Superficies orientables.

6. Superficies orientables.

Sea

S

una superficie y

r (u, v)

una parametrización de

S

. Los vectores normales a

S,

(u, v),

puede escogerse entre los dos vectores unitarios opuestos

N (u, v) = \pm \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |}

Caso

S : z = f (x, y)

En el caso de que

S : z = f (x, y),

r (x, y) = x i + y j + f (x, y) k

y entonces

N_{+} (x, y) = \frac{(- f_{x}, - f_{y}, 1)}{\sqrt{f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + 1}} y N_{-} (x, y) = - \frac{(- f_{x}, - f_{y}, 1)}{\sqrt{f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + 1}}

Si la superficie tiene dos “caras”, el signo hace que cada vector normal esté en un lado u otro de la superficie. Este hecho se usa para “orientar” una superficie. Orientar una superficie significa escoger un signo para

N,

una cara de la superficie es caracterizado

N

y la otra cara por

- N .

Como

N

depende de la parametrización

r,

es está la que al fin y al cabo orienta la superficie.

En el caso de una esfera, cada vector $N_{+} (x, y)$ (con signo positivo) apunta al exterior y el cada vector $N_{-} (x, y)$ apunta al interior

Definición 23.

Si en cada punto $(x, y, z)$ de la superficie regular $S$ es posible asociar un vector unitario $N (x, y, z)$ de tal manera que como función, $N$ sea continua sobre toda la superficie $S,$ entonces se dice que $S$ es orientable.

Como decíamos, la definición supone que la superficie tiene dos lados. Uno de los lados queda determinado por la función continua

N (x, y, z)

sobre

S

y el otro lado por la normal de signo contrario.

Hay superficies de una sola cara, como la banda de Möbius, que no son orientables. En la figura que sigue tenemos una banda de Möbius. Note que la escogencia de

N

no orienta la banda, es decir, si escogemos uno de los

N

, la presencia de estos vectores

N

“arriba” y “abajo” de la banda, muestran que hay una sola cara.

En las integrales de flujo que hemos calculado, hemos usado el vector normal unitario fundamental

N_{+} .

No siempre este es el vector que se elige para los cálculos. Algunos teoremas requieren superficies orientadas con vectores normales unitarios hacia el exterior.

Convenio para superficies cerradas. En el caso de superficies cerradas, se conviene en que si $N$ apunta hacia afuera, esta es "la orientación positiva" y si $N$ apunta hacia adentro, esta es "la orientación negativa".