Lımite de una función en un punto

9. Límite de una función en un punto

Idea intuitiva

El límite de $f$ en $x = a$ es $L$ y se denota

\lim_{x \to a} f (x) = L,

si existe un entorno alrededor de $x = a$ (donde $f$ está definida, excepto tal vez en $x = a$ ) tal que podemos hacer que los valores $f (x)$ se acerquen a $L$ tanto como queramos, tomando $x$ suficientemente cercano a $a$ (pero distinto de $a$ ).

Definición 4 — Límite y límites laterales.

Sea $f : D_{f} \to ℝ$ y sea $a$ un punto al cual se puede aproximar con puntos de $D_{f}$ distintos de $a$ . Se escribe

\lim_{x \to a} f (x) = L

si para cada $𝜀 > 0$ existe $δ > 0$ tal que, para $x \in D_{f}$ ,

0 < | x - a | < δ ⟹ | f (x) - L | < 𝜀 .

Los límites laterales $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L$ y $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$ se definen de la misma manera, restringiendo $x < a$ y $x > a$ , respectivamente. Si $a$ es un extremo del dominio, se considera el límite lateral disponible.

Teorema 3 — Propiedades fundamentales.

Sea $a$ un punto interior del dominio de aproximación de $f$ .

1.

El límite de

f

a

, si existe, es único.

2.

\lim_{x \to a} f (x) = L

si, y solo si,

\lim_{x \to a^{-}} f (x) = L = \lim_{x \to a^{+}} f (x) .

Por tanto, si los límites laterales son distintos, el límite bilateral no existe.

3.

El valor

f (a)

no interviene en

\lim_{x \to a} f (x)

. Más generalmente, si

f (x) = g (x)

para todo

x \neq a

suficientemente cercano a

a

, entonces

f

g

tienen el mismo límite en

a

, cuando este existe.

Teorema 4 — Leyes algebraicas de los límites.

Si $\lim_{x \to a} f (x) = L$ , $\lim_{x \to a} g (x) = M$ y $c \in ℝ$ , entonces

\begin{aligned} \lim_{x \to a} [f (x) \pm g (x)] & = L \pm M, & \lim_{x \to a} [𝑐𝑓 (x)] & = 𝑐𝐿, \\ \lim_{x \to a} [f (x) g (x)] & = 𝐿𝑀, & \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} & = \frac{L}{M} (M \neq 0) . \end{aligned}

Además, para $n \in ℕ$ , $\lim_{x \to a} {[f (x)]}^{n} = L^{n}$ ; las raíces preservan el límite siempre que las expresiones estén definidas. En particular, los polinomios se evalúan por sustitución directa, y lo mismo ocurre con los cocientes de polinomios cuando el denominador no se anula en el punto.

Definición 5 — Continuidad.

Una función $f$ es continua en $a$ si $f (a)$ está definida y

\lim_{x \to a} f (x) = f (a) .

En un punto de unión de una función definida a trozos, la continuidad exige que los dos límites laterales existan, sean iguales y coincidan con $f (a)$ .

Definición 6 — Límites infinitos.

Se escribe $\lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ si, para todo $M > 0$ , los valores de $f (x)$ son mayores que $M$ cuando $x$ está suficientemente cerca de $a$ , con $x \neq a$ . De manera análoga se define $\lim_{x \to a} f (x) = - \infty$ . Estas expresiones describen un comportamiento no acotado; no representan límites reales finitos.

En el widget se puede mover el punto con el deslizador y observar cómo los valores de la función actual

f

, se acercan a un número

L

cuando

x

se aproxima a

2

. Lo mismo pasa en el ejemplo 3. En el ejemplo 2 se ilustra una situación en la que el límite no existe.

Idea intuitiva del límite

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Ejercicio 10.1

Determine, a partir del gráfico dado, los siguientes límites.

1: $\lim_{t \to 3^{+}} g (t)$
3.
2: $\lim_{t \to - 1^{-}} g (t)$
2.
3: $\lim_{t \to - 1^{+}} g (t)$
3.
4: $\lim_{t \to 1^{-}} g (t)$
1.
5: $\lim_{t \to 1^{+}} g (t)$
2.
6: $\lim_{t \to 2^{-}} g (t)$
0.
7: $\lim_{t \to 2^{+}} g (t)$
1.
8: $\lim_{t \to 3^{-}} g (t)$
2.

1: $\lim_{x \to 1} f (x)$
1.
2: $\lim_{x \to 0} f (x)$
0.
3: $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x)$
1.
4: $\lim_{x \to 1^{-}} f (x)$
2.

1: $\lim_{x \to - 8} f (x)$
Existe por la derecha y es $1$ .
2: $\lim_{x \to - 4} f (x)$
No existe.
3: $\lim_{x \to 0} f (x)$
$4 .$
4: $\lim_{x \to 3} f (x)$
$3 .$
5: $\lim_{x \to 8} f (x)$
Existe por la izquierda y es $- 3$ .
6: $\lim_{x \to - 8} f (x)$
Existe por la derecha y es $4$ .

1: $\lim_{x \to - 2} h (x)$
Existe y es $0$ .
2: $\lim_{x \to - 1} h (x)$
Existe por la derecha y es $- 1$ .
3: $\lim_{x \to 1} h (x)$
No existe.
4: $\lim_{x \to 4} h (x)$
$3 .$
5: $\lim_{x \to 5} h (x)$
Existe y es $0$ .
6: $\lim_{x \to 0} h (x)$
Existe y es $1.5$ .

