Ejercicios

8.1 Determine el área de la superficie

S

de ecuación

z = x^{2} + y^{2}

que se encuentra limitada por los planos

z = 4,

z = 1,

y = x

y el plano

y = 0,

tal y como se muestra en la figura

Vamos a proyectar sobre el plano

xy .

Como se ve en la figura, la proyección está entre los círculos

x^{2} + y^{2} = 1

x^{2} + y^{2} = 2

con

0 \leq 𝜃 \leq π ∕ 4 .

Entonces

\begin{array}{rcl} A_{S} & = & \iint_{D} \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} dA \\ = & \iint_{D} \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}} dydx \\ = & \int_{0}^{π ∕ 4} \int_{1}^{2} \sqrt{4 r^{2} + 1} r d r d𝜃, (sustitución: u = 4 r^{2} + 1) \\ = & \frac{(- 5 \sqrt{5} + 17 \sqrt{17}) π}{48} \end{array}

8.2

Sea

S

la superficie del cono

z^{2} = x^{2} + y^{2}

comprendida entre

z = 0

z = 1 .

Usando integral de superficie, calcular el área de la superficie

S .

el círculo

x^{2} + y^{2} = 1 .

$dS = \sqrt{z_{x}^{2} + z_{y}^{2} + 1} dA = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + 1} dA$

\begin{array}{rcl} A_{S} = \iint_{S} dS & = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \sqrt{2} r dr d𝜃 = π \sqrt{2} . \end{array}

8.3

Calcule

\iint_{S} x^{2} - 2 y + z dS

donde

S

es la superficie de la figura.

8.4 Sea

S

la porción de superficie de ecuación

z = 4 - y^{2}

limitada por las superficies

z = 3

x = 4

z = 0

x = y

, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Calcular

\iint_{S} (2 xy + z + 1) dS

Proyectamos sobre

XY .

\begin{matrix} \iint_{S} (2 xy + z + 1) dS & = & \int_{1}^{2} \int_{y}^{4} (2 xy + z + 1) \sqrt{4 y^{2} + 1} dx dy \\ = & \int_{1}^{2} \int_{y}^{4} (2 xy + 4 - y^{2} + 1) \sqrt{4 y^{2} + 1} dx dy \end{matrix}

8.5

Calcule la integral de superficie

\iint_{s} (x^{2} + y^{2} + z) dS

donde

S

es la superficie de ecuación

z = 9 - x^{2} - y^{2}

, limitada por el plano

z = 0

tal y como se muestra en la figura a la derecha.

Proyectando sobre

XY,

tenemos

S : 9 - x^{2} - y^{2} .

Usando coordenadas polares queda

$\iint_{s} (x^{2} + y^{2} + z) dS = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3} 9 r \sqrt{4 r^{2} + 1} drd𝜃$

8.6

Sea

E

el sólido que se muestra en la figura a la derecha y sea

S

la frontera de

E,

es decir,

S = ∂E

. Calcule

\iint_{S} xy (z + 1) dS

S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}

donde

S_{1} : y + z = 5,

S_{2} : 4 - x^{2},

S_{3} : z = 0,

S_{4} : y = 0 .

$\iint_{S} xy (z + 1) dS = \iint_{S_{1}} xy (z + 1) dS + \iint_{S_{2}} xy (z + 1) dS + \iint_{S_{3}} xy (z + 1) dS + \iint_{S_{4}} xy (z + 1) dS$

Ahora elegimos los planos de proyección para cada superficie.

1.: Proyectando sobre $XZ,$ $S_{1} : y = 5 - z .$ Entonces $\iint_{S_{1}} xy (z + 1) dS = \int_{- 2}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} (x (5 - z) (z + 1) \sqrt{2} ? dzdx$
2.: Proyectando sobre $Y Z,$ $S_{2} : x = \sqrt{4 - z} .$ Entonces $\iint_{S_{1}} xy (z + 1) dS = \int_{0}^{4} \int_{0}^{5 - z} \sqrt{4 - z} y (z + 1) \sqrt{\frac{4 (4 - z) + 1}{4 (4 - z)}} dydz$
3.: Proyectando sobre $XY,$ $S_{3} : z = 0 .$ Entonces $\iint_{S_{3}} xy (z + 1) dS = \int_{- 2}^{2} \int_{0}^{5} xy \sqrt{1} dydx$
4.: Proyectando sobre $XZ,$ $S_{4} : y = 0 .$ Entonces $\iint_{S_{3}} xy (z + 1) dS = \int_{- 2}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} x \cdot 0 \cdot z \sqrt{1} dzdx = 0$

8.7

Calcule el área de la superficie

S

tal y como se muestra en la figura a la derecha.

Proyectando sobre

Y Z .

\begin{matrix} A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} \sqrt{\frac{y^{2}}{16 - y^{2}} + 1} dz dy \\ = & \int_{0}^{2} \frac{12}{\sqrt{16 - y^{2}}} dy = 2 π \end{matrix}

8.8

Calcule el área de la superficie

S

tal y como se muestra en la figura a la derecha.

Proyectando sobre

Y Z .

\begin{matrix} A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS & = & \int_{0}^{4} \int_{0}^{3} \sqrt{\frac{y^{2}}{16 - y^{2}} + 1} dz dy \\ = & \int_{0}^{4} \frac{12}{\sqrt{16 - y^{2}}} dy = 6 π \end{matrix}

Observe que

\int_{0}^{4} \frac{12}{\sqrt{16 - y^{2}}} dy

es impropia convergente. Puede usar

\int \frac{12}{\sqrt{16 - y^{2}}} dy = 12 arcsen (\frac{y}{4}) + K

para hacer el cálculo.

8.9

La superficie

S

es el trozo del cilindro

z - x^{2} = 0

que está limitado por los planos

y = 0, y = x

z = 4,

en el primer octante. La Superficie

S

se muestra en la figura que sigue. Calcule el área de

S .

\begin{array}{rcl} A = \iint_{S} dS & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \sqrt{4 x^{2} + 1} dydx \\ = & \int_{0}^{2} x \sqrt{4 x^{2} + 1} dx \\ = & \int_{1}^{17} \sqrt{u} \frac{du}{8} = {\frac{u^{\frac{3}{2}}}{12} |}_{1}^{17} = 5, 7577 \end{array}

8.10 Determine el área de la superficie

S

de ecuación

z = x^{2} + y^{2}

que se encuentra limitada por los planos

z = 1,

z = 3,

y = x

y el plano

x = 0,

tal y como se muestra en la figura.

Proyectamos sobre

XY

\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{S} dS \\ = & \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{1}^{\sqrt{3}} \sqrt{1 + 4 r^{2}} r dr d𝜃 \end{matrix}

8.11

Calcule el área de la superficie

S

tal y como se muestra en la figura a la derecha.