Lımites infinitos, exponenciales y asıntotas

14. Límites infinitos, exponenciales y asíntotas

Teorema 6 — Signos, exponenciales y logaritmos.

Si $f (x) \to N \neq 0$ y $g (x) \to 0$ , el signo de $f (x) ∕ g (x)$ a cada lado de $a$ determina si el cociente tiende a $+ \infty$ o a $- \infty$ . Si los comportamientos laterales no coinciden, el límite bilateral no existe.

Sea $b > 0$ , $b \neq 1$ . Si $u (x) \to A \in ℝ$ , entonces $b^{u (x)} \to b^{A}$ . Si $u (x) \to + \infty$ , se tiene

b^{u (x)} \to {\begin{matrix} + \infty, & b > 1, \\ 0, & 0 < b < 1, \end{matrix}

y para $u (x) \to - \infty$ los resultados se invierten. También,

\lim_{u \to 0^{+}} \ln u = - \infty, \lim_{u \to + \infty} \ln u = + \infty .

Ejemplo9Una exponencial con exponente no acotado

Calculemos $\lim_{x \to - 4^{-}} {(\frac{1}{7})}^{\frac{5}{4 + x}}$ (es el ítem (26) de la lista de la sección anterior).

1: Primero se estudia el exponente. Si $x \to - 4^{-}$ entonces $x < - 4$ , de modo que $4 + x \to 0^{-}$ : el denominador es negativo y tiende a cero.
2: Por la primera parte del teorema, $\frac{5}{4 + x} \to - \infty$ (numerador constante positivo, denominador $0^{-}$ ).
3: La base es $b = \frac{1}{7}$ , con $0 < b < 1$ ; para exponente $\to - \infty$ los resultados se invierten y $b^{u} \to + \infty$ .
4: Por lo tanto el límite es $+ \infty$ . Obsérvese que por la derecha el exponente tiende a $+ \infty$ y el límite sería $0$ : por eso el enunciado pide solo el lateral izquierdo.

Definición 8 — Asíntotas.

La recta $x = a$ es una asíntota vertical de $f$ si al menos uno de los límites laterales en $a$ es $+ \infty$ o $- \infty$ . La recta $y = L$ es una asíntota horizontal si $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ o $\lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ .

Ejemplo10Asíntotas de

f (h) = \frac{1}{h^{2} - 9}

1: El denominador se anula en $h = \pm 3$ : $h^{2} - 9 = (h - 3) (h + 3)$ . Ahí el numerador vale $1 \neq 0$ , así que se aplica la primera parte del teorema anterior.
2: En $h = - 3$ se analizan los signos: si $h \to - 3^{-}$ , entonces $h + 3 < 0$ y $h - 3 < 0$ , el producto es positivo y $f (h) \to + \infty$ ; si $h \to - 3^{+}$ , entonces $h + 3 > 0$ y $h - 3 < 0$ , el producto es negativo y $f (h) \to - \infty$ .
3: Por la definición, $h = - 3$ es una asíntota vertical (y por el mismo argumento también lo es $h = 3$ ); el límite bilateral en $- 3$ no existe.
4: Como $h^{2} - 9 \to + \infty$ cuando $h \to \pm \infty$ , se tiene $f (h) \to 0$ : la recta $y = 0$ es una asíntota horizontal.

Ejercicio 14.1

Considere las funciones siguientes y sus representaciones gráfica. En cada caso, y si existen, determine a partir de la gráfica los límites, o los valores de la función, que se indican.

1

(a): $\lim_{x \to - 3^{+}} f (x)$
(b): $\lim_{x \to - 1} f (x)$
(c): $\lim_{x \to 2} f (x)$
(d): $f (- 1)$ ; $f (2)$
(e): $\lim_{x \to + \infty} f (x)$
: ....

(a): $1$ .
(b): No existe.
(c): $2$ .
(d): $1; 1$ .
(e): $\infty$ .

2

(a): $\lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $\lim_{x \to - 3 ∕ 2} f (x)$
(c): $\lim_{x \to 3 ∕ 2} f (x)$
(d): $f (3 ∕ 2)$
(e): $\lim_{x \to + \infty} f (x)$
: ....

(a): $\infty$ .
(b): No existe.
(c): No existe.
(d): $3$ .
(e): $3$ .

3

(a): $\lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $\lim_{x \to - 2} f (x)$
(c): $\lim_{x \to - 1} f (x)$
(d): $\lim_{x \to 0} f (x)$
(e): $\lim_{x \to 2} f (x)$
(f): $\lim_{x \to 3} f (x)$
(g): $\lim_{x \to + \infty} f (x)$
: ....

