Integrales básicas y sustitución

66. Integrales básicas y sustitución

Teorema 22 — Integrales básicas.

En los intervalos donde las expresiones estén definidas,

\begin{matrix} \int x^{r} 𝑑𝑥 = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C & (r \neq - 1), & \int \frac{𝑑𝑥}{x} = \ln | x | + C, \\ \int e^{x} 𝑑𝑥 = e^{x} + C, & \int a^{x} 𝑑𝑥 = \frac{a^{x}}{\ln a} + C (a > 0, a \neq 1), \\ \int sen x 𝑑𝑥 = - \cos x + C, & \int \cos x 𝑑𝑥 = sen x + C, \\ \int \sec^{2} x 𝑑𝑥 = \tan x + C, & \int \csc^{2} x 𝑑𝑥 = - \cot x + C, \\ \int \sec x \tan x 𝑑𝑥 = \sec x + C, & \int \csc x \cot x 𝑑𝑥 = - \csc x + C, \\ \int \frac{𝑑𝑥}{1 + x^{2}} = \arctan x + C, & \int \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{1 - x^{2}}} = arcsen x + C . \end{matrix}

Ejemplo41Linealidad más tabla de integrales básicas

Calculemos $\int (3 x^{4} - \frac{2}{x} + 5 e^{x} + \sec^{2} x) 𝑑𝑥$ .

1.: Por la linealidad, la integral de la suma es la suma de las integrales y las constantes salen fuera.
2.: Con $\int x^{r} 𝑑𝑥 = \frac{x^{r + 1}}{r + 1}$ ( $r \neq - 1$ ): $\int 3 x^{4} 𝑑𝑥 = \frac{3 x^{5}}{5}$ . Obsérvese que el caso $r = - 1$ es justamente el segundo sumando, que no sigue esa fórmula.
3.: Las otras tres son de la tabla: $\int \frac{𝑑𝑥}{x} = \ln | x |$ , $\int e^{x} 𝑑𝑥 = e^{x}$ y $\int \sec^{2} x 𝑑𝑥 = \tan x$ .
4.: Se reúnen los resultados y se escribe una sola constante: $\frac{3 x^{5}}{5} - 2 \ln | x | + 5 e^{x} + \tan x + C$ .

Teorema 23 — Cambio de variable.

Si $F^{'} = f$ y $u = g (x)$ es derivable, entonces

\int f (g (x)) g^{'} (x) 𝑑𝑥 = F (g (x)) + C .

La sustitución debe transformar toda la integral, incluido el diferencial, en una expresión de la nueva variable.

Ejemplo42Cambio de variable

Calculemos $\int \frac{\ln^{3} x}{x} 𝑑𝑥$ .

1.: Se busca en el integrando una función y su derivada: aparece $\ln x$ junto con $\frac{1}{x}$ , que es exactamente ${(\ln x)}^{'}$ .
2.: Se toma $u = \ln x$ , de donde $𝑑𝑢 = \frac{𝑑𝑥}{x}$ ; el diferencial también queda transformado, como exige el teorema.
3.: La integral se vuelve elemental: $\int u^{3} 𝑑𝑢 = \frac{u^{4}}{4} + C$ .
4.: Se regresa a la variable original: $\int \frac{\ln^{3} x}{x} 𝑑𝑥 = \frac{\ln^{4} x}{4} + C$ , para $x > 0$ . Derivando se comprueba el resultado.

Ejercicio 67.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{(w^{2} - 2) (w^{2} + 2)}{4 w^{3}} 𝑑𝑤$
$\frac{1}{8} w^{2} + \frac{1}{2 w^{2}} + C .$
2: $\int \frac{6^{x} - 4 \cdot 1 5^{x}}{3^{2 x}} 𝑑𝑥$
$\frac{{(\frac{2}{3})}^{x}}{\ln (\frac{2}{3})} - \frac{4 {(\frac{5}{3})}^{x}}{\ln (\frac{5}{3})} + C .$
3: $\int \frac{(e^{q} - 1) (e^{q} + 1)}{e^{q}} 𝑑𝑞$
$e^{q} + e^{- q} + C .$
4: $\int \frac{2^{t} - 1}{5 + t \ln 2 - 2^{t}} 𝑑𝑡$
$- \frac{1}{\ln 2} \ln | 5 + t \ln 2 - 2^{t} | + C .$
5: $\int {(e^{u ∕ 2} + e^{- u ∕ 2})}^{2} 𝑑𝑢$
$e^{u} + 2 u - e^{- u} + C .$
6: $\int \frac{u 𝑑𝑢}{(u^{2} + 1) \sqrt{1 + \ln (u^{2} + 1)}}$
$\sqrt{1 + \ln (u^{2} + 1)} + C .$
7: $\int (5 r^{2} + \csc (r) \cot (r)) 𝑑𝑟$
$\frac{5 r^{3}}{3} - \csc r + C .$
8: $\int \frac{{(2 v - 1)}^{2}}{3 \sqrt{v^{3}}} 𝑑𝑣$
$\frac{8 v^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{8 v^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2}{3 v^{\frac{1}{2}}} + C .$
9: $\int \frac{{(w^{2} - 2)}^{2} (w^{2} + 2)}{3 w^{3}} 𝑑𝑤$
$\frac{1}{3} (\frac{w^{4}}{4} - w^{2} - 4 \ln | w | - \frac{4}{w^{2}}) + C .$
10: $\int \frac{24 q}{4 q^{2} + 7} 𝑑𝑞$
$3 \ln (4 q^{2} + 7) + C .$
11: $\int (\frac{3}{z^{2}} - \frac{3 z}{z^{2} + 1}) 𝑑𝑧$
$- 3 z^{- 1} - \frac{3}{2} \ln (z^{2} + 1) + C .$
12: $\int 3 \sec^{2} (u) (\tan (u + 5)) 𝑑𝑢$
$- \frac{3 \tan u}{\tan 5} - \frac{3 (1 + \tan^{2} (5))}{\tan^{2} (5)} \ln | 1 - \tan 5 \tan u | + C$
13: $\int \sec^{2} (α) \sqrt{5 + 2 \tan (α)} 𝑑𝛼$
$\frac{{(5 + 2 \tan α)}^{3 ∕ 2}}{3} + C .$
14: $\int \tan^{2} (α) \sec^{2} (α) sen (α) 𝑑𝛼$

