Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio).

9. Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio).

Rotacional de un campo vectorial. Sea $F = (P, Q, R)$ entonces el rotacional de $F$ es

Rot F = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{∂x} & \frac{\partial}{∂y} & \frac{\partial}{∂z} \end{matrix} | = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) .

El gradiente, la divergencia y el rotacional se puede expresar en términos del operador "nabla",

\nabla = (\frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂y})

Este operador lo aplicamos como si fuera un vector. De esta manera,

\begin{matrix} \nabla f & = & (\frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂y}) f & = & (\frac{\partial f}{∂y}, \frac{\partial f}{∂y}, \frac{\partial f}{∂y}) \\ \nabla \cdot F & = & (\frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂y}) (P, Q, R) & = & \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z} \end{matrix}

Circulación y vorticidad. La "vorticidad" es la tendencia de un fluido que se mueve a girar un objeto que es arrastrado por este fluido.

La "circulación" es el movimiento total del fluido a medida que viaja a lo largo de una curva. La circulación de un fluido sobre una circunferencia

C

en un plano

z = c

se mide con la componente tangencial de

F,

es decir, se mide con

F \cdot T

donde

T = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |} .

El "movimiento total" del fluido sobre $C$ se obtiene integrando respecto a la longitud de arco,

circulación = \int_{C} F \cdot T ds = \int_{C} F \cdot d r

Si la circunferencia es

C : r (t) = (a + r cos t) i + (a + r sen t) j + c k

con

t \in [0, 2 π]

y si

F (x, y, z) = (- ky, 0, 0),

entonces

Rot F = (0, 0, k)

circulación = \int_{C} F \cdot d r = k π r^{2} = Rot F \cdot N_{z} A_{círculo}

Sobre un cuadrado tenemos algo parecido. Sea

C

la frontera de un cuadrado, orientada contrareloj, en el plano

z = c .

Supongamos que cada uno de sus lados miden

L

y que estos lados son paralelos a los ejes. Como antes

F = (- ky, 0, 0) .

En este caso,

F \cdot T = 0

en loa lados paralelos al eje

Y,

En el lado de arriba (

y = b + L

) la velocidad tangencial es

k (b + L)

y el lado de abajo (

y = b

) la velocidad tangencial es

- kb;

por lo tanto,

circulación = k (b + L) L - kbL = k L^{2} = Rot F \cdot N_{z} A_{cuadrado}

Con un (buen poco) de esfuerzo, podemos calcular la circulación de $F$ a através de la frontera de rectángulos en los otros planos y generalizar este comportamiento local para llegar a la conclusión de que si $S_{1}$ es una superficie orientada, entonces

\begin{array}{rcl} circulación de F a través de \partial S_{1} & = & Flujo de Rot F a través de S_{1} \\ \int_{\partial S_{1}} F \cdot T ds & = & \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS = \iint_{D} "circulación microscópica de F " dA \end{array}

Orientación positiva de $C = \partial S_{1}$ respecto a $N .$ El teorema de Stokes (o de Green el el espacio) requiere que la curva esté orientada "positivamente", esto significa que la orientación de la curva debe ser tal que gire contra-reloj respecto al vector normal unitario $N .$

Figura 8.27: Orientación positiva de

C

respecto a

N .

Teorema 32 — (Teorema de Stokes)..

Sea $S_{1}$ una superficie orientable, regular a trozos y limitada por una curva $C = \partial S_{1},$ cerrada y regular a trozos. Si $F = (P, Q, R)$ es de clase $C^{1}$ sobre $S_{1}$ y si $N$ (el vector normal unitario) es elegido de tal manera que $C$ tiene orientación positiva, entonces

\int_{C} F \cdot d r = \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS

El teorema de Stokes se puede extender a dos o más curvas cerradas.

Ejemplo235

Sea

S

la superficie de ecuación

z = 2

tal y como se muestra en la figura. La curva

C

es la frontera de

S .

