Tasas de cambio relacionadas

9. Tasas de cambio relacionadas

Método para tasas relacionadas Cuando varias magnitudes que dependen del tiempo están ligadas por una ecuación, sus razones de cambio quedan ligadas al derivar esa ecuación respecto de

t

. El procedimiento es siempre el mismo:

1: identificar las variables y hacer un dibujo;
2: escribir una ecuación que las relacione en todo instante (Pitágoras, semejanza, áreas, volúmenes, razones trigonométricas);
3: derivar ambos lados respecto del tiempo, aplicando la regla de la cadena (cada variable aporta su factor $\frac{dx}{dt}$ , $\frac{d𝜃}{dt}$ , …);
4: sustituir al final los valores del instante particular y despejar la razón desconocida.

Los valores numéricos del instante se sustituyen después de derivar; hacerlo antes convertiría en constantes a las magnitudes que están variando.

Ejemplo34Un problema de relaciones relacionadas

1

Una escalera de 4 m de longitud está apoyada en una pared vertical. Su extremo inferior resbala, alejándose de la pared a 25 cm/s. ¿A qué velocidad aumenta el ángulo entre la pared y la escalera cuando el extremo superior está 2 m sobre el suelo?

Solución. La pared y el suelo están en ángulo recto, entonces el contexto es el de un triángulo rectangulo. Sea $𝜃$ el ángulo entre la pared vertical y la escalera. Como la escalera mide $4$ m,

sen 𝜃 = \frac{x}{4} .

Ahora solo debemos derivar. En el widget se puede ver una animación del problema y en el "widget ampliado" se muestra una solución más ilustrativa. También tenemos una solución más abajo

La escalera resbala

Ventana independiente ampliada widget con la solución

Sea

𝜃

el ángulo entre la pared vertical y la escalera. Como la escalera mide

4

sen 𝜃 = \frac{x}{4} .

Derivando respecto al tiempo $t$ ,

cos 𝜃 \frac{d𝜃}{dt} = \frac{1}{4} \frac{dx}{dt} .

El extremo inferior se aleja de la pared a $25 cm/s$ , es decir,

\frac{dx}{dt} = 0.25 m/s .

Cuando el extremo superior está a $2$ m del suelo, $y = 2$

Como

cos 𝜃 = \frac{y}{4},

se tiene

cos 𝜃 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .

Sustituyendo,

\frac{1}{2} \frac{d𝜃}{dt} = \frac{1}{4} (0.25) .

Por tanto,

\frac{1}{2} \frac{d𝜃}{dt} = 0.0625,

y entonces

\frac{d𝜃}{dt} = 0.125 .

Por lo tanto, el ángulo aumenta a razón de

\frac{1}{8} rad/s

o equivalentemente,

0.125 rad/s .

Ejercicio 10.1

Resolver los siguientes problemas sobre tasas relacionadas:

1

Un hombre está parado en el borde de un muelle, remolcando hacia sí con una cuerda una lancha. él recoge la cuerda a 40 cm/s, y sus manos se mantienen 2 m más altas que el punto en que la cuerda está atada a la lancha. ¿A qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando le faltan 3 m para llegar?

Se acerca a 0,480740 m/s.

2

Una piedra cae en una laguna, creando una onda circular que cree centrada en el punto de contacto. El radio de la onda aumenta a 30 cm/s. ¿A qué velocidad crece el área del círculo encerrado por la onda cuando su radio es 1 m?

Crece 18849,6 cm

^{2}

/s.

3

Una esfera de hielo se derrite de manera tal que su superficie decrece a 2 cm

^{2}

por minuto. ¿A qué velocidad disminuye el radio de la esfera cuando es 15 cm?

Disminuye 0,00530516 cm/min.

4

Un tanque cónico tiene su vértice abajo, y mide 2 m de altura y 2 m de radio en la parte superior. Por su extremo inferior está saliendo agua a razón de 25 m

^{3}

por segundo. Al mismo tiempo, al tanque le entra agua por su parte superior a una tasa constante de litros por segundo. Si el nivel de agua desciende a 5 m/s cuando es igual a un metro, ¿A qué tasa le está entrando agua al tanque?

Entran

9, 29204

^{3}

(= 9292, 04

L/s

)

5

Una canoa de desagüe mide tres metros de largo, y sus extremos son triángulos isósceles de 10 cm de altura y 10 cm de base, con su vértice hacia abajo. Si la canoa está recibiendo agua a 50 cm

^{3}

/s y esta agua no sale, ¿a qué velocidad aumenta el nivel del agua cuando ha alcanzado los 8 cm?

Aumenta

0, 0208 \bar{3}

cm/s.

