Solidos simples

9. Sólidos simples

Los sólidos simples se describen por medio de sus "superficies frontera", es decir, se describen por las superficies que lo limitan. Un sólido simple es un conjunto compacto limitado por una o varias superficies orientables (de dos caras), sin hoyos, con borde y sin traslapes; en el interior del sólido no hay superficies ni ‘burbujas’ (la frontera del sólido es tal que divide el espacio en dos partes: Interior y exterior).

Sólido simple

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

Visualizando curvas de intersección entre superficies y sólidos simples

Para entrenar nuestras capacidades de visualización 3D vamos a realizar dibujos de sólidos simples.

1: Para dibujar es esencial visualizar las curvas de intersección entre las superficies que limitan el sólido simple.
2: A veces se especifica que el sólido está limitado por algunas superficies pero que vive en el I cuadrante, esto significa que posiblemente el sólido este limitado por algunos o todos los planos $XY$ , $XZ$ y $Y Z$ (forman parte de sus paredes o el "fondo").
3: A veces en un sólido no se indica el octante, porque el sólido queda bien limitado de manera inequívoca por las superficies que lo limitan.

La idea general se puede ver en el siguiente widget

Próposito. Visualizar el proceso de obtener un sólido simple limitado por cilindros y planos. Con el slider Corte del plano visualizamos la curva de intersección entre un plano y un cilindro o entre cilindros. Finalmente el botón "Sólido limpio" no da el sólido limitado por las superficies.

En la lista que sigue se detallan cada sólido y las superficies que los limitan.

1: Sólido $S_{1}$ limitado por el cilindro $S : z = 4 - x^{2}$ y el plano $x + y = 4$ , en el primer octante
2: Sólido $S_{2}$ limitado por el cilindro $S : x^{2} + z^{2} = 16$ y el plano $y + z = 4$ , en el primer octante
3: Sólido $S_{3}$ limitado por el cilindro ${(y - 2)}^{2} = x - 2$ , los planos $x + z = 6$ , $y = 4$ y los planos coordenados $x = 0$ (plano $Y Z$ ), $y = 0$ (plano $XZ$ ).
4: Sólido $S_{4}$ limitado por el cilindro $x^{2} + y^{2} = 4$ y los planos $z - y = 3$ y $z = 0$ (plano $XY$ )
5: Sólido $S_{5}$ limitado por el cilindro $x^{2} + y^{2} = 16$ y el plano $\frac{2}{5} x - y + 2$ en el primer octante
6: Sólido $S_{6}$ limitado por los cilindros $x^{2} + y^{2} = 16$ , $2 x = z^{2}$ y el plano $z = 5$ en el primer octante.

Use el slider "Corte del Plano" para visualizar el corte de planos con cilindros y el botón "SÓLIDO LIMPIO" para ver el resulatdo final.

Puede girar el ambiente 3D con el ratón y usar el slider ZOOM para una mejor experiencia

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

En general, si dos superficies se cortan en una o varias curvas, una manera de bosquejar estas curvas es buscar algunos puntos de contacto. En los casos más sencillos, estos puntos los podemos localizar en los planos

XY,

XZ

Y Z

. En los ejemplos que siguen, estos “puntos-guía” se señalan con un punto rojo.

Ejemplo44Visualizar la intersección entre un plano y un cilindro

Consideremos la curva $C$ de intersección de la superficie $S_{1} : z = 1 - x^{2}$ y el plano $S_{2} : y = 3,$ en el primer octante.

Para dibujar esta curva, calculamos “dos puntos guía” para trazar la curva. Los puntos guía están en rojo en la figura. Son el punto de interseción entre las rectas $z = 1$ y $y = 3$ en el plano $Y Z$ y el punto de interseción entre las rectas $z = 1$ y $y = 3$ en el plano $XY$ La curva que queremos dibujar inicia en uno de estos puntos y termina en el otro.

Plano $y = 3$	Superficie $S_{1} : z = 1 - x^{2}$	Curva de intersección.

Ejemplo45

Consideremos la curva

C

de intersección entre la superficie

S_{1} : z = 4 - \frac{x^{2}}{4}

y el plano

S_{2} : x + y = 6

en el primer octante.

