Curvas regulares. Parametrizaciones.

1. Curvas regulares. Parametrizaciones.

En el capítulo 4 estudiamos las curvas y sus parametrizaciones. Recordemos que una trayectoria $C$ en $ℝ^{n}$ es una función continua $r : [a, b] \to ℝ^{n} .$ Si la función vectorial $r$ es continua en $[a, b],$ entonces a la representación gráfica de $r$ se le llama curva y decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por $r (t) .$ Escribimos

C : r (t) con t \in [a, b]

1: Cerrada. Si $r (a) = r (b),$ la curva se dice cerrada.
2: Simple. Si $r$ es inyectiva en $[a, b],$ la curva se dice simple. Si $r$ es cerrada y es inyectiva en $] a, b],$ la curva se dice cerrada simple. Las curvas cerradas simples se llaman curvas de Jordan.
3: Parametrización. A $r$ le llamamos una parametrización de $C .$

Fig. 9.1: Curvas

Curvas regulares. Decimos que la curva

C

es regular o ’suave’ en

[a, b]

r^{'} (t)

es continua en

[a, b]

r^{'} (t) \neq 0

para todo

t \in [a, b]

(es decir las componentes de

r

no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva

C

es regular a trozos en

[a, b]

si es regular en cada subintervalo de alguna partición finita de

[a, b] .

Ejemplo272Curvas Orientadas

Consideremos las curvas

1

C_{1} : y = x^{2}, x \in [- 1, 2]

Inicia en

A = (- 1, 1)

y termina en

B = (2, 4);

2

C_{1} : y = x^{2}, x \in [- 1, 2]

Inicia en

B = (2, 4)

y termina en

A = (- 1, 1);

Parametrización. Para parametrizar cada curva debemos tomar en cuenta su orientación.

a

Una parametrización de

C_{1}

es (tomando a

x = t

como parámetro),

r (t) = (x (t), y (t)) = (\underset{x (t)}{\underset{⏟}{t}}, \underset{y (t)}{\underset{⏟}{t^{2}}}) o también r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{t}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{t^{2}}} j con t \in [- 1, 2] .

Observe que

$r (- 1) = (x (- 1), y (- 1)) = (- 1, {(- 1)}^{2}) = A$ y $r (2) = (2, 2^{2}) = B .$

b

C_{2}

solo difiere de

C_{1}

en la orientación. Podemos usar la misma parametrización de

C_{1}

pero usando la notación

- C_{2}

para indicar que la orientación está invertida.

- C_{2} : r (t) = (x (t), y (t)) = (t, t^{2}), t \in [- 1, 2] .

Cambio de orientación

si $r (t)$ es una parametrización con $t \in [a, b]$ , entonces una parametrización que invierte la orientación es $r_{1} (t) = r (a + b - t)$ con $t \in [a, b]$

Curvas en coordenadas polares.

Si la curva $C$ tiene ecuación $r = g (𝜃), 𝜃 \in [a, b]$ entonces una parametrización es

r (t) = (g (t) cos t, g (t) sen t), t \in [a, b]

Parametrizar una elipse contra-reloj.

Una elipse de ecuación $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ se puede parametrizar con

r (t) = (h + a cos t) i + (k + b sen t) j con t \in [0, 2 π [.

En particular la circunferencia ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}$ se puede parametrizar con

r (t) = (h + a cos t) i + (k + a sen t) j con t \in [0, 2 π [.

Parametrizar una hipérbola.

En cálculo, las parametrizaciones usando las funciones $senh (t)$ y $cosh (t)$ posiblemente sean las mejores. En otras aplicaciones, las parametrizaciones algebraicas son las adecuadas.

Si la ecuación canónica es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ entonces son dos ramas,

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a cosh (t), k + b senh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) & = & (h - a cosh (t), k + b senh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

Si la ecuación canónica es $\frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} = 1,$ entonces son dos ramas,

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a senh (t), k + b cosh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) & = & (h + a senh (t), k - b cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

Usando las parametrizaciones $r_{1}$ y $r_{2}$ para cada rama, se tiene que $r_{i} (0)$ es el vértice de la rama correspondiente a $r_{i} .$ Además, para cada $i$ los puntos $r_{i} (t)$ y $r_{i} (- t)$ son simétricos respecto al eje focal.

Fig. 9.2: Vértice y simetría

Parametrizar cónicas con rotación: Varias maneras de parametrizar cónicas con rotación se muestran en el Apéndice ??.

Ejemplo273Parametrizar una circunferencia

Sea $C$ la curva de ecuación

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16; z = 3 .

Se trata de una circunferencia en el plano $z = 3,$ es decir, un caso particular de elipse. Una parametrización es

r (t) = (1 + 4 cos t) i + (2 + 4 sen t) j + 3 k, t \in [0, 2 π [

Observe que

r (0) = (5, 2, 3) = r (2 π) .

