Rectas tangentes y rectas normales

Ejercicio 52.1

Encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva:

f (x) = 1 - x^{2}

, en el punto

(2, - 3)

. Grafique la parábola y sus respectivas rectas tangente y la normal.

Recta tangente:

y = - 4 x + 5

. Recta normal:

4 y = x - 14

.

Ejercicio 52.2

Encuentre una parábola que tenga la ecuación

f (x) = a x^{2} + 𝑏𝑥

, cuya recta tangente en el punto

(1, 1)

tenga por ecuación

y = 3 x - 2

.

f (x) = 2 x^{2} - x

.

Ejercicio 52.3

¿Para qué valores de

a

y

b

la recta

2 x + y = b

es tangente a la parábola

f (x) = a x^{2}

cuando

x = 2

?

Parábola:

f (x) = \frac{- x^{2}}{2}

. Recta tangente:

2 x + y = 2

.

Ejercicio 52.4

Verifique que la recta

y = - x

es tangente a la curva con ecuación

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x

. Determine el o los puntos

P

de tangencia y encuentre la ecuación de la recta normal a la curva en el punto

P

.

La recta

y = - x

es tangente a la curva únicamente en

P (3, - 3)

, y la recta normal en

P

es

y = x - 6

. En

Q (1, 3)

se tiene

f^{'} (1) = - 1

, de modo que la recta tangente en

Q

es paralela a

y = - x

: es

y = - x + 4

, y la normal en

Q

es

y = x + 2

.

Ejercicio 52.5

Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva

f (x) = x \ln x

que sea paralela a la recta

2 x - 2 y + 3 = 0

. ¿En cuál punto la gráfica de

f (x)

posee una recta tangente horizontal?

Recta normal:

y = x - 3 e^{- 2}

. Recta tangente horizontal en:

P (e^{- 1}, - e^{- 1})

.

Ejercicio 52.6

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado:

w = \frac{1}{\sqrt{2 u + 5}}

en

u = - 2

.

w - 1 = - (u + 2)

.

Ejercicio 52.7

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

1: $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ en $x = 8$ .
$y - \frac{1}{4} = - \frac{1}{48} (x - 8)$ .
2: $y = sen x + 2 \cos x$ en $x = π ∕ 2$ .
$y - 1 = - 2 (x - \frac{π}{2})$ .

Ejercicio 52.8

Encuentre los puntos donde la recta tangente a

y = 4 u^{2} - 5 u + 6

es paralela a la recta con ecuación

y = 7 u - 2

.

(\frac{3}{2}, \frac{15}{2}) .

Ejercicio 52.9

Encuentre los puntos donde la recta tangente a

y = \frac{2 x}{{(3 - x)}^{2}}

es paralela a la recta con ecuación

10 x - y = 5

.

(2, 4)

.

Ejercicio 52.10

Encuentre los puntos donde la recta tangente a

y = e^{u^{2} + 2 u}

es horizontal.

(- 1, e^{- 1}) .

Ejercicio 52.11

Encuentre la ecuación de la recta tangente a

3 x^{2} + 5 y^{2} = 48

en

(- 1, 3)

. (La ecuación anterior representa una elipse,

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}

donde

a

y

b

son los semiejes).

y - 3 = \frac{1}{5} (x + 1) .

Ejercicio 52.12

Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{6} = 0

en

(3, - 2)

. (la ecuación anterior representa una hipérbola).

y + 2 = \frac{9}{4} (x - 3) .

Ejercicio 52.13

Halle los puntos de la curva

f (x) = x^{3} - 3 x + 5

en los que la recta tangente es perpendicular a la recta

y = - \frac{x}{9}

. ¿En cuáles puntos la gráfica de

f

posee rectas tangentes horizontales?

La recta tangente es perpendicular a la recta

y = - \frac{x}{9}

en

(- 2, 3)

y

(2, 7)

. Posee rectas tangentes horizontales en

(1, 3)

y

(- 1, 7) .

Ejercicio 52.14

Determine la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto donde

x = 0

, donde su ecuación es

y = (2 x + 1) {(x^{2} + 3 x + 1)}^{1 ∕ (x + 1)}

.

5

.

Ejercicio 52.15

Sea

f (x) = (x^{3} - 4 x^{2}) g (x)

. Se sabe que la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación

y = g (x)

en el punto de tangencia

(- 2, 5)

es

y = \frac{x}{4} + 5

. Determine

f^{'} (- 2)

.

236.

Ejercicio 52.16

Sea

y = f (x)

definida por

f (x) = x^{2} + 3 \ln (x + 3)

. Determinar la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa

x = 0

. Verificar que la curva tiene otra recta tangente paralela a la recta anterior y determinarla.

y = x + 3 \ln 3

.
La segunda recta tangente:

y = x + \frac{35}{4} - \ln 8

.

Ejercicio 52.17

Sea

g (x) = {[f (x)]}^{4}

donde

f

es una función derivable en

ℝ

tal que

f^{'} (1) = - \frac{1}{2}

y

f (1) = \frac{1}{2}

. Calcule una ecuación para la recta tangente a la gráfica de

g

en

x = 1

.

y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{16}

.

Ejercicio 52.18

Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse

x^{2} + 4 y^{2} = 36

que pasan por el punto

(12, 3)

.

y = 3

y

y = \frac{2}{3} x - 5

.

Ejercicio 52.19

Hallar la derivada de la función

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 & si & x & \geq & - 1 \\ \frac{1}{x} & si & x & < & - 1 \end{matrix}

y, si existe, hallar la ecuación de la recta tangente en

x = - 1

.

f^{'} (x) = 2 x

si

x > - 1

y

f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

si

x < - 1

. En

x = - 1

no hay derivada, pues

f_{-}^{'} (- 1) = - 1 \neq f_{+}^{'} (- 1) = - 2

(aunque

f

sí es continua ahí), de modo que no existe recta tangente en ese punto.

51. Rectas tangentes y rectas normales