(a)

Como Rot$F=(0,0,0)$, entonces $F$ es conservativo sobre cualquier región simplemente conexa donde $z\ne 0.$

(b)

$\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\varphi =F⟹\begin{array}{ccccc}\varphi \hfill & \hfill =\hfill & \int 2x+5\mathit{dx}\hfill & \hfill =\hfill & x^2+5x+K_1(y,z)\hfill \\ \varphi \hfill & \hfill =\hfill & \int 3y^2\mathit{dy}\hfill & \hfill =\hfill & y^3+K_2(x,z)\hfill \\ \varphi \hfill & \hfill =\hfill & \int {\displaystyle \frac{1}{z}}\mathit{dz}\hfill & \hfill =\hfill & \text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|z|+K_3(x,y)\hfill \end{array}⟹\varphi (x,y,z)=x^2+5x+y^3+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z.$

Luego, ${\int }_{C}F\cdot dr=\varphi (B)-\varphi (A)=6-1=5$

(c)

Como $F$ es conservativo en regiones simplemente conexas, donde $z$ no se anula, podemos tomar el camino $C^{\prime }=C_1+C_2$ para integrar.

$\begin{array}{ccc}\hfill -C_1& \hfill :\hfill & r_1(t)=(0,t,1)\text{ con }t\in [0,1].r_1^{\prime }(t)=(0,1,0)\hfill \\ \hfill \\ \hfill C_2& \hfill :\hfill & r_2(t)=(t,0,1)\text{ con }t\in [0,1].r_2^{\prime }(t)=(1,0,0)\hfill \end{array}$

Entonces,
${\int }_{C^{\prime }}F\cdot dr=-{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1(5,3t^2,1)\cdot (0,1,0)\mathit{dt}+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1(2t+5,0,1)\cdot (1,0,0)\mathit{dt}=-1+6=5$

1.

$$\begin{array}{rcll}\text{ Rot }F=\left|\begin{array}{ccc}\hfill i\hfill & \hfill j\hfill & \hfill k\hfill \\ \hfill \frac{\partial }{\mathit{\partial x}}\hfill & \hfill \frac{\partial }{\mathit{\partial y}}\hfill & \hfill \frac{\partial }{\mathit{\partial z}}\hfill \end{array}\right|& =& (x-x)i+(-y+y)j& \\ & & +(z+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})+\mathit{xy}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})-(z+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})+\mathit{xy}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})))k& \\ & & & \\ & =& (0,0,0)& \\ & & & \end{array}$$

2.

Sea $G(x,y,z)$ una función potencial, así

•$G_x(x,y,z)=\mathit{yz}+y\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})⟹G(x,y,z)=\mathit{xyz}+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})+C_1(y,z)$

•$\frac{\partial }{\mathit{\partial y}}(\mathit{xyz}+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})+C_1(y,z))=\mathit{xz}+x\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})⟹{C_1}_y(y,z)=0⟹C_1(y,z)=C_2(z)$

•$\frac{\partial }{\mathit{\partial z}}(\mathit{xyz}+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})+C_2(z))=\mathit{xy}⟹{C_2}^{\prime }(z)=0⟹C_2(z)=K$

Así, $G(x,y,z)=\mathit{xyz}+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})+K$, por lo que

$${\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C}F\cdot dr=G(0,0,0)-G(2,1,2)=K-(4+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2)+K)=-4-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2).$$

•Se seguirá la siguiente ruta

$-C_1:r_1(t)=(2,1,t),t\in [0,2]$

$-C_2:r_2(t)=(t,1,0),t\in [0,2]$

$-C_3:r_3(t)=(0,t,0),t\in [0,1]$

Así

$$\begin{array}{rcll}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C}F\cdot dr& =& -{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2(t+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2),2t+2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2),2)\cdot (0,0,t)\mathit{dt}-{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t,t\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t,t)\cdot (1,0,0)\mathit{dt}-{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^1(t,0,0)\cdot (0,1,0)\mathit{dt}& \\ & =& -{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2}2t\mathit{dt}-{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t\mathit{dt}-0& \\ & =& -t^2{|}_0^2-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t{|}_0^2=-4-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2)& \\ & & & \end{array}$$

•$F=(P,Q,R)$ es conservativo pues $P_y=z^2+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi -y)=Q_x,$ $r_y=2\mathit{xz}=Q_z$ y $r_x=2\mathit{yz}=P_z.$

•una función potencial es $\varphi (x,y,z)=\mathit{xy}{z}^2+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi -y)+K.$ Por lo tanto

1.

Si $y=t,$ $C_2:r_2(t)=(t^2+1,t,2-t),$ $t\in [0,2]$

$s={\int }_{C}1\cdot \mathit{ds}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2\sqrt{4t^2+2}\mathit{dt}\approx 5.12401$

Si $x=t⟹s={\int }_1^5\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2(t-1)}}+1}\mathit{dt}.$ Impropia convergente. Singularidad en $t=1$

2.