Parametrización

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

Ejemplo274Parametrizar función regular a trozos

Considere la curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4} + C_{5} + C_{6}

La curva inicia en $A = (2, 0, 0)$ y finaliza en $B = (2, 4, 1) .$

La curva $C_{1}$ es el trozo de circunferencia $x^{2} + z^{2} = 4$ y las otras curvas son segmentos de recta (Figura ??).

Parametrizar $C .$

Fig. 9.3:

Solución.

Curva

C

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

1

C_{1}

es un cuarto de circunferencia de radio

2,

en el plano

XZ .

La podemos parametrizar con

C_{1} : r_{1} (t) = (2 cos t, 0, 2 sen t), t \in [0, π ∕ 2]

2

C_{2}

es un segmento de recta paralelo el eje

Y .

Podemos tomar como parámetro a

y = t,

además

x (t) = 0

z (t) = 2 .

Una parametrización es

C_{2} : r_{2} (t) = (0, t, 2), t \in [0, 2],

3

C_{3}

es un segmento de recta paralelo el eje

X .

Podemos tomar como parámetro a

x = t,

además

y (t) = 2

z (t) = 2 .

Una parametrización es

C_{3} : r_{3} (t) = (t, 2, 2), t \in [0, 2],

4

C_{4}

es un segmento de recta paralelo el eje

Z .

Podemos tomar como parámetro a

z = t,

además

y (t) = 2

x (t) = 2 .

t \in [0, 2],

la orientación queda invertida, lo cual denotamos con

- C_{4}

en la parametrización que sigue,

- C_{4} : r_{4} (t) = (2, 2, t), t \in [0, 2]

5

C_{5}

es un segmento de recta paralelo el eje

Y .

Podemos tomar como parámetro a

y = t,

además

x (t) = 2

z (t) = 0 .

Una parametrización es

C_{5} : r_{5} (t) = (2, t, 0), t \in [2, 4]

6

C_{6}

es un segmento de recta paralelo el eje

Z .

Podemos tomar como parámetro a

z = t,

además

y (t) = 4

x (t) = 2 .

Una parametrización es

C_{6} : r_{6} (t) = (2, 4, t), t \in [0, 1]

Ejemplo275Parametrización

Para las siguientes cónicas, parametrice y realice la representación gráfica de las siguientes curvas

1: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$
2: ${(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$

Solución.

1

{(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4

Es la ecuación canónica de una circunferencia en el plano

XY

de centro

(- 1, 0)

y radio

2 .

Una parametrización es $r (t) = (- 1 + 2 cos (t)) i + 2 sen (t) j, t \in [0, 2 π]$

2

\frac{{(z - 1)}^{2}}{\frac{1}{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1

es la ecuación canónica de una hipérbola en el plano

Y Z

de centro

(2, 1) .

Abre en dirección del eje

Z

Una parametrización es ${\begin{matrix} r_{1} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 + \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 - \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}$

Fig. 9.4:

{(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4

Fig. 9.5:

{(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}

Segmentos de recta. Recordemos del capítulo 4 que el segmento de recta que va de

A

hasta

B

se puede parametrizar con

r (t) = A + t (B - A) con t \in [0, 1] .

El punto inicial es $r (0) = A + 0 \cdot (B - A) = A;$ el punto final es $r (1) = A + 1 \cdot (B - A) = B .$

Los segmentos paralelos a los ejes es mejor parametrizarlos usando $x = t,$ $y = t$ o $z = t,$ según corresponda.

Ejemplo276

Considere la curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

tal y como se muestra en la Figura 9.6. Parametrizar

C .

Solución.

1: $C_{1}$ es un segmento de recta sobre el eje $Y$ por tanto $x (t) = 0$ y $z (t) = 0 .$ Una parametrización es $r_{1} (t) = (0, t, 0) con t \in [0, 3] .$
2: $C_{2}$ es un cuarto de circunferencia de radio $3,$ en el plano $Y Z .$ Lo podemos parametrizar con

Fig. 9.6:

r_{2} (t) = (0, 3 cos t, 3 sen t) con t \in [0, π ∕ 2] .

3

C_{3}

es un segmento de recta que va de

(2, 1, 2)

hasta

(0, 0, 3) .

Podemos parametrizar con

r_{3} (t) = (2, 1, 2) + t [(0, 0, 3) - (2, 1, 2)] = (2 - 2 t, 1 - t, 2 + 2 t) con t \in [0, 1]

Ejemplo277Parametrización

Determine una parametrización para $C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$ (Figura 277).