1: El plano $S_{2} : x + y = 6$ interseca a los ejes $X$ e $Y$ en $x = 6$ y $y = 6,$ respectivamente.
2: Los puntos-guía están en los planos $XY$ y $Y Z$
3: En el plano $XY$ el punto-guía se obtiene sustituyendo $x = 4$ en la ecuación de la recta $x + y = 6, z = 0;$ se obtiene $(4, 2, 0) .$
4: En el plano $Y Z$ el punto-guía es claramente $(0, 6, 4) .$

Figura 2.43: Curva de intersección

Ejemplo46

Consideremos la superficie $S_{1} : z = 1 - x^{2}$ y el plano $S_{2} : y + z = 2$ en el primer octante. Los puntos-guía son $(1, 2, 0)$ y $(0, 1, 1) .$ El punto $(0, 1, 1)$ se obtiene sustituyendo $z = 1$ en la ecuación de la recta $y + z = 2, x = 0 .$

Figura 2.44: Curva de intersección

——————————————————————-

Ejemplo47

Consideremos la curva de intersección entre la superficie $S_{1} : x^{2} + z^{2} = 9$ y el plano $S_{2} : y - x = - 2$ en el primer octante.

1: El corte del plano $S_{2} : y - x = - 2$ con el plano $XZ$ es la recta $x = 2$ (pues sobre este plano, $y = 0$ ).
2: Sustituyendo $x = 2$ en la ecuación $x^{2} + z^{2} = 9, y = 0;$ obtenemos el punto de intersección $(2, 0, \sqrt{5}) .$
3: El otro punto-guía se obtiene sustituyendo $x = 3$ en la ecuación del plano $S_{2} : y - x = - 2,$ este punto es $(3, 1, 0) .$

Figura 2.45: Curva de intersección

Ejemplo48

Consideremos las superficies $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 16,$ $S_{2} : 2 x - z^{2} = 0,$ en el primer octante.

Para dibujar la curva $C$ de intersercción en el primer octante, buscamos los puntos guía. En este caso estos puntos son $(0, 4, 0)$ y $(2, 0, \sqrt{8}) .$

Figura 2.46:

——————————————————————-

Dibujo de sólidos simples

Para dibujar sólidos simples determinamos las curvas de intersección entre las superficies que limitan al sólido, luego "recortamos y limpiamos", de acuerdo a las "paredes" que debería tener el sólido.

Sólido simple

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

Ambiguedades. Por ejemplo, el sólido

Q

limitado por

S_{1} z = 2 - x^{2};

S_{2} y = 3;

S_{3} x = 0;

S_{4} y = 0

S 5 : z = 0,

no es un sólido simple pues

x = 0

es una superficie interior. Si eliminamos esta superficie interior, si tendríamos un sólido simple.


Sólido $Q$ ( no simple) limitado por $S_{1} z = 2 - x^{2};$ $S_{2} y = 3;$ $S_{3} x = 0;$ $S_{4} y = 0$ y $S 5 : z = 0 .$	Sólido $Q$ simple, limitado por $z = 2 - x^{2};$ $y = 3;$ $y = 0$ y $z = 0,$

Los siguientes sólidos son una “variación” del sólido anterior, pero ahora se trata de sólidos simples. En particular muestran que la presencia de los planos "

x = 0, y = 0, z = 0

" no implica que el sólido esté en el primer octante, de hecho se pueden usar estos planos especificando que el sólido está en otro octante. Los dos sólido de la figura que sigue, están limitados por las mismas superficies, pero el de la izquierda está en el primer octante y el de la derecha está en el segundo octante.

Figura 2.47: Sólidos limitados por las mismas superficies, pero en distinto octante.

Ejemplo49

Dibujar el sólido $Q$ limitado por la superficie $S_{1} : z = 4 - x^{2}$ y el plano $S_{2} : x + y = 4;$ en el primer octante

Solución.

1: Dibujamos el cilindro $S_{1} : z = 4 - x^{2}$
2: Dibujamos el cilindro (plano) $S_{2} : x + y = 4;$
3: Podemos "tirar" la curva de intersección desde los puntos $(2, 2, 0)$ y $(0, 4, 4) .$
4: Como estamos en el primer octante, en este caso los planos $x = 0, y = 0$ y $z = 0$ son las otras superficies que limitan el sólido.

Figura 2.48: Sólido

Q

Ejemplo50

Dibujar el sólido $Q$ limitado por las superficies $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1;$ $S_{2} : x - z^{2} = 0$ y los planos $S_{3} z = 2 - x;$ $S_{4} x = 0$ y $S 5 : y = 0,$ en el primer octante.

Solución.

1: Dibujar primero la superficie $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$
2: Dibujamos el plano $z = 2 - x;$
3: Dibujamos $S_{2} : x - z^{2} = 0 .$ y limpiamos


Superficie $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ y plano $z = 2 - x$	Agregamos la superficie $S_{2} : x - z^{2} = 0 .$	Sólido $Q$

Ejemplo51

Dibuje el sólido $Q$ limitado por las superficies $S_{1} x^{2} + z^{2} = 4;$ $S_{2} y + x = 2;$ $S_{3} z = 4;$ y $S_{4} y = 0,$ $S 5 : x = 0,$ en el I octante.

