Calculemos $\int {\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{3}x{\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; --><!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x\mathit{𝑑𝑥}$.

1.

El exponente de $\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$ es impar, así que se separa un factor: ${\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{3}x={\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x\cdot \mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$.

2.

Con la identidad ${\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x=1-{\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; --><!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$ el integrando queda en términos de $\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$ y de un único $\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\mathit{𝑑𝑥}$: $\left(1-{\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x\right){\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\mathit{𝑑𝑥}$.

3.

Se sustituye $u=\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$, $\mathit{𝑑𝑢}=-\mathrm{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\mathit{𝑑𝑥}$: $\int \left(1-u^2\right)u^2\left(-\mathit{𝑑𝑢}\right)=\int \; <!--\; nolimits\; -->\left(u^4-u^2\right)\mathit{𝑑𝑢}=\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}+C$.

4.

Se vuelve a $x$: ${\displaystyle \frac{{\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{5}x}{5}}-{\displaystyle \frac{{\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{3}x}{3}}+C$. (Si ambas potencias fueran pares, en lugar de esto se usarían las fórmulas de reducción con $\cos <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)$.)