Fig. 9.7: Curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

Solución.

a: El segmento $C_{1}$ lo parametrizamos con la fórmula $r_{1} (t) = A + t \cdot (B - A), t \in [0, 1]$ donde $A = (0, 2, 0)$ y $B = (2, 0, 2)$
b: Para el segmento $C_{2}$ podemos usar $x = t$ como parámetro
c: Para el segmento $C_{3}$ podemos usar $y = t$ como parámetro.

La orientación queda invertida para

C_{2}

C_{3}

C : {\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) = A + t (B - A) = 2 t i + (2 - 2 t) j + 2 t k, t \in [0, 1] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = t i + 2 j, t \in [0, 3] \\ - C_{3} : r_{3} (t) = 3 i + t j, t \in [2, 4] \end{matrix}

Observe que en el widget , para las curvas $C_{2}$ y $C_{4}$ se usó la fórmula de inversión $r_{inv} (t) = r (a + b - t)$ .

Ejemplo278Parametrización

Considere las curvas

C_{1} : z = 4 - x^{2}, y = 0

C_{2}

la curva de intersección entre las superficies

S_{1} : z = 4 - x^{2}

y el plano

S_{2} : x + y = 3

en el primer octante (Figura 9.8). Determine una parametrización para

C_{1}

C_{2}

Fig. 9.8:

Solución.

1: Si tomamos a $x = t,$ entonces ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, 0, 4 - t^{2}), t \in [0, 2] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (t, 3 - t, 4 - t^{2}), t \in [0, 2] \end{matrix}$
2: Si tomamos a $y = t,$ entonces $- C_{2} : r_{2} (t) = (3 - t, t, 4 - {(3 - t)}^{2}), t \in [1, 3]$
3: Si tomamos a $z = t,$ entonces ${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (\sqrt{4 - t}, 0, t), t \in [0, 4] \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (\sqrt{4 - t}, 3 - \sqrt{4 - t}, t), t \in [0, 4] \end{matrix}$

Ejemplo279Parametrización

Considere la curva

C

de intersección entre el plano

2 x - 2 y + z = 2

y el cilindro

y^{2} + z^{2} = 4

(Figura 9.9).

Determine una parametrización para

C

Fig. 9.9:

Solución.

Los puntos de $C$ son puntos $(x (t), y (t), z (t))$ en donde $y (t)$ y $z (t)$ están en la circunferencia $y^{2} + z^{2} = 4$ , es decir, podemos poner

$y (t) = 2 cos t$ y $z (t) = 2 sen t$ con $t \in [0, π / 2]$

Como

x (t)

está en el plano

2 x - 2 y + z = 2

, despejando:

x (t) = 1 - z (t) ∕ 2 + y (t),

ahora podemos escribir

C : r (t) = (1 + 2 cos t - sen t, 2 cos t, 2 sen t) con t \in [0, π / 2]

Observe que

r (0) = (3, 2, 0)

r (π / 2) = (0, 0, 2) .

Ejemplo280Parametrización

Considere la curva

C

de intersección entre el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1

y el plano

z = 2 - x

(Figura 9.10).
Parametrizar

C .

Fig. 9.10:

Solución.

Hay varias maneras de parametrizar $C .$ Veamos dos maneras.

1

Primera manera: Los puntos de

C

son puntos

(x (t), y (t), z (t))

con

x (t)

y (t)

sobre la circunfe-rencia

x^{2} + y^{2} = 1,

por lo tanto podemos poner

x (t) = cos t

y (t) = sen t

. Como

z (t)

está en el plano

z = 2 - x,

entonces

z (t) = 2 - x (t) .

Una parametrización podría ser

C : r (t) = (cos t, sen t, 2 - cos t) con t \in [0, π ∕ 2]

Observe que $r (0) = (1, 0, 1)$ y que $r (π ∕ 2) = (0, 1, 2) .$

2

Segunda manera: Ver los puntos de

C

con

x (t)

z (t)

sobre la recta

z = 2 - x

y (t)

en el el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1 .

Una parametrización se podría obtener tomando a

x = t

como paramétro:

- C : r (t) = (t, \sqrt{1 - t^{2}}, 2 - t) con t \in [0, 1]

La parametrización invierte la orientación, eso lo indicamos con $” - C”$ .

