Calculemos $\underset{r\to -\infty }{\lim <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}\frac{3r+2}{\sqrt{4r^2-r+1}}$ (es el primer ítem de la lista siguiente).

1.

Se factoriza $r^2$ dentro de la raíz: $\sqrt{4r^2-r+1}=\sqrt{r^2}\sqrt{4-{\displaystyle \frac{1}{r}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}}$.

2.

Por el lema, $\sqrt{r^2}=|r|$, y como $r\to -\infty$ se tiene $r<0$ y $|r|=-r$. Este es el paso donde se pierde el resultado si se escribe $r$ en lugar de $-r$.

3.

Se divide numerador y denominador entre $r$ (que es negativo):

$$\frac{3r+2}{-r\sqrt{4-\frac{1}{r}+\frac{1}{r^2}}}=\frac{3+\frac{2}{r}}{-\sqrt{4-\frac{1}{r}+\frac{1}{r^2}}}.$$

4.

Como ${\displaystyle \frac{1}{r}}\to 0$ y ${\displaystyle \frac{2}{r}}\to 0$, el límite es ${\displaystyle \frac{3}{-\sqrt{4}}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.