Problemas de Optimizacion

15. Problemas de Optimización

Estrategia para problemas de optimización

1: Hacer un dibujo y nombrar las variables; identificar la cantidad $Q$ que se debe maximizar o minimizar.
2: Escribir $Q$ en términos de las variables y usar las condiciones del problema (la restricción) para dejar $Q$ como función de una sola variable.
3: Determinar el intervalo de valores admisibles de esa variable, según la geometría del problema.
4: Buscar los puntos críticos de $Q$ y decidir con el criterio de la primera o de la segunda derivada; comparar también con los extremos del intervalo si son admisibles, y volver al enunciado para dar la respuesta pedida.

Ejemplo38Un problema de optimización

Hallar las dimensiones del trapecio isósceles de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio $4$ .

Solución.

Primero vamos a ver la situación con un widget: Arrastrando el deslizador podemos ver que hay un valor de $a$ para el que el área es máxima.

Optimización del trapecio

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte

Ahora vamos a hacer el cálculo formal de ese valor de $a$ en el que el área es máxima.

1

Modelo geométrico. Colocamos el semicírculo con centro en

(0, 0)

y radio

R = 4

, ecuación

x^{2} + y^{2} = 16

y \geq 0

. El trapecio isósceles tiene base mayor horizontal sobre el diámetro, base menor paralela arriba y vértices sobre la semicircunferencia.

2

Parámetro. Sea

2 x

la longitud de la base menor (

0 < x < 4

), entonces la altura

h

viene dada por

h = \sqrt{16 - x^{2}} .

3

Función área. Base mayor =

2 R = 8

. Área del trapecio:

A (x) = \frac{(base mayor + base menor)}{2} \cdot h = \frac{(8 + 2 x)}{2} \cdot \sqrt{16 - x^{2}} = (4 + x) \sqrt{16 - x^{2}} .

4

Optimización. Derivamos

A (x)

y simplificamos:

A^{'} (x) = \sqrt{16 - x^{2}} + (4 + x) \cdot \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{16 - x^{2} - x (4 + x)}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{16 - 4 x - 2 x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} .

Igualamos $A^{'} (x) = 0$ (numerador = 0):

2 x^{2} + 4 x - 16 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 8 = 0 .

Solución positiva: $x = \frac{- 2 + \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{- 2 + 6}{2} = 2$ .

5

Dimensiones del trapecio óptimo. Con

x = 2

\begin{aligned} Base menor & = 2 x = 4, \\ Base mayor & = 8, \\ Altura & = h = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} . \end{aligned}

6

Área máxima.

A_{máx} = (4 + 2) \cdot 2 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} .

Ejercicio 16.1

Resuelva los siguientes problemas de optimización.

1: Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada, cuyos materiales para los lados cuestan $$ 3$ el $d m^{2}$ y, para el fondo, $$ 4$ el $d m^{2}$ . ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo que se puede construir con un valor de $$ 48$ ?
$2$ dm de largo, $2$ dm de ancho y $\frac{4}{3}$ dm de alto.
2: Halle el punto sobre la recta $6 x + y = 9$ , más cercano al punto $(- 3, 1)$ .
$(\frac{45}{37}, \frac{63}{37})$
3: Un bote sale de un muelle a las $2 : 00$ p.m. y viaja hacia el sur a una velocidad de $20$ km/h. Otro bote ha estado enfilando hacia el este a $15$ km/h y llega al mismo muelle a las $3 : 00$ p.m. ¿En que momento estuvieron los dos botes más próximos?
A las $2 : 21 : 36$ p.m.
4: Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto $(3, 5)$ y corta un área mínima en el primer cuadrante.
$y = \frac{- 5}{3} x + 10$ .
5: Una persona está en un punto $X$ en la orilla de un río recto de $50$ m de ancho, y quiere llegar a otro punto $Y$ en la otra orilla del río, ubicado $75$ m río abajo. Puede correr a $250$ m/min por su lado del río para luego nadar a $30$ m/min en línea recta hasta llegar a $Y$ . Desestimando la corriente del río, ¿qué distancia debe correr antes de entrar al agua, y qué distancia nadar, de modo que minimice el tiempo total? ¿Cuánto es el tiempo mínimo?
Correr 68,956 m; nadar 50,364 m; 1,955 min.
6: Una pista de atletismo consta de una zona rectangular y un semicírculo en cada uno de sus extremos. Si el perímetro de la pista ha de ser $200$ metros, calcular las dimensiones que hacen máxima el área de la zona rectangular. ¿Cuál es el área total de la pista?
Lados rectos de $50$ m y ancho $\frac{100}{π} \approx 31, 83$ m (radio $\frac{50}{π} \approx 15, 92$ m). Área total de la pista: $\frac{5000}{π} + \frac{2500}{π} = \frac{7500}{π} \approx 2387, 32$ m $^{2}$ .
7: Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $5$ cm y $12$ cm, si el rectángulo tiene un vértice en el ángulo recto del triángulo y otro vértice en la hipotenusa del triángulo.

