Halle el error en los procedimientos siguientes:

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1

$\underset{x\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{2x}}=\underset{x\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{2}}$

Solución

El primer paso es válido (forma $\frac{0}{0}$), pero el segundo no: ${\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{2x}}$ ya no es indeterminado, es de la forma $\frac{1}{0}$, y ahí no se puede aplicar la regla. De hecho el límite no existe: $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x^2}}=+\infty$ y $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x^2}}=-\infty$.

2

$\underset{x\to +\infty }{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}x\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}{{\displaystyle \frac{1}{x}}}}=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=0$.

Solución

Al escribir $x\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{1}{x}\right)={\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(1∕x)}{1∕x}}$ se obtiene la forma $\frac{1}{0^{+}}$, que no es indeterminada, así que no procede aplicar la regla de L’Hôpital. El límite correcto es $+\infty$, pues $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{1}{x}\right)\to 1$ y $x\to +\infty$.

Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ constantes tales que $\underset{x\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\displaystyle \frac{a{x}^2+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{bx})+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{cx})+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{dx})}{3x^2+5x^4+7x^6}}=8$. Encuentre el valor de $a+b+c+d$.

¿Para qué valores de $a$ y $b$ es verdadera la ecuación siguiente? $$\underset{x\to 0}{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\left({\displaystyle \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)}{x^3}}+a+{\displaystyle \frac{b}{x^2}}\right)=0$$

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¿Para qué valor de $a$ es verdadera la ecuación siguiente? $$\underset{x\to +\infty }{\text{lim}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}{\left({\displaystyle \frac{x+a}{x-a}}\right)}^x=e$$

Sea $f(x)=\{\begin{array}{ccccc}\hfill {\left|x\right|}^x\hfill & \hfill \text{si}\hfill & \hfill x\hfill & \hfill \ne \hfill & \hfill 0\hfill \end{array}$. Verifique que $f$ es continua en $x=0$.