2.1Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: Parametrización de la curva $C = C_{1} + C_{2}$

${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) = (t, 2 t - t^{2}), t \in [0, 2] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (3 + cos t, sen t), t \in [π, 3 π / 2] \end{matrix}$
2.: Parametrización de la curva $C = C_{1} + C_{2}$

${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) = (1 + cos (t), sen (t)), t \in [π / 2, π] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (t, 2 - t), t \in [1, 2] \end{matrix}$

2.2Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: ${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, t^{2}, 0), t \in [0, 3] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (3, 9, t), t \in [0, 5] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & A + t (B - A), t \in [0, 1] con A = (3, 9, 5), B = (0, 12, 0) . \end{matrix}$
2.: ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, t), t \in [0, \sqrt{2}] \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [π / 4, π / 2] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & A + t (B - A), t \in [0, 1],, con A = (2, 0, 4), B = (0, 2, 0) . \\ C_{4} : r_{4} (t) & = & (t, 0, 4 t), t \in [0, 2] \end{matrix}$

2.3Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, 2 t, 0), t \in [0, 1] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (0, 0, t) t \in [0, 1] \\ - C_{3} : r_{3} (t) & = & (cos (t), 2 cos (t), sen (t)), t \in [0, \frac{π}{2}] \end{matrix}$
2.: ${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (2 cos (t), 0, 2 sen (t)), t \in [0, π / 2] \\ C_{2} : r_{3} (t) & = & (2 cos (t), 4 - 2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [0, π / 2] \\ - C_{3} : r_{2} (t) & = & (t, 4 - t, 0), t \in [0, 2] \\ - C_{4} : r_{2} (t) & = & (cos (t), 4 - cos (t), 1 + sen (t)), t \in [- π / 2, π / 2] \end{matrix}$

2.4Parametrizar la la curva de intersección entre

S_{1} : 1 = {(x - 1)}^{2} + y^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

(Figura 9.12)

Fig. 9.11:

Fig. 9.12:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.: $x (t) = 1 + cos (t), y (t) = sen (t)$
2.: Proyección $r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)$
3.: Curva de intersección $r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{4 - y^{2} (t) - x^{2} (t)}), t \in [0, 2 π]$

2.5Determine la curva de intersección

S_{1} : y^{2} = x^{2} + z^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} = 1

(Figura 9.14)

Fig. 9.13:

Fig. 9.14:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.: $x (t) = cos (t) y y (t) = sen (t)$
2.: Proyección $r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)$
3.: Curva de intersección $r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{{sen}^{2} (t) - {cos}^{2} (t)}), t \in [\frac{π}{4}, - \frac{π}{4}]$

2.6

Parametrizar la curva de intersección entre

S_{1} : 1 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

(Figura 9.16)

Fig. 9.15:

Fig. 9.16:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.

x (t) = 1 + cos (t) y y (t) = 1 + sen (t)

2.

Proyección

r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)

3.

Curva de intersección

r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{4 - y^{2} (t) - x^{2} (t)}), t \in [𝜃_{0}, 𝜃_{0}]

4.

Calculo del intervalo

[𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

(a)

Las circunferencias

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

se cortan en

\begin{matrix} P_{1} & = & (p_{1}, p_{2}) = (\frac{5 - \sqrt{7}}{4}, \frac{\sqrt{7} + 5}{4}) \\ Q_{2} & = & (q_{1}, q_{2}) = (\frac{5 + \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - \sqrt{7}}{4}) \end{matrix}

(b)

Ahora, como

x (t) = p_{1}

x (t) = q_{1}

, obtenemos los ángulos adecuados (en el 3er y 4to cuadrante)

𝜃_{0} = arccos (\frac{1}{4} (1 - \sqrt{7})) \approx 1.99483, 𝜃_{1} = 2 π - arccos (\frac{1}{4} (\sqrt{7} + 1)) \approx 5.85915

2.7

Parametrizar la curva de intersección entre

S_{1} : y = x^{2} + z^{2}

S_{2} : \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1

en el primer octante. (Figura 9.17)

Fig. 9.17:

Fig. 9.18:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.

La proyección es una hipérbola:

$y = x^{2} + z^{2} \cap \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1 ⟹ \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

2.

Nos intersa solo la rama "derecha" de la hipérbola:

x (t) = \sqrt{2} sinh (t) y y (t) = - 2 + \sqrt{2} cosh (t)

3.

Proyección

r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)

4.

Curva de intersección

r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{y (t) - x^{2} (t)}), t \in [𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

5.

Calculo del intervalo

[𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

. La proyección de la curva de intersección llega hasta el borde de la elipse, es decir,

y = 2

, entonces

- 2 + \sqrt{2} cosh (t) = 2 ⟹ t = arccosh (\sqrt{2})

Entonces $𝜃_{0} = 0$ y $𝜃_{1} = arccosh (\sqrt{2}) \approx 0.881374$ (pues estamos esolo en el 1er octante).

2.8

Parametrizar la curva de intersección entre

S_{1} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

y el cilindro con directriz

r = 1 + cos t, t \in [0, 2 π]

, en el primer octante. (Figura 9.17)

Fig. 9.19:

Se omite.

Elabore su respuesta. Si tiene dudas, consulte con su prefesor preferiblemente. También puede comparar su respuesta con una consulta a la IA, para este ejercicio particular

Consultar una solución paso a paso

✦ Consultar a Claude ⬡ Consultar a ChatGPT

La IA puede cometer errores; verifique los procedimientos y resultados.