Ejercicios

7.1

Consideremos el campo de fuerzas

F

con

F (x, y, z) = (x + sen (y)) i + (ln (xz) - y) j + (2 z + arctan (xy)) k

Calcule la integral de superficie $\iint_{S} F \cdot N dS$ donde $S$ es la frontera del sólido $E,$ el cual se muestra en la figura a la derecha y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E .$

Se puede aplicar el teorema de divergencia.

Div F = 1 - 1 + 2 = 2 .

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} \int_{0}^{3 - x} 2 dydzdx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} (6 - 2 x) dzdx \\ = & \int_{0}^{2} (6 - 2 x) (4 - x^{2}) dx \\ = & \int_{0}^{2} (2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24) dx \\ = & {(\frac{x^{4}}{2} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x) |}_{0}^{2} = 8 - 16 - 16 + 48 = 24 \end{array}

7.2

Use el teorema de la divergencia para calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

donde

S

es la frontera del sólido

E

, limitado por la superficie

z = x^{2} + y^{2} + 5

y el plano

z = 10,

tal y como se muestra en la figura a la derecha,

F (x, y, z) = 2 x i + y j + z k

y

N

es el vector normal unitario exterior a

E .

Se omite.

7.3

Sea

F (x, y, z) = x y^{2} i + x^{2} y j + y k

y sea

S

es la frontera del sólido

E

limitado por

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, S_{2} : z = 1

y

S_{3} : z = - 1

´

como se ve en la figura. Calcule $\iint_{S} F \cdot N dS$ donde $N$ es el vector normal unitario exterior a $E .$

•

div F = y^{2} + z^{2}

• La proyección es el círculo

x^{2} + y^{2} \leq 1

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} div F dV \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{- 1}^{1} r^{2} r drd𝜃 \\ = & π \end{array}

7.4

Sea

S

la frontera del sólido

E

limitado por la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2

y el cono

2 z^{2} = y^{2} + x^{2}

, tal y como se muestra en la figura.
Si

F (x, y, z) = xz i + x arctan (xz) j + \frac{z^{2}}{2} k

, calcular

\iint_{E} F \cdot N dS

si

N

es el vector normal unitario siempre exterior a

E .

Como $S = ∂E$ y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E,$ podemos usar el teorema de la divergencia. Proyectando sobre $XY$ tenemos

\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV = \iint_{R_{xy}} \int_{\sqrt{(x^{2} + y^{2}) ∕ 2}}^{\sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}} 2 z dz dA \\ = & \iint_{R_{xy}} {z^{2} |}_{\sqrt{(x^{2} + y^{2}) ∕ 2}}^{\sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}} dA \\ = & \iint_{R_{xy}} (2 - x^{2} - y^{2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2}) dA \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 ∕ \sqrt{3}} (2 - r^{2} - \frac{r^{2}}{2}) \cdot r drd𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 ∕ \sqrt{3}} (2 r - \frac{3}{2} r^{3}) drd𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \frac{2}{3} d𝜃 = \frac{4 π}{3} \end{matrix}

7.5

Sea

E

el sólido que se muestra en la figura a la derecha y sea

S

la frontera de

E,

es decir,

S = ∂E

. Calcule

\iint_{S} F \cdot N dS

donde

F (x, y, z) = (x^{3} + sen z, x^{2} y + cos z, tan (x^{2} + y^{2}))

y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E .$

Como

S = ∂E

y

N

es el vector normal unitario siempre exterior a

E,

podemos usar el teorema de la divergencia. Proyectando sobre

XZ

tenemos

\iint_{S} F \cdot N dS = \int_{- 2}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} \int_{0}^{5 - z} 4 x^{2} dy dzdx

7.6

Sea

F (x, y, z) = (z^{2} + 2) k

y

S

la frontera del sólido

Q,

el cual se muestra a la derecha, y

N

es un vector normal exterior a

E .

a.): Calcule $\iint_{S} F \cdot N dS$ sin usar el Teorema de la Divergencia.
b.): Calcule $\iint_{S} F \cdot N dS$ usando el teorema de la Divergencia.

7.7

Sea

F (x, y, z) = 3 y i - xz j + yz k,

S

es la frontera del sólido

E,

el cual se muestra a la derecha, y

N

es un vector normal exterior a

E .

a.): Calcule $\iint_{s} F \cdot N dS$ sin usar el Teorema de la Divergencia.
b.): Calcule $\iint_{s} F \cdot N dS$ usando el teorema de la Divergencia.

Se omite.