Integración por partes

72. Integración por partes

Ejercicio 73.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{w + 1}{e^{w}} 𝑑𝑤$
$- e^{- w} (w + 2) + C .$
2: $\int \log (5 y^{2} - 4 y) 𝑑𝑦$
$\frac{1}{\ln 10} [y \ln | 5 y^{2} - 4 y | - 2 y - \frac{4 \ln | 5 y - 4 |}{5}] + C$
3: $\int arcsen (2 y) 𝑑𝑦$
$y arcsen (2 y) + \frac{\sqrt{1 - 4 y^{2}}}{2} + C .$
4: $\int {(p - 1)}^{3} e^{p^{2} - 2 p} 𝑑𝑝$
$\frac{p (p - 2) e^{p (p - 2)}}{2} + C$
5: $\int \frac{t e^{t}}{{(t + 1)}^{2}} 𝑑𝑡$
$\frac{e^{t}}{(t + 1)} + C .$
6: $\int \sec^{3} x 𝑑𝑥$
$\frac{\sec x \tan x + \ln | \sec x + \tan x |}{2} + C .$
7: $\int \cos (\ln r) 𝑑𝑟$
$\frac{r [\cos (\ln r) + sen (\ln r)]}{2} + C .$
8: $\int (3 y^{2} + 1) \ln (y^{2} - 1) 𝑑𝑦$
$(y^{3} + y) \ln (y^{2} - 1) - \frac{2 y^{3}}{3} - 4 y + 2 \ln | \frac{y + 1}{y - 1} | + C .$
9: $\int w^{3} \cdot 8^{w^{2} + 1} 𝑑𝑤$
$\frac{w^{2} 8^{w^{2} + 1}}{2 \ln 8} - \frac{8^{w^{2} + 1}}{2 \ln^{2} 8} + C .$
10: $\int \frac{\ln z}{{(z + 1)}^{2}} 𝑑𝑧$
$\frac{- \ln | z |}{(z + 1)} + \ln | z | - \ln | z + 1 | + C .$
11: $\int \ln (\sqrt{x}) 𝑑𝑥$
$\frac{x \ln | x | - x}{2} + C .$
12: $\int x \sec (x) \tan (x) 𝑑𝑥$
$x \sec x - \ln | \sec x + \tan x | + C .$
13: $\int x \arctan (x) 𝑑𝑥$
$\frac{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) - x}{2} + C .$
14: $\int x^{3} e^{- x^{2}} 𝑑𝑥$
Sug. 1ro $u = e^{- x^{2}},$ luego partes.

$- \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{2} - \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C .$
15: $\int \frac{x arcsen (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} 𝑑𝑥$
$x - \sqrt{1 - x^{2}} \cdot arcsen x + C .$
16: $\int e^{2 𝜃} sen (3 𝜃) 𝑑𝜃$
$\frac{e^{2 𝜃} (2 sen 3 𝜃 - 3 \cos 3 𝜃)}{13} + C .$
17: $\int w^{2} e^{- w} 𝑑𝑤$
$- e^{- w} (w^{2} + 2 w + 2) + C$ .
18: $\int \ln (\sqrt{x}) 𝑑𝑥$
$x \ln \sqrt{x} - \frac{x}{2} + C .$
19: $\int \cos (x) \ln (sen (x)) 𝑑𝑥$
$sen x \cdot \ln | sen x | - sen x + C .$
20: $\int \cos (x) \ln (sen (x)) 𝑑𝑥$
$sen x \cdot \ln | sen x | - sen x + C .$

Ejercicio 73.2

Calcule, usando integración por partes,

\int | x | 𝑑𝑥

(Sug: Use

| x | = \sqrt{x^{2}}

y eventualmente hay que racionalizar)
Como

| x | = \sqrt{x^{2}}

entonces

\int | x | 𝑑𝑥 = \int \sqrt{x^{2}} 𝑑𝑥

Ahora si $u = \sqrt{x^{2}}$ y $𝑑𝑣 = 𝑑𝑥$

{\begin{matrix} \int \sqrt{x^{2}} 𝑑𝑥 & = & x \sqrt{x^{2}} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}} 𝑑𝑥 \\ = & x \sqrt{x^{2}} - \int \sqrt{x^{2}} 𝑑𝑥 \end{matrix}

$∴ 2 \int \sqrt{x^{2}} 𝑑𝑥 = x \sqrt{x^{2}}$

Es decir, $∴ \int \sqrt{x^{2}} 𝑑𝑥 = \frac{x | x |}{2} + K$

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