Calculo de lımites: formas indeterminadas

12. Cálculo de límites: formas indeterminadas

Definición 7 — Formas indeterminadas.

Al sustituir en un límite pueden aparecer expresiones como

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0} .

Estas expresiones se llaman formas indeterminadas: no representan un valor ni determinan por sí solas el resultado del límite. Antes de aplicar las leyes de los límites se debe transformar la expresión.

Teorema 5 — Sustitución y simplificación local.

Si una expresión se obtiene mediante sumas, productos, cocientes, potencias, raíces, exponenciales o logaritmos de funciones continuas, su límite se calcula por sustitución directa siempre que todas las operaciones resultantes estén definidas. Si la sustitución produce una forma indeterminada, puede simplificarse la expresión para $x \neq a$

f (x) = g (x)

en un entorno

I

excepto para

x = a,

entonces

\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} g (x),

si alguno de estos límites existe.

Ejemplo6La forma "

0 / 0

" no determina el resultado

Los tres cocientes siguientes producen la misma forma " $0 / 0$ " al sustituir $x = 0$ , y sin embargo tienen tres comportamientos distintos.

1: $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$ , pues el cociente vale $1$ para todo $x \neq 0$ .
2: $\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$ .
3: $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = + \infty$ .
4: Se obtuvieron $1$ , $0$ y $+ \infty$ a partir de la misma forma " $0 / 0$ ": el símbolo por sí solo no decide nada, hay que transformar la expresión en cada caso.

Ejemplo7Factorizar, cancelar y sustituir

Calculemos $\lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 5 x - 3}{x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 15}$ (es el ítem (1) de la lista siguiente).

1: Al sustituir $x = 3$ se obtiene $\frac{18 - 15 - 3}{27 - 27 + 15 - 15} = \frac{0}{0}$ : no se puede aplicar la ley del cociente.
2: Se factoriza el numerador: $2 x^{2} - 5 x - 3 = (2 x + 1) (x - 3)$ .
3: Se factoriza el denominador agrupando: $x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 15 = x^{2} (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x^{2} + 5)$ .
4: Para $x \neq 3$ se cancela el factor $x - 3$ , y el teorema permite sustituir la expresión por la simplificada: $\lim_{x \to 3} \frac{2 x + 1}{x^{2} + 5} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ , donde el último paso ya es sustitución directa porque el denominador no se anula.

Lema 1 (Identidades algebraicas útiles).

Para eliminar factores que producen " $0 ∕ 0$ " se pueden usar

u^{n} - v^{n} = (u - v) (u^{n - 1} + u^{n - 2} v + \dots + v^{n - 1})

u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - 𝑢𝑣 + v^{2}) .

Para expresiones con raíces cuadradas se usa la conjugada:

(\sqrt{A} - \sqrt{B}) (\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B .

Además, $\sqrt{x^{2}} = | x |$ ; por ello, antes de eliminar un valor absoluto debe determinarse el signo de su argumento en el lado desde el cual se toma el límite.

Ejemplo8Racionalizar con la conjugada

Calculemos $\lim_{t \to 5 ∕ 2} \frac{4 - \sqrt{2 t + 11}}{2 t - 5}$ (es el ítem (6) de la lista siguiente).

1

Al sustituir

t = \frac{5}{2}

se obtiene

\frac{4 - \sqrt{16}}{0} = \frac{0}{0}

2

Se multiplica arriba y abajo por la conjugada

4 + \sqrt{2 t + 11}

; por el lema, el numerador se convierte en

4^{2} - (2 t + 11) = 5 - 2 t

\frac{4 - \sqrt{2 t + 11}}{2 t - 5} = \frac{5 - 2 t}{(2 t - 5) (4 + \sqrt{2 t + 11})} .

3

Como

5 - 2 t = - (2 t - 5)

, para

t \neq \frac{5}{2}

se cancela el factor

2 t - 5

y queda

\frac{- 1}{4 + \sqrt{2 t + 11}}

4

Ahora la sustitución directa está permitida:

\frac{- 1}{4 + \sqrt{16}} = - \frac{1}{8}

Ejercicio 13.1

Simplifique la expresión y calcule su límite

1: $\lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 5 x - 3}{x^{3} + 5 x - 3 x^{2} - 15}$
$\frac{1}{2}$ .
2: $\lim_{x \to 3} \frac{3 x - x^{2}}{1 + \sqrt{1 + x}}$
$0$ .
3: $\lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6}{x^{3} + x^{2} - 4 x - 4}$
$\frac{5}{4}$ .
4: $\lim_{b \to a^{2}} \frac{a^{3} - b - 𝑎𝑏 + a^{2}}{2 a^{3} - 2 𝑎𝑏 + b - a^{2}}$
$\frac{a + 1}{2 a - 1}$ , con $a \neq \frac{1}{2}$ .
5: $\lim_{w \to a} \frac{2 w^{3} - 4 a w^{2} + 2 a^{2} w}{w^{4} + a w^{3} - 2 a^{2} w^{2}}$
$0$ , si $a \neq 0$ .
6: $\lim_{t \to \frac{5}{2}} \frac{4 - \sqrt{2 t + 11}}{2 t - 5}$
$\frac{- 1}{8}$ .
7: $\lim_{p \to 1} \frac{p^{3} + p^{2} - 2}{2 - \sqrt{p + 3}}$
$- 20 .$
8: $\lim_{t \to 4} \frac{3 - \sqrt{5 + t}}{1 - \sqrt{5 - t}}$
$- \frac{1}{3}$ .
9: $\lim_{w \to - 1} \frac{w + 1}{3 w + \sqrt{6 w^{2} + 3}}$
$1 .$
10: $\lim_{a \to 1} \frac{\sqrt{1 + 8 a} - 3}{\sqrt{4 a} - 2}$
$\frac{4}{3}$ .
11: $\lim_{d \to - 1} \frac{\sqrt{3 d^{2} - 5 d - 2} - \sqrt{1 - 5 d}}{\sqrt{d^{2} - d} - \sqrt{3 - d^{2}}}$
$\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ .
12: $\lim_{t \to - 1} \frac{t^{2} + t}{\sqrt[3]{2 t + 1} + \sqrt[3]{t + 2}}$
$- 1 .$
13: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt[3]{1 + x} - 1}$
$\frac{3}{2}$ .
14: $\lim_{y \to 4} \frac{\sqrt{y} - | 2 - y |}{y - 4}$
$- \frac{3}{4}$ .
15: $\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt[3]{5 z + 1} - \sqrt[4]{5 z + 1}}{z}$
$\frac{5}{12}$ .
16: $\lim_{a \to 0} \frac{2 - \sqrt[6]{3 a + 64}}{5 a}$
$\frac{- 1}{320}$ .
17: $\lim_{y \to 32} \frac{\sqrt[5]{y^{2}} - 3 \cdot \sqrt[5]{y} + 2}{y - 4 \cdot \sqrt[5]{y^{3}}}$
$\frac{1}{32}$ .
18: $\lim_{p \to - 1} \frac{p + 2}{\ln (p + 2)}$
$- \infty$ izq, $\infty$ derecha.
19: $\lim_{z \to {(\frac{2}{3})}^{+}} \frac{| - 3 z + 2 |}{18 z^{2} - 8}$
$\frac{1}{8}$ .
20: $\lim_{p \to - 2} \frac{1 - \sqrt{p + 3}}{{(p + 2)}^{2}}$
$\infty$ izquierda, $- \infty$ derecha.
21: $\lim_{y \to 2} \frac{\sqrt[4]{5 - 2 y} - 1}{1 + \sqrt[3]{2 y - 5}}$
$\frac{- 3}{4}$ .
22: $\lim_{x \to - 2} 2 . 1^{(| x | - 2) ∕ (x + 2)}$
$2 . 1^{- 1}$ .
23: $\lim_{y \to 5} \frac{2 - \sqrt[4]{4 y - 4}}{\sqrt{y - 1} - 2}$
$\frac{- 1}{2}$
24: $\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 𝑐𝑡} - 1}{t}$
$\frac{c}{3}$ .
25: $\lim_{x \to 3^{-}} {(2)}^{\frac{- x - 3}{\ln (x - 2)}}$
$\infty$ .
26: $\lim_{x \to - 4^{-}} {(\frac{1}{7})}^{\frac{5}{4 + x}}$
$\infty$ .
27: $\lim_{b \to - 1} {(\frac{5}{4})}^{\frac{| b | - 1}{b + 1}}$
$\frac{4}{5}$ .
28: $\lim_{x \to 2^{+}} {(\frac{4}{5})}^{\frac{- 5}{\ln (3 - x)}}$
$0$ .
29: $\lim_{x \to 3} {(5)}^{\frac{1}{x - 3}}$
$∄.$
30: $\lim_{x \to 2^{+}} \ln (\frac{x}{- 2 + x})$
$\infty$ .
31: $\lim_{t \to 0} \frac{2 t - 1}{t^{2} - t^{4}}$
$- \infty$ .
32: $\lim_{h \to - 3} \frac{1}{h^{2} - 9}$
$\infty$ izq , $- \infty$ derecha.
33: $\lim_{y \to 5} \frac{1}{y} - \frac{2 - y}{{(5 - y)}^{2}}$
$\infty$ .
34: $\lim_{y \to 4^{+}} {(\frac{3}{7})}^{\frac{2^{y} - 1}{- 4 \ln (5 - y)}}$
$0$
35: $\lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[4]{{(x + 2)}^{4}}}{| {(x + 1)}^{2} - 1 |}$
$\frac{1}{2}$ .
36: $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2 - x} - 1}{1 + \sqrt[5]{x - 2}}$
$- \frac{5}{2}$ .
37: $\lim_{x \to π^{+}} \frac{{(\frac{1}{e})}^{\frac{- π}{π - x}} + 2007}{\frac{1}{\ln (π + 1 - x)}}$
$0 .$

Ejercicio 13.2

Determine el valor de

k

de modo que

\lim_{x \to k^{-}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{2 k + 1}{4 x^{2} - 1}} = 0

k = \frac{1}{2}

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