F (x, y, z) = 3 y i - xz j + y z^{2} k,

1.: Calcular $\int_{C} F \cdot d r$ con la definición de integral de línea.
2.: Utilice el Teorema de Stokes para calcular $\int_{C} F \cdot d r .$

Solución. Una parametrización para

C

r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{2 cos t}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{2 sen t}} j + \underset{z (t)}{\underset{⏟}{2}} k, t \in [0, 2 π]

1.

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{C} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt \\ = & \int_{0}^{2 π} (3 \cdot 2 sen t, - (2 cos t) (2), (2 sen t) {(2)}^{2}) \cdot (- 2 sen t, 2 cos t, 0) dt \\ = & \int_{0}^{2 π} - 12 {sen}^{2} t - 8 {cos}^{2} t dt = - 20 π \end{array}

2.

La superficie es

S : z = 2

y la proyección es el círculo

x^{2} + y^{2} = 4 .

El vector

N

se debe tomar de acuerdo a la regla de la mano derecha:

N = \frac{(- z_{x}, - z_{y}, 1)}{| | (- z_{x}, - z_{y}, 1) | |} = (0, 0, 1) .

Luego, $Rot F = (x + z^{2}, 0, - 3 - z) .$ Entonces,

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int \int_{S} Rot F \cdot N dS = \int \int_{R_{xy}} (x + z^{2}, 0, - 3 - z) \cdot (0, 0, 1) dA = \int \int_{R_{xy}} - 3 - z dA \\ = & \int \int_{R_{xy}} - 5 dA, pues S : z = 2 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} - 5 r dr d𝜃 = - 20 π \end{array}

Ejemplo236

Utilice el teorema de Stokes para calcular

\int_{C} F \cdot d r

donde

F (x, y, z) = 3 y i - xz j + y z^{2} k

C

es la curva de intersección entre el paraboloide

2 z = x^{2} + y^{2}

y el plano

z = 2,

tal y como se muestra en la figura.

Solución. La curva es borde de dos superficies, el plano

z = 2

y también del paraboloide

2 z = x^{2} + y^{2} .

¿Cuál superficie escoger, el paraboloide o el plano?.

De acuerdo al Teorema de Stokes, se puede escoger cualquiera de las dos. La más simple es el plano $z = 2 .$ Si $S : z - 2 = 0$ entonces $N = \pm (0, 0, 1) .$ ¿Cuál signo se escoge?.

Las integrales $\int_{C} F \cdot d r$ y $\iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS$ tienen el mismo valor si $N$ se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha (sino, difieren en el signo), en este caso particular y de acuerdo a la orientación de $C,$ el que se debe escoger es $N = (0, 0, 1) .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS \\ = & \iint_{r_{xy}} (z^{2} + x, 0, - z - 3) \cdot (0, 0, 1) dA, \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (- z - 3) r dr d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (- 2 - 3) r dr d𝜃 = {- 10 𝜃 |}_{0}^{2 π} = - 20 π . \end{array}

Ejemplo237

Calcular $\int_{C} F \cdot d r$ si $F (x, y, z) = (yz, x, z^{2}) .$ $C$ es la frontera de la superficie $S_{1} : y = x^{2} + 1$ limitada porlos planos $z = 5 - y$ y $z = 0,$ como se ve en la figura.

Solución. Vamos a resolver el problema de dos maneras: Proyectando $S_{1}$ sobre $XZ$ y proyectando $S_{1}$ sobre $Y Z .$

Proyectando

S_{1}

sobre el plano

XZ .

Como

S_{1} : y = 1 + x^{2},

un vector normal es

N_{1} (x, y, z) = \pm (- y_{x}, 1, - y_{z}) .

El normal adecuado es

N_{1} (x, y, z) = (y_{x}, - 1, y_{z}) = (2 x, - 1, 0) .

En la figura aparece el vector

N_{1} (1, 2, 2) = (2, - 1, 0) .

Rot F = (0, y, 1 - z) .

