Teorema de la Divergencia.

7. Teorema de la Divergencia.

Ahora nos interesa analizar el flujo de un campo vectorial $F (x, y, z) = (P, Q, R)$ continuamente diferenciable, a través de la frontera $S = ∂E$ de un sólido simple $E,$ en la dirección del vector normal unitario exterior a $S = ∂E .$ El flujo total se puede separar entre el flujo que entra y el flujo que sale, en cada cara del sólido el flujo podría ser distinto.

Divergencia significa “alejarse de”. Intuitivamente, la “divergencia” es la densidad de flujo o flujo neto por unidad de volumen; es la cantidad de flujo que entra o sale en un punto y se calcula como el “cambio de flujo total”, es decir, la suma del cambio de $F$ en la dirección de $X,$ el cambio de $F$ en la dirección de $Y$ y el cambio de $F$ en la dirección de $Z .$

En un caso sencillo, se toma un cubo $E$ centrado en $(a, b, c)$ con aristas paralelas a los ejes. Calcular el flujo sobre $S = ∂E$ requiere calcular el flujo sobre cada una de las caras.

En la cara que contiene al punto $(a + Δ x ∕ 2, b, c)$ (punto rojo en la figura anterior) la estimación del flujo total $F t_{x +}$ sería

F t_{x +} \approx F (a + Δ x ∕ 2, b, c) \cdot (1, 0, 0) Δ y Δ z = P (a + Δ x ∕ 2, b, c) Δ y Δ z

En la cara (opuesta) que contiene al punto

(a - Δ x ∕ 2, b, c)

la estimación del flujo total

F t_{x -}

sería

F t_{x -} \approx F (a + Δ x ∕ 2, b, c) \cdot (- 1, 0, 0) Δ y Δ z = - P (a - Δ x ∕ 2, b, c) Δ y Δ z

Luego el flujo total estimado en ambas caras sería,

\begin{array}{rcl} F t_{x +} + F t_{x -} & \approx & [P (a + Δ x ∕ 2, b, c) - P (a - Δ x ∕ 2, b, c)] Δ y Δ z = \frac{∂P}{∂x} (a, b, c) Δ x Δ y Δ z si Δ x \approx 0 \end{array}

De manera similar, si

Δ V

es el volumen de la caja, el flujo total en las caras paralelas a los planos

y = 0

z = 0

sería aproximadamente

\frac{∂Q}{∂y} (a, b, c) Δ V

\frac{∂R}{∂z} (a, b, c) Δ V,

respectivamente.

Así, el flujo total a través de

S = ∂E

con vector normal exterior, sería aproximadamente

{(\frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}) |}_{(a, b, c)} Δ V

Así, el flujo total que pasa a través de la frontera de una pequeña caja de centro

(a, b, c)

es un escalamiento del volumen, el factor de escalamiento

\frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}

, evaluado en el centro, se llama divergencia.

Definición 24.

La divergencia del campo vectorial $F = (P, Q, R)$ es el campo escalar

Div F = \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}

F

es continuamente diferenciable,

Div F

es continuo y si

E_{i}

es una caja de diámetro pequeño, entonces

Div F Δ V \approx ∭_{E_{i}} Div F dV

Pero como

Div F Δ V

es aproximadamente el flujo total a través de la frontera de

E_{i},

en la dirección del vector normal exterior, entonces

∭_{E_{i}} Div F dV \approx \iint_{\partial E_{i}} F \cdot N dA

La generalización es llamada el Teorema de la divergencia o Teorema de Gauss.

Teorema 26 — (Teorema de la Divergencia)..

Sea $E$ un sólido limitado por una superficie orientable $S$ y sea $N$ el vector normal unitario siempre exterior a $E .$ Si $F$ es un campo vectorial de clase $C^{1}$ sobre $E$ entonces

∭_{E} Div F dV = \iint_{S} F \cdot N dS

donde

Div F = P_{x} + Q_{y} + R_{z}

F = (P, Q, R) .

Como estamos asumiendo

N

exterior a

E,

entonces

\iint_{S} F \cdot N dS

calcula "el flujo neto que sale" de

E

. Si no usamos el teorema de la divergencia, tendríamos que ajustar en cada superficie el vector

N

para que quede exterior al sólido

E .

