Ejercicios

7.1

Sea

F

un campo vectorial dado por

F (x, y) = (x + y) i - (x^{2} + y^{2}) j .

La curva

C

es la frontera del trapecio limitado por las curvas

y = 0,

x = 1,

x = 3

y

y = x

como se muestra en la figura.

1: Calcular la integral $\int_{C} F \cdot d r$ usando el teorema de Green.

$- \frac{64}{3}$
2: Calcular la integral $\int_{C} F \cdot d r$ sin utilizar el teorema de Green.
$\int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r + \int_{C_{3}} F \cdot d r + \int_{C_{4}} F \cdot d r = 4 - 36 + 28 ∕ 3 + 4 ∕ 3 = - \frac{64}{3}$

7.2

Considere el campo vectorial

F (x, y) = x i + (x + y^{2}) j .

Calcular $\int_{C} F \cdot d r$ donde $C = C_{1} + C_{2}$ tal y como se muestra en la figura a la derecha.

Como se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Green en el plano, excepto la orientación de la curva, entonces

$\begin{matrix} \end{matrix}$

7.3

Considere el campo vectorial

F (x, y, z) = y i + x^{2} j

Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ donde $C$ es la curva que se muestra en la figura a la derecha

Por el teorema de Green:

\begin{array}{rcl} \int_{nC} F \cdot d r & = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2} + 1} (\frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y}) dydx \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2} + 1} (2 x - 1) dydx \\ = & \int_{0}^{1} (2 x - 1) (x^{2} + 1) dx = \frac{1}{6} . \end{array}

7.4

Calcule la integral

\int_{C} F \cdot d r

donde

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}, y

y

F (x, y) = (x y^{2} + \sqrt{2 + cos x}) i + (y x^{2} - y e^{sen y}) j

7.5

Calcule

\int_{C} (4 y + arctan (x ∕ 5) dx + (x^{2} + ln (y + 1)) dy

donde

C

es el camino representado en la figura a la derecha.

Se omite