Campos conservativos. Independencia de la trayectoria.

6. Campos conservativos. Independencia de la trayectoria.

Una condición para que la integral de línea no dependa de la trayectoria que une a $A$ con $B$ es que exista $φ$ tal que $F = \nabla φ$ con $φ \in C^{1} .$ En este caso podemos calcular la integral de línea usando cualquier camino que una $A$ con $B$ o también, usando el Teorema Fundamental para la integral de línea.

Definición 29.

Un conjunto $D \subset ℝ^{n}$ se dice conexo si todo par de puntos de $D$ se pueden unir con una curva regular a trozos contenida en $D .$ Es decir, $D$ es de "una sola pieza".

Un conjunto $D \subset ℝ^{n}$ abierto y conexo se dice simplemente conexo si toda curva cerrada simple $C$ en $D,$ encierra una región que está también en $D .$ Es decir, los conjuntos simplemente conexos no tienen "agujeros".

Un conjunto $D \subset ℝ^{n}$ se dice convexo si para todo par de puntos $A, B \in D,$ el segmento de recta que une $A$ con $B$ está contenido en $D,$ es decir, ${A + t (B - A) : t \in [0, 1]} \subset D .$

Definición 30.

Sea $F$ un campo vectorial definido sobre un conjunto abierto $U .$ Si $φ$ es una función diferenciable sobre $U$ tal que $F = \nabla φ,$ decimos que $φ$ es una función potencial de $F .$ También decimos que $F$ es conservativo.

U

es conexo y

F

conservativo, las funciones potenciales de

F

son iguales salvo constantes. También se puede mostrar que si

F = (P, Q)

y si

P_{y} \neq Q_{x},

entonces

F

no es conservativo (no tiene función potencial). La condición

P_{y} = Q_{x}

es solo necesaria para que

F

sea conservativo. La condición es necesaria y suficiente si

U

es simplemente conexo² .

Teorema 27 — (Test de derivadas mixtas)..

Sea $F = P i + Q j$ es de clase $C^{1}$ en un conjunto simplemente conexo $D$ del plano. Decimos que $F$ es conservativo sii

\frac{\partial P}{∂y} = \frac{\partial Q}{∂x}

Sea

F = P i + Q j + R k

es de clase

C^{1}

en un conjunto simplemente conexo

D

del espacio. Decimos que

F

es conservativo sii

\frac{\partial P}{∂y} = \frac{\partial Q}{∂x}, \frac{\partial P}{∂z} = \frac{\partial R}{∂x}, \frac{\partial Q}{∂z} = \frac{\partial R}{∂y}

Teorema 28 — (Teorema Fundamental para integrales de línea)..

Sea $φ : D \subset ℝ^{n} \to ℝ$ una función de clase $C^{1}$ donde $D$ es conexo y abierto. Sea $C$ una curva regular a trozos en $D$ parametrizada por $r$ y sean $A = r (a)$ y $B = r (b);$ se tiene

$\int_{C} \nabla φ \cdot d r = φ (B) - φ (A)$

Teorema 29 — (Campos conservativos)..

Sea $D$ simplemente conexo. Sea $C$ una curva orientada y simple contenida en $D$ y parametrizada por $r .$ Suponemos que $C$ inicia en $A$ y termina en $B .$ Sea $F$ un campo definido en $D .$

• $F$ es conservativo $⟺$ existe $φ$ de clase $C^{1}$ tal que $F = \nabla φ,$ sobre $D .$

•Si $F$ es conservativo, existe $φ$ de clase $C^{1}$ tal que $\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A)$

•(Independencia del camino) Si $F$ es conservativo, $\int_{C} F \cdot d r = \int_{C^{'}} F \cdot d r$ donde $C^{'}$ es cualquier curva, contenida en $D,$ regular a trozos y que va de $A$ a $B .$

• $F$ es conservativo $⟺$ $\int_{C} F \cdot d r = 0$ para cualquier curva cerrada simple $C$ contenida en $D$ .

Observe que si

\int_{C} F \cdot d r = 0

para alguna curva cerrada simple

C,

esto no significa que

F

sea conservativo. El la parte 3. del ejemplo tenemos un campo con integral nula sobre una elipse pero que no es conservativo.

Ejemplo228

Sea $F (x, y, z) = (2 x ln (yz) - 5 y e^{x}) i + (\frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x}) j + (\frac{x^{2}}{z} + 2 z) k$ y sea $C$ una curva simple que une $A = (2, 2, 1)$ con $B = (3, 1, e) .$ Calcule $\int_{C} F \cdot d r$ .

Solución. $F$ es de clase $C^{1}$ en la región $D = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0} .$ Esta región es simplemente conexa.

El campo es conservativo en esta región pues,

\frac{\partial P}{∂y} = - 5 e^{x} + 2 x ∕ y = \frac{\partial Q}{∂x}, \frac{\partial P}{∂z} = 2 x ∕ z = \frac{\partial R}{∂x}, \frac{\partial Q}{∂z} = 0 = \frac{\partial R}{∂y}

Luego, podemos calcular la integral de línea usando un camino $C^{'}$ en $D$ que una $A$ con $B$ o también podemos calcular una función potencial $φ$ y usar el teorema fundamental para integrales de línea.

