Teorema de Green (en el plano).

7. Teorema de Green (en el plano).

El siguiente teorema, llamado “Teorema de Green en el plano”, aplica para regiones planas limitadas por curvas cerradas y simples, regulares a trozos. Una idea intuitiva, en términos de "circulación", se puede ver en la sección .

Teorema 30 — Teorema de Green en el plano.

Sean $P$ y $Q$ campos escalares derivables con continuidad en un conjunto abierto $S$ del plano $XY .$ Sea $C$ una curva simple cerrada regular a trozos y sea $D$ la región encerrada por $C$ (es decir, $C = ∂D$ ). Si $D$ está contenida en $S,$ se tiene la identidad

\oint_{C} P dx + Q dy = \iint_{D} \frac{\partial Q}{∂x} - \frac{\partial P}{∂y} dA

donde

C

es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj.

•Intuitivamente,

C

es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj si al caminar a lo largo de

C

la región

D

está siempre a la izquierda. Notar que

C = ∂D

indica que

C

es la frontera de

D .

Ejemplo230

Calcular

\int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy

C

es la curva de la figura.

Solución.

En este caso, $P (x, y) = y^{2}$ y $Q (x, y) = x^{2} .$ Como se cumplen las condiciones del teorema de Green entonces,

\begin{array}{rcl} \int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy & = & \iint_{D} \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y} dA \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} 2 x - 2 y dy dx \\ = & \int_{0}^{1} 2 x^{3} - x^{4} dx = \frac{3}{10} \end{array}

Figura 8.26: Curva

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3} .

Ejemplo231

Calcular

\int_{C} (x + y) dx + (3 x + arctan y) dy

C

es la curva de la figura.

Solución. En este ejemplo,

P (x, y) = x + y

Q (x, y) = 3 x + arctan (y) .

Como se cumplen las condiciones del teorema de Green, entonces

\begin{array}{rcl} \int_{C} (x + y) dx + (3 x + arctan y) dy & = & \iint_{D} \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y} dA \\ = & \int_{- 1}^{1} \int_{x^{2} - 1}^{\frac{3 - 3 x}{2}} 3 - 1 dy dx \\ = & \int_{- 1}^{1} 5 - 3 x - 2 x^{2} dx = \frac{26}{3} \end{array}

Ejemplo232

Calcular

\int_{C} (x + arcsen x) dx + (2 x + ln (y^{2} - 3)) dy

C

es la curva de la figura.
Solución. En este ejemplo,

P (x, y) = x + arcsen x

Q (x, y) = 2 x + ln (y^{2} - 3) .

Como se cumplen las condiciones del teorema de Green podemos poner

\begin{array}{rcl} \int_{C} (x + arcsen x) dx + (2 x + ln (y^{2} - 3)) dy & = & \iint_{D} \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y} dA \\ = & \int_{- 2}^{2} \int_{1 - x^{2} ∕ 4}^{4 - x^{2}} 2 dy dx \\ = & \int_{- 2}^{2} 6 - \frac{3 x^{2}}{2} dx = 16 . \end{array}