Integral sobre una superfice.

8. Integral sobre una superfice.

La anterior discusión sobre inetegrales de flujo, nos lleva a una propuesta razonable de lo que puede ser una integral sobre una superficie. Si ponemos $f (x, y, z) = F \cdot N,$ tenemos la siguiente definición,

Definición 25.

Sea $D$ un conjunto abierto y medible y $S$ una superficie regular parametrizada por la función $r (u, v),$ de clase $C^{1}$ en $\bar{D} = interior (D) \cup ∂D,$ donde $(u, v) \in D,$ de modo que $| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | > 0$ para todo $(u, v) \in D,$ y $r$ es una biyección entre $D$ y $S .$

Sea $f (x, y, z)$ una función definida y acotada sobre $\bar{S} .$ Se define la integral de superficie de $f$ sobre $S$ por

\iint_{S} f (x, y, z) dS = \iint_{D} f (r (u, v)) | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA .

S = S_{1} \cup . . . \cup S_{m}

es la unión finita de superficies parametrizadas que se intersecan a lo sumo en curvas que forman parte de sus fronteras entonces,

\iint_{S} g (x, y, z) dS = \sum_{i}^{m} \iint_{S_{i}} g (x, y, z) dS

Integral de superficie con coordenadas rectangulares.

Caso

S : z = f (x, y)

S : z = f (x, y)

con

f

de clase

C^{1}

sobre

\bar{D},

se puede parametrizar

S

con con

r (x, y) = x i + y j + f (x, y) k

y entonces

\iint_{S} g (x, y, z) dS = \iint_{D} g (x, y, f (x, y)) \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}} dA .

Integral superficie

-

Proyectando sobre varios varios planos.

Asumimos que $S$ es una superficie regular y que $F$ es continuamente diferenciable e inyectiva sobre $D .$

a)

Proyectando sobre

XY

: Si

S : z = z (x, y)

S : F (x, y, z) = 0,

con

(x, y) \in D_{xy}

$\iint_{S} g (x, y, z) dS = \iint_{D_{xy}} g (x, y, z (x, y)) \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} dA,$

o, en "versión implícita",

$\iint_{S} g (x, y, z) dS = \iint_{D_{xy}} g (x, y, z (x, y)) \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{z}^{2}}} dA$

b)

Proyectando sobre

XZ

: Si

S : y = y (x, z)

S : F (x, y, z) = 0,

con

(x, z) \in D_{xz}

$\iint_{S} g (x, y, z) dS = \iint_{D_{xz}} g (x, y (x, z), z) \sqrt{1 + y_{x}^{2} + y_{z}^{2}} dA$

o, en "versión implícita",

$\iint_{S} g (x, y, z) dS = \iint_{D_{xz}} g (x, y (x, z), z) \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{y}^{2}}} dA$

c)

Proyectando sobre

Y Z

: Si

S : x = x (y, z)

S : F (x, y, z) = 0,

con

(y, z) \in D_{yz}

$\iint_{S} g (x, y, z) dS = \iint_{D_{yz}} g (x (y, z), y, z) \sqrt{1 + x_{y}^{2} + x_{z}^{2}} dA$

o, en "versión implícita",

$\iint_{S} g (x, y, z) dS = \iint_{D_{yz}} g (x (y, z), y, z) \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{x}^{2}}} dA$

Ejemplo201

Calcular la integral de superficie

\iint_{S} \frac{z + x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} dS

con

S

la porción de la superficie

z = 4 - x^{2}

limitada por el plano

x + 2 y = 4,

como se

muestra en la figura

Solución. En coordenadas rectangulares,

\sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} = \sqrt{1 + 4 x^{2}}

\begin{array}{rcl} \iint_{S} \frac{z + x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} dS & = & \iint_{D} \frac{4 - x^{2} + x^{2}}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} \sqrt{1 + 4 x^{2}} dA \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - x ∕ 2} 4 dy d x = 12 . \end{array}

Ejemplo202(Integrando sobre

Y Z

Calcular la integral de superficie $\iint_{S} 2 xyz dS$ con $S$ la parte del plano $y = x$ limitado por $z = x^{2} + y^{2},$ como se muestra en la figura.