En este caso vamos a calcular la integral usando una función potencial $φ$ . Como $\nabla φ = F$ entonces $φ_{x} = P, φ_{y} = Q,$ y $φ_{z} = R .$

\begin{matrix} φ_{x} & = & 2 x ln (yz) - 5 y e^{x} & ⟹ & φ (x, y, z) = \int 2 x ln (yz) - 5 y e^{x} dx = x^{2} ln (yz) - 5 y e^{x} + K_{1} (y, z) . \\ φ_{y} & = & \frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x} & ⟹ & φ (x, y, z) = \int \frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x} dy = x^{2} ln y - 5 y e^{x} + K_{2} (x, z) . \\ φ_{z} & = & \frac{x^{2}}{z} + 2 z & ⟹ & φ (x, y, z) = \int \frac{x^{2}}{z} + 2 z dz = x^{2} ln z + z^{2} + K_{3} (x, y) . \end{matrix}

Observemos que

x^{2} ln y + x^{2} ln z = x^{2} ln (yz) .

Recolectando primitivas podemos adivinar que

φ (x, y, z) = x^{2} ln (yz) - 5 y e^{x} + z^{2} + K

lo cual podemos aceptar después de verificar que $φ_{x} = P, φ_{y} = Q,$ y $φ_{z} = R .$ Finalmente,

\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A) = - 5 e^{3} + 11 e^{2} + 8 - 4 log (2) \approx - 13.9207 .

Ejemplo229

Considere el campo de fuerzas

F (x, y, z) = 4 x e^{z} i + cos (y) j + 2 x^{2} e^{z} k .

Sea

C

la curva de la figura. Calcule

\int_{C} F \cdot d r .

Solución.

F

es de clase

C^{1}

sobre

D = ℝ^{3}

que es simplemente conexa. Dichosamente no tenemos que integrar sobre la curva

C

pues

F

es conservativo. En efecto

\frac{\partial P}{∂y} = 0 = \frac{\partial Q}{∂x}, \frac{\partial P}{∂z} = 4 x e^{z} = \frac{\partial R}{∂x}, y \frac{\partial Q}{∂z} = 0 = \frac{\partial R}{∂y}

Figura 8.23: Curva

C .

En este ejemplo vamos a calcular la integral de dos maneras distintas: usando una función potencial y también usando un camino

C^{'} .

Primer Manera: Con un camino

C^{'}

que inicia en

(2, 0, 4)

y termina en

(0, 0, 0) .

El camino que hemos escogido se ve en la figura.

{\begin{matrix} - C_{1} & : & r_{1} (t) = (t, 0, 4) con t \in [0, 2] \\ - C_{2} & : & r_{2} (t) = (0, 0, t) con t \in [0, 4] \end{matrix}

\begin{array}{rcl} \int_{C^{'}} F \cdot d r & = & \int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r \\ = & - \int_{0}^{2} F (t, 0, 4) \cdot r_{1}^{'} (t) dt - \int_{0}^{4} F (0, 0, t) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{0}^{2} (4 e^{4} t, 1, 2 e^{4} t^{2}) \cdot (1, 0, 0) dt - \int_{0}^{4} (0, 1, 0) \cdot (0, 0, 1) dt \\ = & - \int_{0}^{2} 4 t e^{4} dt = - 8 e^{4} . \end{array}

Figura 8.24: Curva

C^{'} = C_{1} \cup C_{2} .

Segunda Manera: Con una función potencial.

${\begin{matrix} φ_{x} & = & 4 x e^{z} & ⟹ & φ (x, y, z) = \int 4 x e^{z} dx = 2 x^{2} e^{z} + K_{1} (y, z), \\ φ_{y} & = & cos (y) & ⟹ & φ (x, y, z) = \int cos y dy = sen y + K_{2} (x, z), ⟹ φ (x, y, z) = 2 x^{2} e^{z} + sen y + C \\ φ_{z} & = & 2 x^{2} e^{z} & ⟹ & φ (x, y, z) = \int 2 x^{2} e^{z} dz = 2 x^{2} e^{z} + K_{3} (x, y) . \end{matrix}$

Finalmente, $\int_{C} F \cdot d r = φ (0, 0, 0) - φ (2, 0, 4) = - 8 e^{4} .$

La condición "simplemente conexo" para que $F$ sea conservativo. Sea $F (x, y) = (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}})$ definido en $ℝ^{2} - {(0, 0)}$ . Se verifica que $P_{y} = Q_{x}$ pero

\int_{C} F \cdot dr = 2 π si C es la circunferencia x^{2} + y^{2} = 1,

lo cual indica que

F

no tiene función potencial.

Lo mismo pasa si consideramos $F (x, y, z) = (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}, 0)$ para $ℝ^{3} - {(0, 0, 0)}$

El problema en principio es que se requiere que $F$ esté definido en una región simplemente conexa, pero la explicación detallada de este fenomeno con el campo $F$ es una cuestión topológica que tiene que ver con homotopias. Un artículo sencillo de leer sobre esto, lo puede encontrar en V. Pati, "How Topology Governs Analysis"