Proyeccion (ortogonal) de un solido simple

11. Proyección (ortogonal) de un sólido simple

Proyección ortogonal de un punto. La proyección ortogonal de un punto $P$ en un plano $Π$ es el punto en este plano cuya distancia (euclidiana) a $P$ es mínima. Intuitivamente corresponde a la “sombra” del punto proyectada perpendicularmente sobre el plano $Π .$ En la figura que sigue se muestra la proyección de un punto $P$ sobre cada uno de los planos $XY,$ $Y Z$ y $XZ .$

Proyección sobre $XY$	Proyección sobre $YZ$	Proyección sobre $XZ$

Figura 2.55: Proyección ortogonal sobre planos coordenados

Proyección ortogonal de una superficie

La proyección perpendicular de una superficie $S$ sobre cada los planos coordenados, en general se obtiene proyectando perpendicularmente, sobre el plano de proyección, sus "bordes" (rectas o curvas de intersección).

Proyecciones de

S

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En la práctica nos interesa describir la proyección de manera analítica porque, en este curso, estas proyecciones van a ser "regiones de integración".

En general, para obtener la proyección sobre uno de los planos $XY,$ $XZ$ o $Y Z;$ primero proyectamos ortogonalmente, algunos puntos de la superificie, sobre el plano de elección. La ecuación de la proyección de las curvas entre estos puntos se puede determinar usando las ecuaciones de las superficies y determinar una ecuación para la curva d eproyección.

Ejemplo52Proyecciones de una superficie

Consideremos la superficie $S : x^{2} + z^{2} = 4$ limitada por el plano de ecuación $x + y = 5,$ en el primer octante.

En el widget se puede visualizar las proyecciones de esta superficie sobre cada plano.

Hacer clic en el botón ANIMAR para ver todo el panorama.

Proyecciones de

S

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Análisis de las proyecciones

1

Los "vértices" de esta superficie son

V_{1} = (2, 0, 0), V_{2} = (2, 3, 0), V_{3} = (0, 5, 2)

V_{4} = (0, 0, 2)

2

Proyección sobre el plano

XY

(a): Proyección vértices: $V_{1} = (2, 0, 0), V_{2} = (2, 3, 0), V_{3} = (0, 5, 0)$ y $V_{4} = (0, 0, 0)$ .
(b): La curva directriz $x^{2} + z^{2} = 4$ se proyecta perpendicularmente sobre el segmento $[0, 2]$ en el eje $X$
(c): La curva de intersección entre el cilindro $x^{2} + z^{2} = 4$ y el plano $x + y = 5$ se proyecta sobre la recta $x + y = 5$ (este plano es perpendicular al plano $XY$ )

3

Proyección sobre el plano

XZ

La superficie $S : x^{2} + y^{2} = 4$ es perpendicular a este plano, así que la proyección es la curva directriz $x^{2} + y^{2} = 4$ .

4

Proyección sobre el plano

Y Z

(a)

La proyección de los vértices es

V_{1} = (0, 0, 0), V_{2} = (0, 3, 0), V_{3} = (0, 5, 2)

V_{4} = (0, 0, 2)

(b)

La directriz

x^{2} + z^{2} = 4

se proyecta sobre el segmento

[0, 2]

en el eje

Z

(c)

Con la intersección entre el plano y el cilindro obtenemos la curva de proyección

x^{2} + z^{2} = 4 \cap x + y = 5 ⟹ C^{'} : {(5 - y)}^{2} + z^{2} = 4 (sustituyendo x = 5 - y)

Es decir, la curva de intesección es un trozo de elipse que va de $(0, 3, 0)$ hasta $(0, 5, 2)$

Proyección de un sólido.

En el caso de sólidos simples, la proyección se determina proyectando las superficies (posiblemente no todas) que lo limitan.