Figura 7.16: Superficie

S

Solución. La superficie

S

solo se puede proyectar en los planos

XZ

o en

Y Z .

La curva

C

de la proyección en el plano

Y Z

se obtiene como la intersección del plano y el paraboloide:

C : y = x \cap z = x^{2} + y^{2} ⟹ C : z = 2 y^{2} .

Como proyectamos en $Y Z,$ entonces $S : x = y$ y $\sqrt{1 + x_{y}^{2} + x_{z}^{2}} = \sqrt{2} .$ Luego,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} 2 xyz dS & = & \iint_{D} 2 x yz \sqrt{1 + x_{y}^{2} + x_{z}^{2}} dA \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 y^{2}} 2 y^{2} z \sqrt{2} dz dy \\ = & 4 \sqrt{2} ∕ 7 \end{array}

Ejemplo203

Calcular la integral de superficie $\iint_{S} z + 2 x + \frac{4}{3} y dS$ con $S$ la parte del plano $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ situada en el primer octante.

Solución. Como

S : z = 4 - 2 x - \frac{4}{3} y

entonces

\sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} = \sqrt{61} ∕ 3 .

Las variables de integración son

x

y

así que debemos sustituir

z

en el integrando,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} z + 2 x + 4 ∕ 3 y dS & = & \iint_{D} (z + 2 x + 4 ∕ 3 y) \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} dA \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{3 - 3 x ∕ 2} (4 - 2 x - \frac{4}{3} y + 2 x + \frac{4}{3} y) \frac{\sqrt{61}}{3} dyd x \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{3 - 3 x ∕ 2} 4 \frac{\sqrt{61}}{3} dy dx = 4 \sqrt{61 .} \end{array}

Ejemplo204

Sea $a > 0$ y sea $I = \iint_{S} \frac{1}{a^{2} + z^{2}} dS$ con $S$ el cilindro $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ limitado por los planos $z = 0$ y $z = h > 0 .$

a.): Calcular $I$ usando coordenadas rectangulares, $S : x = \sqrt{a^{2} - y^{2}} .$
b.): Calcular $I$ usando la parametrización $S_{1} : r (𝜃, z) = a cos 𝜃 i + a sen 𝜃 j + z k, (𝜃, z) \in D = [- π ∕ 2, π ∕ 2] \times [0, h] .$

Solución.

a.)

Proyectando sobre

Y Z,

S : x = \sqrt{a^{2} - y^{2}} .

En este caso,

\sqrt{1 + x_{y}^{2} + x_{z}^{2}} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}}

\begin{array}{rcl} \iint_{S} \frac{1}{a^{2} + z^{2}} dS & = & \iint_{D} \frac{1}{a^{2} + z^{2}} \frac{a}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} dydz \\ = & \int_{- a}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} dy \int_{0}^{h} \frac{1}{a^{2} + z^{2}} dz (la primera integral es impropia), \\ = & lim_{𝜖 \to 0^{+}} {a arcsen (\frac{y}{a}) |}_{- a + 𝜖}^{a - 𝜖} \cdot {\frac{1}{a} arctan (\frac{z}{a}) |}_{0}^{h} = (a \frac{π}{2} + a \frac{π}{2}) \frac{1}{a} arctan (\frac{h}{a}) . \end{array}

b.)

En este caso, esta es la manera fácil. Usando la parametrización uno-uno

r (𝜃, z) = a cos 𝜃 i + a sen 𝜃 j + z k, (𝜃, z) \in D = [- π ∕ 2, π ∕ 2] \times [0, h] .

$∙$: $r_{𝜃} = (- a sen 𝜃, a cos 𝜃, 0)$
$∙$: $r_{z} = (0, 0, 1)$
$∙$: $| | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | = | | (a cos 𝜃, a sen 𝜃, 0) | | = a .$

\iint_{S} \frac{1}{a^{2} + z^{2}} dS = \iint_{D} \frac{1}{a^{2} + z^{2}} | | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | dz d𝜃 = \int_{- pi ∕ 2}^{π ∕ 2} \int_{0}^{h} \frac{a}{a^{2} + z^{2}} dz d𝜃 = π arctan (\frac{h}{a}) .

