Lımites al infinito

17. Límites al infinito

Definición 9 — Límite cuando

x \to \pm \infty

Se escribe $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ si los valores de $f (x)$ se acercan tanto como se quiera a $L$ al tomar $x$ suficientemente grande. De manera precisa, para cada $𝜀 > 0$ existe $N > 0$ tal que

x > N ⟹ | f (x) - L | < 𝜀 .

Para $x \to - \infty$ se sustituye la condición $x > N$ por $x < - N$ . La recta $y = L$ es una asíntota horizontal si alguno de estos límites es igual a $L$ .

Ejemplo12Una asíntota horizontal

Calculemos $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x - 1}{x + 3}$ .

1.

La sustitución directa no sirve: numerador y denominador crecen sin cota (forma

\frac{\infty}{\infty}

2.

Se divide numerador y denominador entre

x

, que es la potencia dominante:

\frac{2 x - 1}{x + 3} = \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}} .

3.

Cuando

| x |

crece,

\frac{1}{x} \to 0

\frac{3}{x} \to 0

; por las leyes de los límites el cociente tiende a

\frac{2 - 0}{1 + 0} = 2

4.

El resultado es el mismo por ambos lados, así que

y = 2

es una asíntota horizontal de la gráfica.

Definición 10 — Comportamiento infinito.

Se escribe $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ si, para cada $M > 0$ , existe $N > 0$ tal que

x > N ⟹ f (x) > M .

Los casos $x \to - \infty$ y $f (x) \to - \infty$ se definen cambiando las desigualdades correspondientes. Los símbolos $+ \infty$ y $- \infty$ no son números reales; describen crecimiento no acotado.

Ejemplo13Un polinomio que no está acotado

Veamos que $\lim_{x \to - \infty} (x^{3} - 2 x) = - \infty$ .

1.: Se factoriza la potencia dominante: $x^{3} - 2 x = x^{3} (1 - \frac{2}{x^{2}})$ .
2.: El paréntesis tiende a $1$ , pues $\frac{2}{x^{2}} \to 0$ ; en particular es positivo para $| x |$ grande.
3.: Como el exponente $3$ es impar, $x^{3} \to - \infty$ cuando $x \to - \infty$ .
4.: El producto de una cantidad que tiende a $- \infty$ por otra que tiende a $1 > 0$ tiende a $- \infty$ ; y esto es lo que dice la definición: dado cualquier $M > 0$ , para $x$ suficientemente negativo se tiene $x^{3} - 2 x < - M$ .

Teorema 8 — Cocientes de polinomios.

Sean $P (x) = a_{m} x^{m} + \dots$ y $Q (x) = b_{n} x^{n} + \dots$ , con $a_{m} \neq 0$ y $b_{n} \neq 0$ . Entonces el comportamiento de $P (x) ∕ Q (x)$ cuando $x \to \pm \infty$ está determinado por

\frac{P (x)}{Q (x)} \sim \frac{a_{m}}{b_{n}} x^{m - n} .

Aquí, $F (x) \sim G (x)$ significa que $\lim_{x \to \pm \infty} F (x) ∕ G (x) = 1$ . En particular,

\lim_{x \to \pm \infty} \frac{P (x)}{Q (x)} = {\begin{matrix} 0, & m < n, \\ \frac{a_{m}}{b_{n}}, & m = n . \end{matrix}

Si $m > n$ , el signo y la paridad de la potencia dominante determinan si el cociente tiende a $+ \infty$ o a $- \infty$ .

Ejemplo14Comparación de grados

Calculemos $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2}$ (es el primer ítem de la lista siguiente).

1: Se identifican los términos dominantes: $x^{2}$ arriba y $x^{3}$ abajo, de modo que $m = 2$ y $n = 3$ .
2: Por el teorema, el cociente se comporta como $\frac{1}{1} x^{2 - 3} = \frac{1}{x}$ .
3: Como $m < n$ , el límite es $0$ ; con detalle, al dividir todo entre $x^{3}$ se obtiene $\frac{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{3}}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}}$ , cuyo numerador tiende a $0$ y cuyo denominador tiende a $1$ .
4: Por lo tanto el límite vale $0$ (y $y = 0$ es asíntota horizontal). Obsérvese que el mismo argumento sirve para $x \to + \infty$ .

Ejercicio 18.1

Calcule cada uno de los límites siguientes

1: $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2}$
$0$ .
2: $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + x + 3}{- x^{3} + 1}$
$0$ .
3: $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{5} + 3 x^{7}}{2 x^{8}}$
$0$ .
4: $\lim_{y \to - \infty} \frac{y^{3} - 2 y + 1}{y - 5} + \frac{y^{2} + 6}{y^{2} - y}$
$+ \infty$ .
5: $\lim_{b \to + \infty} (\frac{b^{2}}{3 b + x} - \frac{b^{3}}{3 b^{2} - 4})$
$- \frac{x}{9}$ .
6: $\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + 1}{2 x^{\frac{4}{3}} + 2 x - \frac{2}{3} \sqrt[3]{x^{5}}}$
$- \frac{9}{2}$ .

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