Area como una integral de linea.

8. Área como una integral de línea.

Si $P (x, y) = 0$ y $Q (x, y) = x$ entonces $Q_{x} - P_{y} = 1,$ aplicando el teorema de Green (si se cumplen las condiciones) obtenemos otra manera para calcular el área de $A_{D}$ siendo la frontera de la región $D$ una curva orientada contra-reloj.

\oint_{C} 0 dx + x dy = \iint_{D} 1 dA = A_{D}

Lo cual puede ser conveniente si la integral de línea no ofrece gran dificultad.

Teorema 31.

Si $D$ es una región plana limitada por una curva $C,$ cerrada simple, regular a trozos y orientada contra-reloj, entonces el área de $D$ viene dada por

A_{D} = \oint_{C} x dy

Ejemplo233

Calcular el área de la región encerrada por la elipse $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .$

Solución. Parametrizamos la elipse con $r (t) = a cos t i + b sen t j$ con $t \in [0, 2 π [.$ Esta parametrización orienta la elipse contra-reloj. En este caso, $x = a cos t$ mientras que $y = b sen t$ y $dy = b cos t dt,$

A_{D} = \int_{C} x dy = \int_{0}^{2 π} a cos t \cdot b cos t dt = πab .

Ejemplo234(Área de un polígono simple).

Verifique que el área de un polígono simple de $n$ vértices ${(x_{0}, y_{0}), . . ., (x_{n - 1}, y_{n - 1})}$ es

A = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(x_{k + 1} + x_{k}) (y_{k + 1} - y_{k})}{2}

Asumimos que $(x_{0}, y_{0}) = (x_{n}, y_{n}) .$

Solución. El área del polígono es, por el teorema de Green en el plano,

A_{P} = \oint_{C} x dy = \iint_{D} 1 dA

Aquí $C = C_{1} + C_{2} + . . . + C_{n - 1}$ y cada segmento $C_{i}$ está parametrizado por

r_{i} (t) = ((x_{k + 1} - x_{k}) t + x_{k}, (y_{k + 1} - y_{k}) t + y_{k}) con t \in [0, 1],

entonces,

A_{P} = \oint_{C} x dy = \sum_{k = 0}^{n - 1} \oint_{C_{i}} (y_{k + 1} - y_{k}) [(x_{k + 1} - x_{k}) t + x_{k}] dt = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(x_{k + 1} + x_{k}) (y_{k + 1} - y_{k})}{2}