(Sug: Recuerde que $\tan^{2} (x) = \sec^{2} (x) - 1$ )

$\frac{\sec^{3} α}{3} - \sec α + C .$
15: $\int \frac{x + 1}{x - 1} 𝑑𝑥$
$x - 1 + 2 \ln | x - 1 | + C .$
16: $\int \frac{1}{1 + e^{- x}} 𝑑𝑥$
$\ln (e^{x} + 1) + C .$
17: $\int sen (2 x) \cos (2 x) 𝑑𝑥$
$\frac{- \cos^{2} (2 x)}{4} + C .$
18: $\int \tan (x) \ln (\cos x) 𝑑𝑥$
$- \frac{\ln^{2} (\cos x)}{2} + C .$
19: $\int x^{x} (1 + \ln x) 𝑑𝑥$

(Sug: Recuerde que ${[x^{x}]}^{'} = x^{x} (1 + \ln x)$ )

$x^{x} + C .$
20: $\int \frac{x + 1}{1 + x^{2}} 𝑑𝑥$
$\arctan x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C .$
21: $\int x \cos (x^{2}) 𝑑𝑥$
$\frac{1}{2} sen x^{2} + C .$
22: $\int 5 x \sqrt{1 + x^{2}} 𝑑𝑥$
$\frac{5 {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}}{3} + C$
23: $\int sen x \sqrt{1 + \cos x} 𝑑𝑥$
$- \frac{2}{3} {(1 + \cos x)}^{3 ∕ 2} + C .$
24: $\int \frac{𝑑𝑥}{1 - sen x}$
(Sug: Multiplique por $\frac{1 + sen x}{1 + sen x}$ y separe)

$\tan x + \sec x + C .$
25: $\int \frac{u 𝑑𝑢}{\sqrt{3 + u^{2}}}$
$\sqrt{3 + u^{2}} + C .$
26: $\int \frac{x + 3}{2 x + 1} 𝑑𝑥$
$\frac{5 \ln | 2 x + 1 |}{4} + \frac{x}{2} + C .$
27: $\int \frac{2 x^{2} + 4 x + 5}{x - 1} 𝑑𝑥$
(Sug: Sustitución y luego separe en fracciones)

$11 \ln | x - 1 | + x^{2} + 6 x + C .$
28: $\int \frac{z}{z + 1 - \sqrt{z + 1}} 𝑑𝑧$
$2 \sqrt{z + 1} + z + 1 + C .$
29: $\int \frac{\cos x - sen x}{sen x + \cos x} 𝑑𝑥$
$\ln | sen x + \cos x | + C .$
30: $\int \frac{\ln (\tan x)}{sen x \cos x} 𝑑𝑥$

(Sug: Recuerde que $\csc (x) \sec (x) = 2 \csc (2 x)$ )
$\frac{\ln^{2} | \tan (x) |}{2} + C$
31: $\int \frac{1}{x \sqrt{x + 1}} 𝑑𝑥$
(Sug: Sustituición y $\frac{2}{u^{2} - 1} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1}$ )
$\ln | \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x + 1} + 1} | + C .$
32: $\int \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{x}}} 𝑑𝑥$
$\frac{4 {(\sqrt{1 + \sqrt{x}})}^{3}}{3} - 4 \sqrt{1 + \sqrt{x}} + C .$
33: $\int \frac{x}{\sqrt{x + 1} + 2} 𝑑𝑥$
$\frac{2 \sqrt[]{{(x + 1)}^{3}}}{3} - 2 (x + 1) + 6 \sqrt{x + 1}$

$- 12 \ln (\sqrt{x + 1} + 2) + C .$
34: $\int \frac{\sqrt{{(x + 3)}^{3}}}{x + 7} 𝑑𝑥$
$\frac{2 \sqrt{{(x + 3)}^{3}}}{3} - 8 \sqrt{x + 3} + 16 \arctan (\frac{\sqrt{x + 3}}{2}) + C .$
35: $\int \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}} 𝑑𝑥$
$2 \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[6]{x} + 6 \ln | \sqrt[6]{x} - 1 | + C .$
36: $\int \frac{1}{x - \sqrt[3]{x}} 𝑑𝑥$
$\frac{3 \ln | \sqrt[3]{x^{2}} - 1 |}{2} + C .$
37: $\int \frac{x + 1}{x \sqrt{x - 2}} 𝑑𝑥$
$2 \sqrt{x - 2} + \sqrt{2} \arctan (\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{2}}) + C$
38: $\int 2 y^{3} \sqrt{9 - y^{2}} 𝑑𝑦$
$- \frac{2}{3} y^{2} {(9 - y^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} {(9 - y^{2})}^{\frac{5}{2}} + C$

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