Trazo de curvas

Ejercicio 14.1

Encuentre las ecuaciones de todas las rectas asíntotas de cada una de las funciones siguientes:

1: $f (z) = \frac{2 z + 3 - z^{2}}{2 z^{2} - 3 z - 9}$
$z = - \frac{3}{2}$ , $y = \frac{- 1}{2}$ .
2: $g (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 3}}$
$x = 3$ , $y = 1$ .
3: $h (w) = \frac{e^{w} + 1}{e^{w} - 1}$
$w = 0$ , $y = - 1$ en $- \infty$ , $y = 1$ en $\infty$ .
4: $g (u) = u - 2 + \frac{u^{2}}{u + 2}$
$u = - 2$ , $y = 2 u - 4$ .
5: $f (x) = \frac{x e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$
$x = 0$ , $y = - 1$ en $- \infty$ , $y = x$ en $\infty$ .

Ejercicio 14.2

A continuación se muestra la gráfica de la primera derivada de

f

:

1: ¿En qué intervalos crece la función $f$ ? Explique.
$f$ crece en los intervalos: $] 2, 4 [$ y $] 6, + \infty [$ pues es donde $f^{'} (x) > 0$ .
2: ¿En qué valores de $x$ tiene $f$ un máximo local? Explique.
Sólo en $x = 4$ ; pues $f^{'} (x) = 0$ . Alrededor de este punto $f^{'}$ cambia de signo.
3: ¿En qué valores de $x$ tiene $f$ un mínimo local? Explique.
En $x = 2$ y $x = 6$ ; pues $f^{'} (x) = 0$ . Alrededor de estos puntos, $f^{'}$ cambia de signo.
4: ¿En qué intervalos es $f$ cóncava hacia arriba? Explique.
$f$ es cóncava hacia arriba en los intervalos $] 1, 3 [,] 5, 7 [$ y $] 8, + \infty [$ ; pues $f^{'}$ crece.
5: ¿En qué valores de $x$ , posee $f$ puntos de inflexión? ¿Por qué?
En $x = 1; x = 3; x = 5; x = 7$ y $x = 8$ ; pues $f^{'}$ alcanza máx. o mín. relativos, o bien $f^{'}$ no existe y hay cambio de monotonía de $f^{'}$ .

Ejercicio 14.3

Considere la gráfica de la primera derivada de una función

f : ℝ \to ℝ

. Si se sabe que

f

es continua en todo su dominio, entonces con base en la gráfica que sigue responda cada una de las preguntas que se plantean.

1: ¿En qué intervalos $f$ decrece?
La gráfica de $f$ decrece en los intervalos: $] - \infty, - 4.5 [$ , $] - 3.5, - 2.5 [$ , $] - 2, 0 [$ y $] 1, + \infty [$ , pues es donde $f^{'} (x)$ es negativa.
2: ¿En qué valores de $x$ , $f$ alcanza un máximo?
En $x = - 3, 5$ , $x = - 2$ y $x = 1$ , pues es donde $f^{'} (x)$ es cero y, alrededor de estos puntos, hay cambio de signo de $f^{'}$ de positivo a negativo (recuerde que $f$ es continua y el máximo puede ser "un pico"). En $x = - 2$ y en $x = 1$ no podría ser un máximo local.
3: ¿En qué valores de $x$ , $f$ alcanza un mínimo local?
En $x = - 4.5$ , $x = - 2.5$ y $x = 0$ ; pues es donde $f^{'} (x)$ es cero y, alrededor de estos puntos, hay cambio de signo de $f^{'}$ de negativo a positivo.
4: ¿En qué intervalos es $f$ cóncava hacia abajo?
$f$ es cóncava hacia abajo en los intervalos $] - 4, - 3 [$ y $] 1, + \infty [$ , pues $f^{'}$ es decreciente y por lo tanto $f^{′′} (x)$ es negativa.
5: ¿En qué valores de $x$ , $f$ posee puntos de inflexión?
En: $x = - 4$ , $x = - 3$ y $x = 1$ , pues es donde $f^{'}$ alcanza máximos o mínimos, o bien, $f^{'}$ no existe y hay cambio de monotonía de $f^{'}$ .
6: Realice un bosquejo de una posible gráfica para $f$ .
7: Realice un bosquejo de una posible gráfica para $f^{″}$ .

Ejercicio 14.4

Trace una gráfica para cada función que cumpla las condiciones dadas en cada ejercicio.