Solución. Dibujamos los planos $S_{2} y + x = 2$ y $S_{3} z = 4;$ luego agregamos la otra superficie $S_{1} x^{2} + z^{2} = 4 .$


Planos $S_{2} y + x = 2;$ $S_{3} z = 4 .$	Agregamos la superficie $S_{1} x^{2} + z^{2} = 4 .$	Sólido $Q$

10.1 Dibuje el sólido

Q

limitado por las superficies

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 16,

S_{2} : \frac{2}{5} x - y + z = 2,

en el I octante.

Primero calculamos el par de puntos-guía en los que el plano

S_{2} : \frac{2}{5} x - y + z = 2

interseca al cilindro

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 16 .

En el plano $XZ$ el plano $S_{2}$ corta la recta $x = 4$ del cilindro $S_{1} .$ Entonces, como $x = 4$ y $y = 0$ tenemos (sustituyendo en la ecuación de $S_{2}$ ) $z = 2 ∕ 5 .$ Similarmente, en el plano $Y Z$ el punto de contacto se obtiene en la intersección de la recta $y = 4$ y la recta $- y + z = 2 .$

De esta manera, los puntos de primer contacto entre el cilindro y el plano, en el I octante, son los puntos $(4, 0, 2 ∕ 5)$ y $(0, 4, 6) .$

Figura 2.49: Sólido

Q

10.2 Dibujar el sólido

Q

limitado por las superficies

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 4 z;

S_{2} : z + x = 4; S_{3} : y = 1

S_{4} : x = 0,

en el I octante.

En la aplicación interactiva puede seguir los pasos para obtener el sólido.

Figura 2.50: Sólido

Q

10.3Dibuje el sólido

Q

limitado por las superficies

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 4,

S_{2} : z - y = 3,

S_{3} : z = 0 .

El plano

S_{2} : z - y = 3

interseca al cilindro en los puntos

(0, - 2, 1)

(0, 2, 5) .

Podemos usar estos puntos para dirigir el bosquejo de la curva de intersección.

Figura 2.51: Sólido

Q

10.4Dibujar el sólido

Q

limitado por la superficie

S_{1} : z = 1 - x^{2}

y los planos

S_{2} 2 z - y = 0;

S_{3} y = 0; S_{4} x = 0;

en el primer octante.

La superficie

S_{1} : z = 1 - x^{2}

queda arriba y el plano

S_{2} 2 z - y = 0

queda abajo. El plano

z = 0

no es parte del sólido. El punto

(0, 2, 1)

se obtiene como intersección de las rectas

z = 1

2 z - y = 0 .

10.5Dibujar el sólido

Q

limitado por los planos

S_{1} x - y + z = 0;

S_{2} y + z = 2;

S_{3} x = 0

S_{4} z = 0 .

Dibujamos ambos planos y marcamos los puntos guía para trazar el segmento de intersección. Uno de los puntos se obtiene como la intersección de las rectas

- y + z = 0

y + z = 2,

y el otro como la intersección de las rectas

x - y = 0

y = 2 .

Estos puntos son

(0, 1, 1)

(2, 2, 0)

El sólido se mantiene en el primer octante pues está limitado por el plano

x = 0

(plano

Y Z

) y el plano

z = 0

(plano

XY


Planos $x - y + z = 0;$ $y + z = 2;$	Sólido $Q$

10.6Dibujar el sólido

Q

limitado por la superficie

S_{1} : z = 1 - x^{2}

y los planos

2 z - y = 0; x = 0; z = 0

y = 2,

en el primer octante.

Como el sólido está limitado por los planos

z = 0

x = 0

, entonces el plano

2 z - y = 0

queda en la parte de arriba del sólido.

Figura 2.52:

10.7 Dibujar el sólido

Q

limitado por la superficie

S_{1} : z = 1 - x^{2}

y el plano

S_{2} y + z = 2;

en el primer octante.

En este caso no es necesario especificar los planos

x = 0; y = 0

z = 0;

con solo especificar que está en el primer octante es suficiente porque en este caso no hay ambiguedad.

10.8 Dibujar el sólido

Q

limitado por la superficie

S_{1} : x^{2} + z^{2} = 16

y el plano

S_{2} : y + z = 4;

en el primer octante

Dibujamos ambas superrficies y observamos dos puntos-guía:

(4, 4, 0)

(0, 0, 4) .

Esto nos permite bosquejar la curva de interseccion entre

S_{1}

S_{2} .

Como estamos en el primer octante, en este caso, los planos

x = 0, y = 0

z = 0

son las otras superficies que limitan el sólido.