$2.5$ cm $\times$ $6$ cm.
8: Se desea cercar una superficie de $60000$ $m^{2}$ en forma rectangular, para después dividirla en dos mitades con una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo y en qué dirección debe ir la división para minimizar el costo de la cerca?

200 m $\times$ 300 m, con la división paralela al lado de 200 m.
9: El interior de una pista de carreras de $800$ metros consiste en un rectángulo con semicírculos en dos de sus extremos opuestos (en la figura, la pista es el perímetro). Encuentre las dimensiones que maximizan el área del rectángulo.

63.66 m el radio de los semicírculos, 200 m los lados rectos.
10: Una lata cilíndrica con tapa debe contener $225$ $c m^{3}$ de líquido. EL costo por $c m^{2}$ de material es de $15$ céntimos para el fondo y la tapa, y $10$ céntimos para la pared lateral. ¿Qué dimensiones de la lata minimizan el costo de los materiales?¿Cuál es el costo mínimo?
2.8794 cm el radio de la base, 8.6382 cm la altura; costo $23.44$ colones.
11: Un envase circular se construye poniendo una semiesfera en un extremo de un cilindro circular recto. El envase, incluyendo la semiesfera, debe tener una capacidad de $1.8$ litros.¿Cuáles dimensiones minimizan la cantidad de material requerido?

7.00527 cm el radio del cilindro, 7.00527 cm la altura del cilindro.
12: Un rectángulo tiene un vértice en $(0, 0)$ , un lado sobre el eje $X$ y otro lado sobre el eje $Y$ . El vértice opuesto a $(0, 0)$ está sobre la parábola $y = 2 x^{2} - 9 x + 12$ con $0 \leq x \leq 3$ . ¿Cuál es el área máxima posible para el rectángulo?

$A = 9$ cuando $x = 3$ .
13: La ecuación $x^{2} + y^{2} = 9$ describe en el plano cartesiano una circunferencia de radio $3$ con centro en el origen.¿Cuál es el área del mayor rectángulo que se puede inscribir en esa circunferencia?

18.
14: ¿Cuál es la distancia mínima entre la parábola $P$ con ecuación $y = x^{2}$ y la recta $R$ con ecuación $y = x - 1$ ?

$\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ , entre $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ y $(\frac{7}{8}, \frac{- 1}{8})$ .
15: ¿Cuál es el largo y el ancho que debe tener un rectángulo de $100$ metros de perímetro para que su área sea máxima?
Ancho y largo iguales: 25 metros.
16: Hallar dos números positivos cuyo producto sea $192$ y cuya suma sea mínima.
Los dos números son iguales a $\sqrt{192} = 8 \sqrt{3} \approx 13, 86$ (suma mínima $16 \sqrt{3} \approx 27, 71$ ).
17: Con $10$ metros de hilo se forman un círculo y un triángulo isósceles rectángulo. ¿Cuánto hilo hay que emplear en el círculo para que el área total encerrada por ambos sea máxima?
En el círculo hay que emplear 10 metros.
18: Una caja de base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de $32$ $d m^{3}$ . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
$4$ dm el lado de la base, $2$ dm la altura.
19: Un rectángulo está acotado por los ejes " $x$ ", " $y$ " y por el gráfico de la ecuación $y = \frac{6 - x}{2}$ . ¿Cuál es el largo y el ancho que debe tener el rectángulo para que su área sea máxima?

Ancho: $\frac{3}{2}$ ; largo: $3$ .
20: Un rectángulo está limitado por el eje " $x$ " y por el semicírculo $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ . ¿Cuál debe ser el largo y el ancho del rectángulo para lograr que su área sea máxima?

Largo (base) $= 5 \sqrt{2} \approx 7, 07$ y ancho (altura) $= \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3, 54$ ; área máxima $= 25$ .
21: Si se cuenta con $1 200$ cm $^{2}$ de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
Vol $= 4000$ cm $^{3}$ (base de $20$ cm de lado y $10$ cm de altura).
22: En un cartel rectangular los márgenes superior e inferior miden $6$ cm cada uno y los laterales, $4$ cm. Si el área del material impreso se fija en $384$ cm $^{2}$ , ¿cuáles son las dimensiones del cartel de área mínima?
Largo $36$ cm y ancho $24$ cm.

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