1

Propiedades de la función

f

(a): $f (- 4) = f (- 2) = f (0) = f (2) = 0$ , $f (- 1) = - 1$ ,
(b): $f (1) = 2$ ,
(c): $f^{'} (- 3) = f^{'} (- 1) = f^{'} (1) = 0$ ,
(d): $f^{'} (x) > 0$ si $x < - 3$ o $- 1 < x < 1$ ,
(e): $f^{'} (x) < 0$ si $- 3 < x < - 1$ o $x > 1$ ,
(f): $lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$

2

Propiedades de la función

f

(a): $dom f =] 0, \infty [- {2}$ ,
(b): $f (1) = 1$ ,
(c): $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 2} f (x) = - \infty$ ,
(d): $f^{'} (x) > 0$ si $0 < x < 1$ o $x > 2$ ,
(e): $f^{'} (x) < 0$ si $1 < x < 2$

3

Propiedades de la función

f

(a): $D_{f} = ℝ - {- 3, 1}$
(b): $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$
(c): $lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$
(d): $lim_{x \to - 3^{-}} f (x) = - \infty$
(e): $lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = 2$
(f): $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 2$
(g): $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - \infty$
(h): $f (0) = - 1$
(i): $f (- 1) = 1$
(j): $f^{'} (x) < 0$ $\forall x > 3$
(k): $f^{'} (x) = - 1$ $\forall x \in] - 3, - 1 [$
(l): l.) $lim_{x \to - 1} f (x)$ existe.

4

Propiedades de la función

f

(a): $D_{f} = ℝ - [\frac{- 1}{2}, \frac{1}{2}]$
(b): $lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$
(c): $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = - 1$
(d): $lim_{x \to {(- 1 ∕ 2)}^{-}} f (x) = 0$
(e): $lim_{x \to {(1 ∕ 2)}^{+}} f (x) = 1$
(f): $f^{'} (x) > 0$ $\forall x \in] - \infty, - 3 [\cup] \frac{1}{2}, 2 [$
(g): $f^{'} (- 2) = 0$
(h): $f^{'} (- 1)$ no existe.

5

Propiedades de la función

f

(a): $D_{f} = ℝ$
(b): $f$ es derivable únicamente en $ℝ - {- 1, 2}$
(c): $lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 1$
(d): $f^{″} (x) > 0$ , $\forall x > 3$
(e): $f^{″} < 0$ , $\forall x \in] - \infty, 2 [- {- 1}$
(f): $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = - \infty$
(g): $f$ es continua a la izquierda de 2.
(h): $lim_{x \to - \infty} f^{'} (x) = 0$
(i): $lim_{x \to - \infty} f (x) < 0$
(j): $f (2) = 2$

6

Propiedades de la función

f

(a): $f^{'} (- 1) = 0$ , $f^{'} (1)$ no existe
(b): $f^{'} (x) < 0$ si $| x | < 1$ , $f^{'} (x) > 0$ si $| x | > 1$ ,
(c): $f (- 1) = 4$ ,
(d): $f (1) = 0$ ,
(e): $f^{″} (x) < 0$ si $x \neq 1$ .

Ejercicio 14.5

Dados la gráfica de

f^{'}

y algunos datos de

f

, bosqueje la gráfica de

f

.

1.: $lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - \infty$
2.: $lim_{x \to + \infty} f (x) = - 2$
3.: $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = + \infty$
4.: $f (- 2) = f (1) = 0$
5.: $f (3) = - 1$

Ejercicio 14.6

Realice el análisis completo y trace la gráfica, de cada una de las funciones siguientes:

1: $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{4 - x^{2}}$
$f^{'} (x) = - \frac{10 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}, f^{″} (x) = - \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}}$
2: $f (u) = \frac{u^{3} - 4}{u}$
$f^{'} (u) = \frac{2 u^{3} + 4}{u^{2}}, f^{″} (u) = \frac{2 (u^{3} - 4)}{u^{3}}$
3: $g (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 3}}$
$g^{'} (x) = - \frac{3}{2 \sqrt{x} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}, g^{″} (x) = \frac{3 ({(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + 3 x \sqrt{x - 3})}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{3}}$
4: $h (x) = \frac{3}{1 + e^{- x}}$
$h^{'} (x) = \frac{3 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}, h^{″} (x) = \frac{3 e^{- 2 x} (- e^{x} + 1)}{{(e^{- x} + 1)}^{3}}$

Ejercicio 14.7

Determine las ecuaciones de todas las asíntotas a la gráfica de la función

h

definida por:

h (x) = {\begin{matrix} \frac{4 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} & si & x & \leq & - 5 \\ \frac{3 x^{2} + 6 x}{x^{2} - 9} & si & - 5 & < & x & \leq & 0 \\ arctan (\frac{3 x - 2}{1 - 3 x}) & si & x & > & 0 \end{matrix}

A.H cuando

x \to + \infty : y = \frac{- π}{4}

, A.V:

x = - 3

, A.O: cuando

x \to - \infty : y = 4 x .

Ejercicio 14.8

Para cada una de las funciones siguientes:

Verifique las derivadas dadas.
Realice el análisis completo y trace la gráfica respectiva.

1: $\begin{matrix} f (x) = \frac{x^{3} - 27}{8 - x^{3}}, & f^{'} (x) = - \frac{57 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{2}}, & f^{″} (x) = \frac{228 x (x^{3} + 4)}{{(x^{3} - 8)}^{3}} \end{matrix}$
2: $\begin{matrix} r (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}, & r^{'} (x) = \frac{x^{4} - 3 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}, & r^{″} (x) = \frac{2 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \end{matrix}$

13. Trazo de curvas