6

Una piscina mide 12 m de largo y 6 m de ancho. Su profundidad es 1.2 m en un extremo y 2.7 m en el otro extremo, aumentando en línea recta de un extremo al otro. Si se bombea agua en la piscina a 3 m

^{3}

por minuto, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando es 1 m en el extremo más profundo?

Sube 6,25 cm/min.

7

Un avión vuela a una altura constante de

10 000

m sobre terreno horizontal, en linea recta y a velocidad constante. Un radar en tierra, delante del avión, percibe un ángulo de elevación que aumenta a 0.5

^{\circ}

por segundo cuando el avión está a 14 km de distancia del radar. ¿Cuál es la velocidad del avión en kilómetros por hora?

615,752 km/h.

8

De un tubo sale arena a razón de 16 dm

^{3}

/s. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo cuya altura es siempre

\frac{1}{4}

del diámetro de la base, ¿con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando tiene 4 dm de altura?

0,0796 dm/s, aproximadamente.

9

Una escalera de 4 m se apoya contra un muro y su base se comienza a resbalar. Cuando la base está a 3,7 m del muro, la base se aleja a razón de 1.5 m/s.

(a): ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre el suelo y la parte superior de la escalera sobre el muro en ese instante?
(b): ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formado por la escalera, el muro y el suelo en ese instante?
(c): ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo $𝜃$ entre la escalera y el suelo en ese instante?

(a): $- 3, 65$ m/s.
(b): $- 5, 613$ m $^{2}$ /s.
(c): $- 0, 9869$ rad/s.

10

Una mujer, en un muelle, tira de un bote a razón de 15 m/min sirviéndose de una soga amarrada al bote a nivel de agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4,8 m por arriba del nivel del agua, ¿con qué rapidez el bote se aproxima al muelle cuando le falta por recoger 6 m de cuerda?

Se acercan a una velocidad de 25 m/min.

11

Un automóvil que se desplaza a razón de 9 m/s, se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a 36 m de la intersección un camión que viaja a razón de 12 m/s cruza la intersección. El auto y el camión se encuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 2s después de que el camión pasa dicho cruce?

4,2 m/s.

12

Un avión vuela con velocidad constante, a una altura de 3000 m, en una trayectoria recta que lo llevará directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador advierte que el ángulo de elevación del avión es de

\frac{π}{3}

radianes y aumenta a razón de

\frac{1}{60}

rad/s. Determine la velocidad del avión.

-66,67 m/s.

13

Se bombea agua a un tanque que tiene forma de cono truncado circular recto a una razón uniforme de 2 l/min (1 litro equivale a 1000

c m^{3}

). El tanque tiene una altura de 80cm y radios inferior y superior de 20 cm y 40 cm, respectivamente.¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 30 cm?

Nota: El volumen $V$ de un cono truncado circular recto de altura $h$ y radios inferior y superior $a$ y $b$ , respectivamente, viene dado por: $V = \frac{hπ}{3} (a^{2} + ab + b^{2})$ .

0,8418 cm/s, aproximadamente.

14

Una ardilla en la base de un árbol comienza a subirlo a razón de 2,5 m/s. Dos segundos después, un gato, situado a 36 m de la base del árbol, ve la ardilla y comienza correr hacia el árbol con una rapidez de 3 m/s. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el gato y la ardilla 4s después de iniciada la persecución?

Disminuye a razón de 1,22 m/s.

15

Una granja tiene un tanque de agua de forma cónica (invertido), de radio 6 m y 15 m de altura. El tanque se encuentra vacío, por lo que el administrador de la granja enciende una bomba que vierte agua en el tanque a razón de 10 m

^{3}

/min, sin embargo no se percata de la existencia de un agujero en el fondo del tanque por donde se escapa el agua a razón de 0,5 m

^{3}

/min. Determine a qué razón varía el nivel del agua cuando la profundidad es de 8,28 m.

Aumenta a razón de 0,28 m/min.

16

Un controlador aéreo sitúa dos aviones (A y B) a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto en el ángulo recto. El controlador detecta que el avión A viaja a 450 km/h y el avión B a 600 km/h.

(a): ¿A qué ritmo varía la distancia entre los dos aviones, cuando A y B están a 150 km y 200 km, respectivamente, del punto de convergencia?
(b): ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias distintas?

(a): Disminuye a razón de 750 km/h.
(b): 20 min.

17

Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice opuesto al origen está sobre la curva

y = 2^{x}

. En este vértice, la coordenada

y

aumenta a razón de 1 unid/s. ¿A qué velocidad aumenta el área del rectángulo cuando

x = 2

Aumenta a razón de 3,44 unid

^{2}

/s.

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