Ejemplo197

Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

F (x, y, z) = (z + 1) k,

S

es la frontera del sólido

E

limitado por el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1,

el plano

z = 2 + y

z = 0,

como se ve en la figura, y

N

es el vector unitario siempre exterior a

E .

Solución. En vez de calcular la integral sobre cada una de las tres superficies que conforman la frontera de

E

(ver los ejemplos , y ), usamos el teorema de la divergencia.

• $F (x, y, z) = (0, 0, z + 1)$ y $Div F = 0 + 0 + 1 = 1 .$

Proyectando sobre el plano $XY$ y usando coordenadas cilíndricas, tenemos

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \iint_{D} \int_{0}^{2 + y} 1 d z dA (la cantidad de flujo coincide con el volumen de E!) \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 + r sen 𝜃} 1 r dz dr d𝜃 = 2 π \end{array}

La importancia de que

N

se exterior a

E .

Se pide

N

se exterior a

E

por convenio, para medir el flujo en esa dirección. Si

N

no es siempre exterior a

E,

el flujo neto, por supuesto, cambia.

Consideremos los ejemplos , y . El cálculo de la integral de flujo se hizo siempre con

N_{1} = (- f_{x}, - f_{y}, 1)

pero este vector no siempre es exterior a $E .$ En el caso de la superficie $S_{a}$ (figura siguiente), este vector no es exterior y

\iint_{S_{a}} F \cdot N dS = π .

El resultado es

\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{S_{a}} F \cdot (- N) dS + \iint_{S_{b}} F \cdot N dS + \iint_{S_{c}} F \cdot N dS = - π + 3 π + 0 = ∭_{E} Div F dV = 2 π

Ejemplo198

Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

F (x, y, z) = y cos x i + \frac{1}{2} y^{2} sen x j + z k

y $S$ es la frontera del sólido $E$ comprendido entre las superficies $z = 1 + y,$ $x^{2} + y^{2} = 1$ y $z = 0,$ y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E .$

Solución. Podemos usar el teorema de la divergencia. La proyección del sólido sobre el plano $XY$ es un círculo $x^{2} + y^{2} = 1 .$

• $Div F = - y sen x + y sen x + 1 = 1 .$

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \iint_{D} \int_{0}^{1 + y} 1 r dz dA \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + r sen 𝜃} r dz dr d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (1 + r sen 𝜃) r drd𝜃 = π \end{array}

Ejemplo199

Sea

E

el sólido limitado por las superficies

S_{a} : z = sen (xy), S_{b} : x = \frac{π}{2}

S_{c} : y = x .

Sea

S

la frontera del sólido

E

N

es el vector normal unitario y exterior a

E .

Calcule $\iint_{S_{1}} F \cdot N dS$ si $F = (\frac{x^{3}}{3}, z, yx) .$

Solución. Podemos usar el teorema de la divergencia. La proyección del sólido sobre el plano $XY$ es el triángulo $0 \leq x \leq π ∕ 2$ y $0 \leq y \leq x .$

• $Div F = x^{2}$

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{x} \int_{0}^{sen (xy)} x^{2} dzdydx \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{x} x^{2} sen (xy) dydx = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x - x cos (x^{2}) dx = \frac{1}{8} (π^{2} - 4 sen (\frac{π^{2}}{4})) \end{array}

Ejemplo200

Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

F (x, y, z) = x i + y j + z k

S

es la frontera del sólido

E

comprendido entre las superficies

z = 10 - x^{2} - y^{2}

z = 2 + x^{2} + y^{2},

N

es el vector normal unitario siempre exterior a

E .

Solución. Podemos usar el teorema de la divergencia.

• $F (x, y, z) = (x, y, z)$ y $Div F = 1 + 1 + 1 = 3 .$

• La proyección del sólido sobre el plano $xy$ es un círculo de radio $2$ pues

z = 10 - x^{2} - y^{2} \cap z = 2 + x^{2} + y^{2} ⟹ 4 = x^{2} + y^{2} .

Usando coordenadas cilíndricas obtenemos,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \iint_{D} \int_{2 + x^{2} + y^{2}}^{10 - x^{2} - y^{2}} 3 d z dA = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} \int_{2 + r^{2}}^{10 - r^{2}} 3 r dz dr d𝜃 = 48 π \end{array}