Sustitución trigonométrica

70. Sustitución trigonométrica

Ejercicio 71.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
$\ln | \frac{x + \sqrt{9 + x^{2}}}{3} | + C .$
2: $\int \frac{r^{2} + 1}{\sqrt{4 - r^{2}}} 𝑑𝑟$

(Sug: Recuerde que $\sin^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x)$ )

$3 arcsen (\frac{r}{2}) - \frac{r \sqrt{4 - r^{2}}}{2} + C .$
3: $\int \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{(4 x^{2} - 25})^{3}}$
$- \frac{x}{25 \sqrt{4 x^{2} - 25}} + C$
4: $\int \frac{𝑑𝑥}{{(x^{2} + 2 x + 2)}^{2}}$

(Sug: Completación de cuadrados y haga sustitución)

$\frac{\arctan (x + 1)}{2} + \frac{x + 1}{2 (x^{2} + 2 x + 2)} + C .$
5: $\int \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{{(5 - 4 x - x^{2})}^{3}}}$

(Sug: Completación de cuadrados y $u = x + 2$ )

$\frac{x + 2}{9 \sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} + C .$
6: $\int \frac{12}{\sqrt{9 - {(3 x)}^{2}}} 𝑑𝑥$
$4 arcsen x + C .$
7: $\int \frac{𝑑𝑢}{u^{4} \sqrt{u^{2} - 5}}$
$\frac{\sqrt{u^{2} - 5}}{25 u} - \frac{\sqrt{(u^{2} - 5})^{3}}{75 u^{3}} + C .$
8: $\int \frac{z + 2}{\sqrt{3 - 2 z - z^{2}}} 𝑑𝑧$

(Sug: Completación de cuadrados y sustitución)

$arcsen (\frac{z + 1}{2}) - \sqrt{3 - 2 z - z^{2}} + C .$
9: $\int \frac{𝑑𝑥}{(x + 1) \sqrt{x^{2} + 2 x}}$
$- arccot (\sqrt{x^{2} + 2 x}) + C$ , en cada intervalo del dominio.
10: $\int \frac{𝑑𝑥}{x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}}$
$- \frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{25 x} + C .$
11: $\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 3}} 𝑑𝑥$
(Sug: Sustitución trigonométrica y multiplique por $\frac{\cot (u) + \csc (u)}{\cot (u) + \csc (u)})$

$\frac{1}{\sqrt{3}} \ln | \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - \sqrt{3}}{x} | + C .$
12: $\int \frac{\sqrt{9 x^{2} - 4}}{x} 𝑑𝑥$

(Sug: Recuerde que $\tan^{2} (x) = \sec^{2} (x) - 1$ )

$\sqrt{9 x^{2} - 4} - 2 arcsec (\frac{3 x}{2}) + C .$
13: $\int \frac{x - 3}{{(x^{2} + 2 x + 4)}^{2}} 𝑑𝑥$
$- \frac{4 x + 7}{6 (x^{2} + 2 x + 4)} - \frac{2 \sqrt{3}}{9} (\arctan (\frac{x + 1}{\sqrt{3}})) + C$
14: $\int \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{9 x^{2} + 6 x - 8}}$

(Sug: Completación de cuadrados y sustitución)

$\frac{1}{3} \ln | \frac{3 x + 1 + \sqrt{9 x^{2} + 6 x - 8}}{3} | + C .$
15: $\int \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{4 x - x^{2} - 3}}$
$arcsen (x - 2) + C .$
16: $\int \sqrt{1 - z^{2}} 𝑑𝑧$

(Sug: Reescriba $\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2}$ )

$\frac{arcsen z + z \sqrt{1 - z^{2}}}{2} + C .$
17: $\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} 𝑑𝑥$
$- \arctan (\sqrt{x^{2} - 1}) + \sqrt{x^{2} - 1} + C .$

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