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} (0, y, 1 - z) \cdot (2 x, - 1, 0) dzdx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} - y dz dx = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} - x^{2} - 1 dzdx = - 48 ∕ 5 . \end{array}

Proyectando $S_{1}$ sobre el plano $Y Z .$ Como $S_{1} : x = \sqrt{1 - y},$ un vector normal es $N_{1} (x, y, z) = \pm (1, - x_{y}, - x_{z}) .$ El normal adecuado es $N_{1} (x, y, z) = (1, \frac{- 1}{2 \sqrt{y - 1}}, 0) .$ $Rot F = (0, y, 1 - z) .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS \\ = & \int_{1}^{5} \int_{0}^{5 - y} (0, y, 1 - z) \cdot (1, \frac{- 1}{2 \sqrt{y - 1}}, 0) dzdy \\ = & \int_{1}^{5} \int_{0}^{5 - y} - \frac{y}{2 \sqrt{y - 1}} dzdy = - 48 ∕ 5 . \end{array}

Ejemplo238

Sea

S_{1} : y = 4 - x^{2} - z^{2}

en el primer octante y

C = \partial S_{1} .

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y, z) = (xy, z, y)

Solución. La ecuación de la superficie

S_{1}

y = 4 - x^{2} - z^{2} .

Vamos a proyectar sobre el plano

XZ .

El vector normal adecuado para que se cumpla la identidad del teorema de Stokes es

N_{1} (x, y, z) = (- y_{x}, 1, - y_{z}) = (2 x, 1, 2 z) .

Para ver esto, tome un punto de la superficie

S,

digamos

(1, 2, 1) .

En este caso

N_{1} (1, 2, 1) = (2, 1, 2) .

Al trasladarlo a la superficie, vemos que es el vector adecuado.

Figura 8.28: Curva

C .

•

Rot F = (0, 0, - x) .

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS \\ = & \iint_{D} (0, 0, - x) \cdot (2 x, 1, 2 z) dz dx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} - 2 xz dz dx = - 4 . \end{array}

Ejemplo239

Sea

Q

el sólido limitado por las superficies

S_{1} : z = sen (xy), S_{2} : x = \frac{π}{2}

S_{3} : y = x

. Calcule

\int_{C} F \cdot d r

F = (z, x, x)

C

es la frontera de la superficie

S_{1} .

Solución. Como $S_{1} : z = sen (xy),$ entonces $N_{1} (x, y, z) = (- y cos (xy), - x cos (xy), 1) .$ Tomamos un punto de la superficie, digamos $(1, 1, sen (1)),$ en la figura de arriba se muestra la traslación del vector $N_{1} (1, 1, sen (1));$ se nota que la curva $C$ no está orientada positivamente, así que debemos tomar $N_{1} = (y cos (xy), x cos (xy), - 1) .$

Ahora, $Rot F = (0, 0, 1);$ proyectamos sobre el plano $XY,$ la región de integración es el triángulo $0 \leq x \leq π ∕ 2$ y $0 \leq y \leq x .$

\begin{matrix} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{x} (0, 0, 1) \cdot (y cos (xy), x cos (xy), - 1) dydx \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{x} - 1 dydx = \frac{π^{2}}{8} \end{matrix}

Ejemplo240

Sea

F (x, y, z) = (x + y, 2 x - z, y + z)

S_{1}

la porción del plano

3 x + 2 y + z = 6

en el primer octante. Sea

C

la frontera de la superficie

S_{1} .

Calcular

\int_{C} F \cdot d r .

Solución. La ecuación de la superficie

S_{1}

z = 6 - 3 x - 2 y .

La curva está orientada a favor de reloj respecto al vector normal

N_{1} = (- z_{x}, - z_{y}, 1) = (3, 2, 1),

como se ve en la figura, por lo tanto debemos usar el vector

N_{1} = (z_{x}, z_{y}, - 1) = (- 3, - 2, - 1) .

Recordemos que no necesitamos hacerlo unitario por la cancelación de normas en la integral de superficie.

• $Rot F = (2, 0, 1) .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} Rot F \cdot N dS \\ = & \iint_{D} (2, 0, 1) \cdot (- 3, - 2, - 1) dydx \\ = & - \int_{0}^{2} \int_{0}^{3 - 3 ∕ 2 x} 7 dydx = - 21 . \end{array}