ni la regla de la potencia ni la de la exponencial se aplican: la base y el exponente dependen de $x$. Se toma logaritmo: $\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$.

2.

Se deriva a ambos lados; a la izquierda, por la regla de la cadena, ${(\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y)}^{\prime }={\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y}}$, y a la derecha se usa la regla del producto: ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y}}=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+{\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}}$.

3.

Se despeja $y^{\prime }$ multiplicando por $y$: $y^{\prime }=y\left(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+{\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}}\right)$.

4.

Se sustituye $y=x^{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}$: $y^{\prime }=x^{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}\left(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+{\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}}\right)$, que es la fórmula del teorema con $u=x$ y $v=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$.