1: $\lim_{x \to - 4} m (x)$
Existe por la derecha y es $- 3$ .
2: $\lim_{x \to - 2} m (x)$
Existe y es $1$ .
3: $\lim_{x \to 0} m (x)$
Existe y es $- 2$ .
4: $\lim_{x \to 2} m (x)$
No existe.
5: $\lim_{x \to 3} m (x)$
Existe y es $0$ .
6: $\lim_{x \to 5} m (x)$
Existe y es $3$ .

Ejercicio 11.1

Las siguientes preguntas evalúan conceptos teóricos.

1

¿ Bajo qué condiciones se satisface que

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} = \frac{x - 2}{x + 3}

Para todo

x \neq 3

x \neq - 3

, donde ninguna de las dos expresiones está definida), pues

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} = \frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}

y el factor

x - 3

solo se puede cancelar si

x \neq 3 .

2

¿Por qué es correcto afirmar que

\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x + 3}

Porque el límite cuando

x \to 3

solo depende de los valores de la función para

x \neq 3

, y ahí las dos expresiones coinciden (lo que ocurra o no en

x = 3

es irrelevante).

3

Sea

f

una función tal que

\lim_{x \to 3} f (x) = 7

, ¿ es posible que

f (3) = 5

?. Justifique su respuesta.

Sí. El límite en

x = 3

no depende del valor

f (3)

; por ejemplo,

f (x) = 7

x \neq 3

f (3) = 5

cumple ambas condiciones (esa

f

simplemente no es continua en

3

4

Considere la función

g : ℝ - {- 2, - 3} \to ℝ

definida por:

$g (x) = {\begin{matrix} \frac{4 - x^{2}}{(x + 2) (x + 3)} & si & x & < & - 1 \\ x & si & - 1 & \leq & x & < & 1 \\ 2 x^{2} - 1 & si & x & \geq & 1 \end{matrix}$

determine para cuáles reales, el límite existe.

Para todo

a \in ℝ - {- 1, - 3}

. (En

a = - 3

el límite es infinito; en

a = - 1

los laterales son

\frac{3}{2}

- 1

. En

a = - 2

sí existe y vale

4

, aunque

- 2 \notin D_{g}

, y en

a = 1

ambos laterales valen

1

5

Muestre por medio de un ejemplo que

\lim_{x \to a} [f (x) + g (x)]

puede existir aunque

\lim_{x \to a} f (x)

\lim_{x \to a} g (x)

no existan.

Por ejemplo, con

a = 0

f (x) = \frac{| x |}{x}

g (x) = - \frac{| x |}{x}

: ninguno de los dos límites existe (los laterales son

1

- 1

), pero

f (x) + g (x) = 0

para todo

x \neq 0

, de modo que

\lim_{x \to 0} [f (x) + g (x)] = 0 .

6

Considere las funciones

f (x) = \frac{(x - 1)}{| x - 1 |}

g (x) = \frac{| x - 1 |}{(x - 1)}

(a): Verifique (analizando límites reales) que $\lim_{x \to 1} f (x)$ y $\lim_{x \to 1} g (x)$ no existen.
(b): Verifique que $\lim_{x \to 1} [f (x) \cdot g (x)] = 1$

Nota: Este ejercicio muestra que $\lim_{x \to 1} [f (x) \cdot g (x)]$ puede existir aunque $\lim_{x \to a} f (x)$ y $\lim_{x \to a} g (x)$ no existan.

a) Para

x > 1

| x - 1 | = x - 1

y entonces

f (x) = 1

g (x) = 1

; para

x < 1

| x - 1 | = - (x - 1)

y entonces

f (x) = - 1

g (x) = - 1

. Como los límites laterales son

1

- 1

, ninguno de los dos límites existe. b) Para todo

x \neq 1

f (x) \cdot g (x) = \frac{(x - 1)}{| x - 1 |} \cdot \frac{| x - 1 |}{(x - 1)} = 1

, así que

\lim_{x \to 1} [f (x) g (x)] = 1 .

7

Determine el o los valores de

a

de modo que

\lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2} + 𝑎𝑥 + a + 3}{x^{2} + x - 2}

exista.

a = 15

. (Con

a = 15

el numerador es

3 (x + 2) (x + 3)

y el límite vale

- 1

8

Encuentre los números reales

a

b

tales que

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{𝑎𝑥 + b} - 2}{x} = 1

Multiplique por el conjugado

\sqrt{𝑎𝑥 + b} + 2

arriba y abajo de la fracción. Los valores requeridos son

a = b = 4

9

Sean

f

g

funciones tales que

\lim_{x \to a} [f (x) + g (x)] = 2

\lim_{x \to a} [f (x) - g (x)] = 1

\lim_{x \to a} [f (x)]

\lim_{x \to a} [g (x)]

existen. Determine el valor de

\lim_{x \to a} [f (x) \cdot g (x)]

\frac{3}{4}

Ejercicio 11.2

Considere

g (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 5 & si & x & \leq & - 1 \\ 3 x + 2 & si & - 1 & < & x & < & 1 \\ 4 x^{2} + 2 x & si & x & \geq & 1 \end{matrix}

.
Calcule

1: $g (- 1)$
$- 4 .$
2: $\lim_{x \to - 1^{-}} g (x)$
$- 4 .$
3: $\lim_{x \to - 1^{+}} g (x)$
$- 1 .$
4: $\lim_{x \to - 1} g (x)$
No existe.
5: $g (1)$
$6 .$
6: $\lim_{x \to 1^{-}} g (x)$
$5 .$
7: $\lim_{x \to 1^{+}} g (x)$
$6 .$
8: $\lim_{x \to 1} g (x)$
No existe.
9: $g (0)$
$2 .$
10: $\lim_{x \to 0^{-}} g (x)$
$2 .$
11: $\lim_{x \to 0^{+}} g (x)$
$2 .$
12: $\lim_{x \to 0} g (x)$
$2 .$

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