Aplique el teorema de Stokes con las superficies de la figura que sigue.

Una parametrización para $C_1$ es $r_1(t)=(t,2-t^2,4-t^2),$ con $t\in [0,2].$

1.

${\int }_{C_1}F\cdot dr={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2\left(2(2-t^2)(4-t^2),-4t,-3{(4-t^2)}^2\right)\cdot \left(1,-2t,-2t\right)\mathit{dt}$

2.

Usamso el teorema de Stokes. Proyectamos sobre $\mathit{XZ}$

${\int }_{C}F\cdot dr={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{4-x^2}\left(0,2y,-4-2z\right)\cdot \left(0,1,1\right)\mathit{dz}\mathit{dx}$

$$\text{ Rot }(F)=\left|\begin{array}{ccc}\hfill i\hfill & \hfill j\hfill & \hfill k\hfill \\ \hfill \frac{\partial }{\mathit{\partial x}}\hfill & \hfill \frac{\partial }{\mathit{\partial y}}\hfill & \hfill \frac{\partial }{\mathit{\partial z}}\hfill \end{array}\right|=(2-y,-1,0)$$

Un vector normal para $y=2x$ es $N_1=(2,-1,0),$ pero la curva gira a favor de reloj respecto a $N_1,$ por lo que ha que ajustar el signo.

Así

$$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_C\mathit{Fdr}& =& -{\iint }_S\text{ Rot }(F)\cdot N\mathit{dA}& \\ & & & \\ & =& -{\iint }_R(2-y,-1,0)\cdot (2,-1,0)\mathit{dA}& \\ & & & \\ & =& -{\iint }_R(-2y-3)\mathit{dA}& \\ & & & \\ & =& -{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\frac{\pi }{2}}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1(-2(2r\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃)-3)\mathit{rdrd𝜃}& \\ & & & \\ & =& -{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\frac{\pi }{2}}{\left(-4\frac{r^3}{3}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃-3\frac{r^2}{2}\right)|}_{r=0}^{r=1}\mathit{d𝜃}& \\ & =& -{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{-4}{3}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃-\frac{3}{2}\right)\mathit{d𝜃}& \\ & & & \\ & =& -{\left(\frac{-4}{3}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃-\frac{3𝜃}{2}\right)|}_0^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{-4}{3}+\frac{3\pi }{4}& \\ & & & \end{array}$$

Se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Stokes (Teo de Green en el espacio). Podemos tomar como la superficie $S,$ la porción del plano $z=2-x$ limitada por el cilindro $x^2+y^2=1.$ Entonces un vector normal que nos sirve es $N=(1,0,1)$

$C$ es una curva cerrada simple, suave a trozos. Podemos usar el Teorema de Stokes (T. Green en el espacio). Tenemos dos opciones, proyectar sobre el plano $\mathit{XY}$ o sobre el plano $YZ.$
Proyectando sobre el plano XY. En este caso, $S:z=4-x^2$ y $N=(-z_x,-z_y,1)=(2x,0,1).$

$$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C}F\cdot dr& =& {\iint }_S\text{ Rot }F\cdot N\mathit{dS}& \\ & & & \\ & =& -{\iint }_{r_{\mathit{xy}}}(-y,x-1,0)\cdot (2x,0,1)\mathit{dA}& \\ & & & \\ & =& -{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{x^2+1}-2\mathit{xy}\mathit{dy}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{62}{3}}\approx 20.6667& \end{array}$$

Proyectando sobre el plano YZ. En este caso, $S:x=\sqrt{4-z}$ y $N=(1,-x_y,-x_z)=\left(1,0,{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{4-z}}}\right).$

$$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C}F\cdot dr& =& {\iint }_S\text{ Rot }F\cdot N\mathit{dS}& \\ & & & \\ & =& -{\iint }_{r_{\mathit{xy}}}(-y,x-1,0)\cdot \left(1,0,{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{4-z}}}\right)\mathit{dA}(\ast )& \\ & & & \\ & =& -{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^4{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{5-z}-y\mathit{dy}\mathit{dz}={\displaystyle \frac{62}{3}}\approx 20.6667& \end{array}$$ Nota. La integral $\text{(∗)}$ no es impropia pues al hacer el producto punto, el integrando es una función acotada. Las discontinuidades en un integrando acotado no afectan la integral sin constituyen un conjunto de medida cero.

1.

${\int }_{C}F\cdot dr={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C_1}F\cdot dr+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C_2}F\cdot dr+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C_3}F\cdot dr+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C_4}F\cdot dr$

(a)

$-C_1:r_1(t)=(t,t,0)t\in [0,1]⟹$ ${\int }_{C_1}F\cdot dr=-{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1-t^2\mathit{dt}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

(b)

$C_2:r_2(t)=(0,0,t)t\in [0,1]⟹$ ${\int }_{C_2}F\cdot dr={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{1}0\mathit{dt}=0$

(c)

$C_3:r_3(t)=(0,t,1-t)t\in [0,1]⟹$ ${\int }_{C_3}F\cdot dr={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{1}1-t\mathit{dt}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

(d)

$C_4:r_4(t)=(t,1,0)t\in [0,1]⟹$ ${\int }_{C_1}F\cdot dr={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1-1^2\mathit{dt}=-1$

$${\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C}F\cdot dr=1∕3+1∕2-1$$

2.

${\iint }_S\text{ Rot }F\cdot N\mathrm{dS}={\iint }_{S_1}\text{ Rot }F\cdot N\mathrm{dS}+{\iint }_{S_2}\text{ Rot }F\cdot N\mathrm{dS}.$

$\text{ Rot }F=(-1,-1,2y)$

Para $S_1$ un vector normal es $N_1=(1,-1,0)$ (acorde con la orientación de $C$).

${\iint }_{S_1}\text{ Rot }F\cdot N_1\mathrm{dS}={\iint }_{S_1}0\mathrm{dS}=0$

Para $S_2$ un vector normal es $N_2=(0,-1,-1)$ (acorde con la orientación de $C$).

${\iint }_{S_2}\text{ Rot }F\cdot N_2\mathrm{dS}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_x^{1}1-2y\mathit{dy}\mathit{dx}=-1∕2+1∕3.$

Finalmente, ${\iint }_S\text{ Rot }F\cdot N\mathrm{dS}=0+-1∕2+1∕3.$