La integral indefinida

65. La integral indefinida

Definición 17 — Primitiva e integral indefinida.

Sea $f : D \subset ℝ \to ℝ$ . Una función $F : D \to ℝ$ es una primitiva de $f$ en $D$ si

F^{'} (x) = f (x) para todo x \in D .

La familia de primitivas se denota por

\int f (x) 𝑑𝑥 = F (x) + C,

donde $C$ es una constante real.

Ejemplo39Primitivas: abusos de lenguaje y casos notables

Por abuso del lenguaje, es usual no indicar el conjunto donde la primitiva tiene sentido

1

\int \frac{x}{| x |} 𝑑𝑥 = | x | + C

(*)

2

\int | x | 𝑑𝑥 = \frac{1}{2} x | x | + C

3

\int \frac{1}{x} 𝑑𝑥 = \ln | x | + C

(*)

4

\int \ln x 𝑑𝑥 = x \ln x - x + C

5

\int \frac{1}{x^{2} + 1} 𝑑𝑥 = \arctan x + C

6

\int \arctan x 𝑑𝑥 = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C

7

Las funciones continuas en

D

tienen primitiva en

D

(como establece el Teorema Fundamental del Cálculo que está más adelante), pero esta primitiva no siempre se puede expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo

(a): $\int e^{- x^{2}} 𝑑𝑥$
(b): $\int \frac{sen x}{x} 𝑑𝑥$
(c): $\int \frac{1}{\ln x} 𝑑𝑥$

(*) Formalmente, como el dominio de $y = x ∕ | x |$ y de $y = 1 ∕ x$ es $ℝ ∖ {0}$ , las primitivas deberían escribirse con constantes distintas en cada componente conexa:

\int \frac{x}{| x |} 𝑑𝑥 = {\begin{matrix} x + C_{1} & si & x > 0, \\ - x + C_{2} & si & x < 0, \end{matrix} \int \frac{1}{x} 𝑑𝑥 = {\begin{matrix} \ln (x) + C_{1} & si & x > 0, \\ \ln (- x) + C_{2} & si & x < 0 . \end{matrix}

Teorema 21 — Unicidad en intervalos y linealidad.

Si $F$ y $G$ son primitivas de $f$ en un intervalo $I$ , entonces existe una constante $C$ tal que $F (x) - G (x) = C$ para todo $x \in I$ . En dominios con varias componentes conexas puede aparecer una constante distinta en cada componente. Además, para $a, b \in ℝ$ ,

\int [𝑎𝑓 (x) + 𝑏𝑔 (x)] 𝑑𝑥 = a \int f (x) 𝑑𝑥 + b \int g (x) 𝑑𝑥 .

Ejemplo40Dos primitivas de la misma función

Verifiquemos que $F (x) = {sen}^{2} x$ y $G (x) = - \frac{1}{2} \cos (2 x)$ son primitivas de la misma función y comprobemos el teorema.

1.: $F^{'} (x) = 2 sen x \cos x = sen (2 x)$ , así que $F$ es primitiva de $sen (2 x)$ en todo $ℝ$ .
2.: $G^{'} (x) = - \frac{1}{2} (- 2 sen (2 x)) = sen (2 x)$ , de modo que $G$ también lo es.
3.: Según el teorema, ambas deben diferir en una constante. En efecto, con $\cos (2 x) = 1 - 2 {sen}^{2} x$ : $F (x) - G (x) = {sen}^{2} x + \frac{1}{2} (1 - 2 {sen}^{2} x) = \frac{1}{2}$ .
4.: Por eso $\int sen (2 x) 𝑑𝑥$ admite las dos formas, que difieren solo en el valor de $C$ : ninguna es "más correcta" que la otra.

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