Figura 2.53: Sólido

Q

10.9Dibuje el sólido

Q

limitado por las superficies

S_{1} : {(y - 2)}^{2} = x - 2,

S_{2} : y = 4,

S_{3} : x + z = 6,

S_{4} : x = 0

S_{5} : y = 0

S_{6} : z = 0 .

La parte delicada es dibujar la intersección entre las superficies

S_{1}

S_{3} .

El plano $S_{3} : x + z = 6$ corta a la superficie $S_{1}$ desde $x = 2$ hasta $x = 6 .$ El corte incia en $(6, 0, 0)$ luego el corte debe pasar por $(2, 2, 4)$ (que está encima del vértice de la parábola ${(y - 2)}^{2} = x - 2$ ) y finaliza en $(2, 4, 0)$ .

El sólido está limitado por la superficie $S_{4} : x = 0,$ por eso el sólido "inicia" en el plano $Y Z$ y sigue hasta el cilindro $S_{1}$

Figura 2.54: Sólido

Q

10.10 Dibujar el sólido

Q_{1}

limitado por las superficies

x^{2} + y^{2} = 4;

z + y = 2; y = 1

y = 0,

en el I octante.

Sólido

Q_{1}

10.11 Sólido

Q_{2}

limitado por la superficie

x^{2} + y^{2} = 4;

y los planos

z + y = 2; x + \sqrt{3} y = 2 \sqrt{3}

x = 0,

en el I octante

Sólido

Q_{2} .

10.12 Sólido

Q_{3}

limitado por la superficie

y^{2} + z^{2} = 1;

y los planos

x + y = 2; x - y + z = 0,

en el I octante.

Sólido

Q_{3} .

10.13 Sólido

Q_{4}

limitado por la superficie

y^{2} + z^{2} = 4

y los planos

2 x - 2 y + z = 2;

x = 0

z = 0 .

Sólido

Q_{4} .

10.14 Sólido

Q_{5}

limitado por la superficie

{(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4

y los planos

x - z = 0;

y = - 2; y = 2;

z = 0

con

0 \leq x \leq 4

Sólido

Q_{5} .

10.15 Sólido

Q_{6}

limitado por la superficie

y^{2} + z^{2} = 16

y los planos

x + 2 y + z = 2;

x + z = 2; x = 0;

z = 0

en el I octante.

Sólido

Q_{6} .

10.16 Sólido

Q_{7}

limitado por la superficie

y^{2} + z^{2} = 16

y los planos

x + 2 y + z = 2;

x + z = 2; x = 0;

z = 0

en el I y IV octante.

Sólido

Q_{7} .

10.17 Sólido

Q_{8}

limitado por la superficie

y = x^{2}

y los planos

2 z + 3 y = 18;

x + y = 6; z = 3; x = 0;

z = 0,

en el I octante.

Sólido

Q_{8} .

10.18 Sólido

Q_{9}

limitado por la superficie

x^{2} = 4 - z

y los planos

3 z + 2 y = 6;

z = 2 x; y = 0;

z = 0

Sólido

Q_{9} .

10.19 Sólido

Q_{10}

limitado por la superficie

z = 9 - x^{2}

y los planos

5 y - 5 x + 2 z = 0

y = 3,

en el primer octante.

Sólido

Q_{10} .

10.20 Sólido

Q_{11}

limitado por las superficies

z = 4 - x^{2};

2 y + z = 8;

y = x;

x = 0

z = 0,

en el primer octante.

Sólido

Q_{11} .

10.21 Sólido

Q_{12}

limitado por las superficies

z = 4 - x^{2} ∕ 4;

y = 6 - x;

y = 4

y = 0,

en el primer octante.

Sólido

Q_{12} .

10.22 Sólido

Q_{13}

limitado por las superficies

z = 4 - x^{2}; x + 2 y = 4; z = 4; z = 0

y = 0 .

Sólido

Q_{13} .

10.23 Sólido

Q_{14}

limitado por las superficies

y = 2 - 2 x^{2};

y = 1 - x^{2}; y + 2 z = 2; x = 0

z = 0;

en el I octante.

Sólido

Q_{14} .

10.24 Sólido

Q_{15}

limitado por las superficies

y = 2 - 2 x^{2};

y = 1 - x^{2}; y + 2 z = 2; x = 0

z = 2,

en el I octante.

Sólido

Q_{15} .

10.25 Sólido

Q_{16}

limitado por las superficies

x^{2} + y^{2} = 1;

z = 1 - x^{2},

en el I octante.

Sólido

Q_{16} .

10.26 Sólido

Q_{17}

limitado por las superficies

z = 1 - x^{2}; z - y = 1; y = x; x = 0

z = 0,

en el I y IV octante.

Sólido

Q_{17} .