Una ecuación diferencial es aquella en que interviene una función desconocida y sus derivadas.
Resuelva los siguientes problemas relativos a ecuaciones diferenciales.

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1

Considere la ecuación $f^{″}(x)+4\cdot f^{\prime }(x)+4\cdot f(x)=0$. Pruebe que $f(x)=(3x-5)e^{-2x}$ satisface la ecuación anterior.

Solución

$f^{\prime }(x)=(13-6x)e^{-2x}$ y $f^{″}(x)=(12x-32)e^{-2x}$. Al sustituir, $f^{″}+4f^{\prime }+4f=0$.

2

Halle las constantes $A$, $B$ y $C$ tales que la función $y=A{x}^2+\mathit{Bx}+C$ satisfaga la ecuación: $$y^{″}+y^{\prime }-2y=x^2$$

Solución

A = B = ${\displaystyle \frac{-1}{2}}$ y C = ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$.

Sea $F(x)=f(x)\cdot g(x)$, donde $f$ y $g$ tienen derivadas de todos los órdenes.

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1

Demuestre que $F^{″}(x)=f^{″}(x)\cdot g(x)+2f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)+f(x)g^{″}(x)$.

Solución

Como $F^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, al derivar otra vez resulta $F^{″}=f^{″}g+2f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{″}$.

2

Encuentre fórmulas similares para $F^{‴}(x)$ y $F^{(4)}(x)$.

Solución

$F^{‴}=f^{‴}g+3f^{″}{g}^{\prime }+3f^{\prime }{g}^{″}+f{g}^{‴}$.
$F^{(4)}=f^{(4)}g+4f^{‴}{g}^{\prime }+6f^{″}{g}^{″}+4f^{\prime }{g}^{‴}+f{g}^{(4)}$.

Verifique que la función $y=e^{2x}+x{e}^{2x}$ satisface la ecuación $y^{″}-4y^{\prime }+4y=0$.

Verifique que la función $y={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+10e^{-x}$ satisface la ecuación ${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}+y=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$.

Verifique que la función $g(x)={\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{\pi x})}{x}}$ satisface la siguiente igualdad: $$g^{″}(x)+{\displaystyle \frac{2}{x}}{g}^{\prime }(x)=-{\pi }^{2}g(x)$$

Pruebe que para $y={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}$ se cumple que $\left(4x^3+4x\right)y^{″}=4y^{\prime }\left(1-3x^2\right)$.

De un polinomio de tercer grado $Q(x)$ se sabe que $Q(1)=0$, $Q^{\prime }(1)=2$, $Q^{″}(1)=4$ y $Q^{‴}(1)=12$. Calcular $Q(2)$ (Sugerencia: Sea $p(x)=a{x}^3+b{x}^2+\mathit{cx}+d$).