.

Primera manera: Proyectando sobre $YZ$
$S:x=y^2+1.$ $N_1=(1,-2y,0)$

$\begin{array}{ccc}{\iint }_{S}F\cdot N\mathit{dS}\hfill & =\hfill & {\int }_0^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2-y}(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z,5,\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)\cdot (1,-2y,0)\mathit{dz}\mathit{dy}\hfill \\ \\ \hfill & =\hfill & {\int }_0^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2-y}(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y^2+1)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z-10y)\mathit{dz}\mathit{dy}\hfill \\ \\ \hfill & =\hfill & {\int }_0^2{-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y^2+1)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z-10\mathit{yz}|}_0^{2-y}\mathit{dy}\hfill \\ \\ \hfill & =\hfill & {\int }_0^2-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y^2+1)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2-y)-10y(2-y)+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y^2+1)\mathit{dy}\hfill \\ \end{array}$

Segunda manera: Proyectando sobre $\mathit{XZ}$
$S:y=\sqrt{x-1}.$ $N_2=\left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x-1}}},1,0\right).$

Este vector $N_2$ es opuesto a $N_1,$ por tanto la integral de flujo quedará con signo contrario. La integral es impropia en ambos órdenes "$\mathit{dzdx}$" y "$\mathit{dxdz}$". Además en el orden "$\mathit{dxdz}$" aparecen funciones sin primitiva elemental.

$\left(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(z),5,\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(z)\right)\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{x-1}}},1,0\right)=5-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(z)}{2\sqrt{x-1}}}$

$\begin{array}{ccc}{\iint }_{S}F\cdot N\mathit{dS}\hfill & =\hfill & {\int }_1^5{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2-\sqrt{x-1}}\left(5-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(z)}{2\sqrt{x-1}}}\right)\mathit{dz}\mathit{dx}\hfill \\ \\ \hfill & =\hfill & {\int }_1^5\left(5\left(2-\sqrt{x-1}\right)+{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(2-\sqrt{x-1}\right)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{2\sqrt{x-1}}}-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{2\sqrt{x-1}}}\right)\mathit{dx}\hfill \\ \\ \hfill & \approx \hfill & 13.1613\hfill \\ \end{array}$

3.

$F$ es conservativo pues Rot $F=(0,0,0)$. Podemos aplicar "Independencia del camino" o resolver la integral con una función potencial.

Primera manera: Resolver la integral con una función potencial

$\nabla <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\varphi =F⟹\{\begin{array}{ccc}{\varphi }_x=\int \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z\mathit{dx}\hfill & \hfill =\hfill & \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z+K_1(y,z)\hfill \\ \\ {\varphi }_y=\int 5\mathit{dy}\hfill & \hfill =\hfill & 5y+K_2(x,z)\hfill \\ \\ {\varphi }_z=\int \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\mathit{dz}\hfill & \hfill =\hfill & \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z+K_3(x,y)\hfill \\ \end{array}⟹\varphi (x,y,z)=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z+5y+K$

${\int }_{C}F\cdot \mathrm{dr}=\varphi (1,0,2)-\varphi (1,0,0)=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(1)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2)\approx 0.765147$

Segunda manera: Usar independencia del camino.

Podemos usar el camino $C^{\prime }:(1,0,t),t\in [0,2].$ Este camino es el segmento que une el punto $(1,0,0)$ con el punto $(1,0,2).$

${\int }_{C}F\cdot \mathrm{dr}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(1)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t,5,\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->1)\cdot (0,0,1)\mathit{dt}={\text{∫ <!-- nolimits -->}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}_0^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(1)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->t\mathit{dt}=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(1)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2)\approx 0.765147$

Tercera manera: Resolver la integral "a pie"

$C:\{\begin{array}{ccc}\hfill C_1:r_1(t)& \hfill =\hfill & (t^2+1,t,0),t\in [0,2]\hfill \\ \\ \hfill -C_2:r_2(t)& \hfill =\hfill & (t^2+1,t,2-t),t\in [0,2]\hfill \\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc}{\int }_{C}F\cdot \mathrm{dr}\hfill & \hfill =\hfill & {\int }_{C_1}F\cdot \mathrm{dr}+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{C_2}F\cdot \mathrm{dr}\hfill \\ \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int }_0^2\left(0,5,\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(t^2+1\right)\right)\cdot (2t,1,0)\mathit{dt}-{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2\left(\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2-t)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(t^2+1\right),5,\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(t^2+1\right)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2-t)\right)\cdot (2t,1,-1)\mathit{dt}\hfill \\ \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int }_0^{2}5\mathit{dt}-{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2\left(2t\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2-t)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(t^2+1\right)+5-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(t^2+1\right)\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2-t)\right)\mathit{dt}\hfill \\ \end{array}$