Note que usando esta parametrización no tenemos problemas de singularidades.

Ejemplo205(Usando coordenadas esféricas).

Considere la integral de superficie

I = \iint_{S} ln z dS

con

S

el casquete de esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1,

\frac{1}{2} \leq z \leq 1 .

a.): Calcular $I$ usando coordenadas rectangulares
b.): Calcular $I$ usando la parametrización (coordenadas esféricas) $S : r (𝜃, φ) = (sen φ cos 𝜃, sen φ sen 𝜃, cos φ), con (𝜃, φ) \in [0, 2 π [\times [0, π ∕ 3] .$
c.): Calcular $I$ usando la parametrización $S : r (z, 𝜃) = \sqrt{1 - z^{2}} cos t i + \sqrt{1 - z^{2}} sen t j + z k con \frac{1}{2} \leq z \leq 1 y 𝜃 \in [0, 2 π [.$

Solución.

a.)

En coordenadas rectangulares

S : z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}},

con

z \in [1 ∕ 2, 1] .

Entonces la proyección sobre el plano

XY

está entre el origen y la circunferencia

x^{2} + y^{2} = 3 ∕ 4 .

Las variables de integración son

x

y

así que debemos sustituir

z

en el integrando,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} ln z dS & = & \iint_{D} ln (z) \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} dA \\ = & \iint_{D} log (\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}) \sqrt{1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}}} dA, (pasamos a polares), \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{3 ∕ 4}} log (\sqrt{1 - r^{2}}) \frac{r}{\sqrt{1 - r^{2}}} dr d𝜃 (usamos la sustitución u^{2} = 1 - r^{2}), \\ = & π (ln 2 - 1) (la integral es impropia, se calcula con u \to 0). \end{array}

b.)

Vamos a usar una parametrización del casquete de la esfera basada en coordenadas esféricas. Observe que los parámetros son

𝜃

φ .

En este caso,

ρ = 1

${\begin{matrix} x & = & sen φ cos 𝜃 \\ y & = & sen φ sen 𝜃 \\ z & = & cos φ \end{matrix} ⟹ r (𝜃, φ) = (sen φ cos 𝜃, sen φ sen 𝜃, cos φ), (𝜃, φ) \in [0, 2 π [\times [0, π ∕ 3] .$

El valor $φ = π ∕ 3$ se obtiene de resolver $z = 1 \cdot cos φ = \frac{1}{2} .$ Luego,

$∙$: $r_{𝜃} = (- sin 𝜃 sin φ, cos 𝜃 sin φ, 0)$
$∙$: $r_{φ} = (cos 𝜃 cos φ, cos φ sin 𝜃, - sin φ)$
$∙$: $| | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂φ} | | = sen φ > 0 en [0, π ∕ 3],$

Las variables de integración son $φ$ y $𝜃,$ así que debemos sustituir $z$ en el integrando. Para resolver la integral se hace la sustitución $u = cos φ,$

\iint_{S} ln z dS = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π ∕ 3} ln (cos φ) sen φ dφd𝜃 = - \int_{0}^{2 π} \int_{1}^{cos π ∕ 3} ln (u) d u d𝜃 = π (ln 2 - 1)

c.)

Como

S : x^{2} + y^{2} = 1 - z^{2},

con

\frac{1}{2} \leq z \leq 1;

podemos parametrizar el casquete como

r (z, 𝜃) = \sqrt{1 - z^{2}} cos t i + \sqrt{1 - z^{2}} sen t j + z k con \frac{1}{2} \leq z \leq 1 y 𝜃 \in [0, 2 π [.

•

| | \frac{\partial r}{∂z} \times \frac{\partial r}{∂𝜃} | | = | | (- \sqrt{1 - z^{2}} cos t, - \sqrt{1 - z^{2}} sen t, - z) | | = 1

En este caso las variables de integración son

z

𝜃

así que no hay nada que sustituir en la integral,

\iint_{S} ln z dS = \int_{0}^{2 π} \int_{1 ∕ 2}^{1} ln (z) \cdot 1 dz d𝜃 = = π (ln 2 - 1)