(a): $- 1$ .
(b): $0$ .
(c): $2$ .
(d): $1$ .
(e): $0$ .
(f): No existe.
(g): $0$ .

4

(a): $\lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $\lim_{x \to - 2} f (x)$
(c): $\lim_{x \to - 1} f (x)$
(d): $\lim_{x \to 0} f (x)$
(e): $\lim_{x \to 1} f (x)$
(f): $\lim_{x \to + \infty} f (x)$
: ....
: ....

(a): $2$ .
(b): No existe.
(c): $- 2$ .
(d): No existe.
(e): $2, 5$ .
(f): $2$ .

5

(a): $\lim_{x \to - \infty} g (x)$
(b): $\lim_{x \to - 3} g (x)$
(c): $\lim_{x \to - 1} g (x)$
(d): $\lim_{x \to 0} g (x)$
(e): $\lim_{x \to 1} g (x)$
(f): $\lim_{x \to 2} g (x)$
(g): $\lim_{x \to + \infty} g (x)$
: ....

(a): $- \infty$ .
(b): $1$ .
(c): No existe.
(d): No existe.
(e): $- 2$ .
(f): $\infty$ .
(g): $\infty$ .

6

(a): $\lim_{x \to - \infty} f (x)$
(b): $\lim_{x \to + \infty} f (x)$
(c): $\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$
(d): $\lim_{x \to 0^{-}} f (x)$
(e): $\lim_{x \to 2^{-}} f (x)$
(f): $\lim_{x \to 2^{+}} f (x)$
(g): $f (- 2)$
(h): $f (0)$

(a): $1$ .
(b): $\infty$ .
(c): $2$ .
(d): $1$ .
(e): $\infty$ .
(f): $- \infty$ .
(g): $1$ .
(h): $1$ .

Ejercicio 14.2

Para cada uno de los siguientes casos, realice la representación gráfica de una función

f

que cumpla simultáneamente las condiciones dadas (solo es un bosquejo de la gráfica, no una fórmula).

1

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} = ℝ - {- 2, 3}$
b.): $\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = - \infty$
c.): $\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 3$
d.): $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) = + \infty$
e.): $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = 3$
f.): $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 3$
g.): $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - 3$
h.): $f (0) = 0$

2

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} = ℝ -] 0, 1]$
b.): $\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$
c.): $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$
d.): $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = + \infty$
e.): $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - 2$
f.): $\lim_{x \to - 3^{-}} f (x) = + \infty$
g.): $\lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = - \infty$
h.): $f (- 1) = f (3) = 0$

3

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} = [- 3, + \infty [$
b.): $\lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = 1$
c.): $f (x) \neq 0, \forall x \in] 0, + \infty [$
d.): $f (x) = 2, \forall x \in [- 1, 1]$
e.): $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - 1$
f.): $\lim_{x \to 3} f (x) = 1$
g.): $f (- 3) = f (3) = - 1$
h.): $\lim_{x \to - 1}$ no existe.
i.): $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existe
j.): $\forall x_{0} \in [0, + \infty [$

Un bosquejo posible: la gráfica arranca en

(- 3, - 1)

(punto lleno, por g.) pero con

\lim_{x \to - 3^{+}} f (x) = 1

, de modo que hay un salto en el extremo; entre

- 3

- 1

la curva llega a

- 1

con un valor lateral distinto de

2

(así

\lim_{x \to - 1} f (x)

no existe); en

[- 1, 1]

es el segmento horizontal

y = 2

; a la derecha de

1

baja hacia la asíntota horizontal

y = - 1

sin cortar el eje $X$ (c.), lo que obliga a un salto; en

x = 3

hay una discontinuidad evitable: el hueco está en

(3, 1)

y el punto lleno en

(3, - 1)

4

Propiedades de la función

f

a.): $D_{f} =] - 3, + \infty [- {- 2, 3}$
b.): $\lim_{x \to 3} h (x) = 0$
c.): $\lim_{x \to - 2^{-}} h (x) = 4$
d.): $\lim_{x \to - 2^{+}} h (x) = 5$
e.): $\lim_{x \to 2^{-}} h (x) = - \infty$

Un bosquejo posible: la gráfica solo existe a la derecha de

- 3

; en

x = - 2

hay un salto (llega a

4

por la izquierda y sale de

5

por la derecha, ambos huecos); al acercarse a

2

por la izquierda baja indefinidamente (asíntota vertical); y en

x = 3

hay un hueco en

(3, 0)

, pues el límite vale

0

pero

3 \notin D_{h}

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