Proyecciones del sólido

Q

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Ejemplo53Análisis de las proyecciones de un sólido

Consideremos el sólido $Q$ limitado por la superficie $S_{1} : x^{2} + z^{2} = 4$ y los planos ecuación $S_{2} : x + y = 5,$ $S_{3} : z = 0,$ $S_{4} : z = 2$ y $S_{5} : y = 0;$

Análisis de las proyecciones

1

Para proyectar el sólido usamos los vértices

V_{1} = (5, 0, 0), V_{2} = (2, 0, 0), V_{3} = (2, 3, 0),

V_{4} = (0, 5, 2),

(0, 0, 2)

(5, 0, 2) .

2

Proyección sobre el plano

XY

(a): Vértices $V_{1} = (0, 0, 0), V_{2} = (2, 0, 0), V_{3} = (2, 3, 0),$ $V_{4} = (0, 5, 0),$ $(0, 0, 0)$ y $(5, 0, 0) .$
(b): El plano $x + y = 5$ se proyecta sobre es misma recta (el plano es ortogonal al plano $XY$ ).

3

Proyección sobre el plano

XZ

(a): Vértices $V_{1} = (5, 0, 0), V_{2} = (2, 0, 0), V_{3} = (2, 0, 0),$ $V_{4} = (0, 0, 2),$ $(0, 0, 2)$ y $(5, 0, 0) .$
(b): La superficie $S : x^{2} + z^{2} = 4$ es un cilindro, su proyección sobre este plano es la curva que le dio origen. El plano $z = 2$ proyecta sobre la recta $z = 2$ en el plano $y = 0 .$

4

Proyección sobre el plano

Y Z

(a)

Vértices

V_{1} = (0, 0, 0), V_{2} = (0, 0, 0), V_{3} = (0, 3, 0),

V_{4} = (0, 5, 2),

(0, 0, 2)

(0, 0, 2) .

(b)

Para determinar la ecuación de

C,

de intersección entre el cilindro

S : x^{2} + z^{2} = 4

y el plano

x + y = 5,

calculamos la curva de intersección

x^{2} + z^{2} = 4 \cap x + y = 5 ⟹ C : {(5 - y)}^{2} + z^{2} = 4

Es decir, un trozo de elipse que va de $(0, 3, 0)$ a $(0, 5, 2)$ .

12.1

Dibujar las proyecciones del sólido

Q

si este sólido está limitado por

x^{2} + y^{2} = 4;

z + y = 2; y = 1; x = 0; y = 0

z = 0,

en el I octante

Figura 2.56:

Proyecciones de

Q .

Proyección sobre $XY$	Proyección sobre $Y Z$	Proyección sobre $XZ$

12.2

Dibujar las proyecciones del sólido

Q

si este sólido está limitado por las superficies

y = 2 - 2 x^{2};

y = 1 - x^{2}; y + 2 z = 2; x = 0

z = 0;

en el I octante.

Figura 2.57:

Proyecciones de

Q .

Proyección sobre $XY$	Proyección sobre $Y Z$	Proyección sobre $XZ$

12.3

Dibujar las proyecciones del sólido

Q

si este sólido está limitado por la superficie

y^{2} + z^{2} = 4

y los planos

2 x - 2 y + z = 2;

x = 0

z = 0 .

Proyecciones de

Q .

1.

Proyección sobre

XY

La curva $C_{1}$ se proyecta en la curva $C$ en el plano $XY$ La curva $C_{1}$ es la intersección de las superficies $y^{2} + z^{2} = 4$ y $2 x - 2 y + z = 2;$ para calcular su ecuación eliminamos $z,$

{\begin{matrix} y^{2} + z^{2} & = & 1 \\ ⟹ y^{2} + {(2 - 2 x + 2 y)}^{2} = 4 (una elipse con rotación) \\ 2 x - 2 y + z & = & 2 \end{matrix}

2.

Proyección sobre

XZ

La curva $C_{1}$ se proyecta en la curva $C$ en el plano $XZ .$ La curva $C_{1}$ es la intersección de las superficies $y^{2} + z^{2} = 1$ y $2 x - 2 y + z = 2,$

{\begin{matrix} y^{2} + z^{2} & = & 1 \\ ⟹ {(- 1 + \frac{z}{2} + x)}^{2} + z^{2} = 1 (una elipse con rotación) \\ 2 x - 2 y + z & = & 2 \end{matrix}