Superficies cuadraticas.

7. Superficies cuadráticas.

Rotar una cónica (no degenerada) alrededor de su eje focal, por ejemplo, produce un caso especial de un conjunto más general de superficie llamadas superficies de segundo orden. Estas superficies satisfacen una ecuación de segundo grado en $x, y$ y $z$ y también son llamadas superficies cuadráticas o cuádricas [17].

La curva de intersección entre un plano y una superficie cuadrática es una cónica. Hay $17$ tipos estándar de cuádricas, algunas de ellas son: paraboloide, esfera, esferoide, elipsoide, cono, hiperboloide, cilindro, cono elíptico, cilindro elíptico, hiperboloide elíptico, paraboloide elíptico, etc.

Aquí solo consideramos cuádricas en posición estándar (sin rotación). Estas superficies tienen ecuación

A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + Dx + Ey + Fz + G = 0 .

Curvas de nivel y trazas.

Si $S$ es una superficie en el espacio de ecuación $F (x, y, z) = 0,$ todos los pares $(x, y) \in ℝ^{2}$ que satisfacen la ecuación $F (x, y, c) = 0$ definen una curva en el plano $XY$ (siempre y cuando este conjunto no sea vacío). A esta curva se le llama una curva de nivel de la superficie. Geométricamente corresponden a la proyección sobre le plano $XY,$ de el corte del plano $z = c$ con la superficie $S .$

Trazas y curvas de nivel

z = c

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Trazas

x = c

y = c

z = c

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Propósito: Visualizar las trazas $z = c$ sobre varias superficies y las curvas de nivel.

En este widget se puede editar funciones implícitas como $F (x, y, z) = 0$ o funciones en el formato $f (x, y) - z = 0$ y observar las trazas en una cantidad variable de planos de corte, así como las curvas de nivel. Podemos probar con las superficies de ecuación:

1: $sen (x) * cos (y) - z = 0$
2: $z = x^{2} + y^{2} = 0$
3: ${(x - 2)}^{2} - {(z - 2)}^{2} - y^{2} = 0$

El widget ampliado ofrece más funcionalidades.

Trazas y curvas de nivel

z = c

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Dibujar curvas de nivel . Esencialmente para dibujar una curva de nivel

z = c

, susitituimos este valor en la ecuación de tal manera que nos queda la ecuacion de una curva en términos de "

x

" y "

y

". Entonces dibujamos en el plano

XY

, en un ambiente 3D.

Ejemplo31Representación geométrica de curvas de nivel

Consideremos la superficie de ecuación

z = x^{2} + y^{2} .

Como

z

es una suma de cuadrados,

z

debe ser

\geq 0 .

Vamos a dibujar las curvas de nivel correspondientes a

z = 0, 1, 2

z = 3 .

1: La curva de nivel $z = 0$ es el punto $(0, 0, 0)$
2: La curva de nivel $z = 1 :$ circunferencia $1 = x^{2} + y^{2}; z = 0 .$
3: La curva de nivel $z = 2 :$ circunferencia $2 = x^{2} + y^{2}; z = 0 .$
4: La curva de nivel $z = 3 :$ circunferencia $3 = x^{2} + y^{2}; z = 0 .$

Figura 2.25:

Ejemplo32Representación geométrica de curvas de nivel

Consideremos la superficie de ecuación $z = {(y - 2)}^{2} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} .$ Vamos a dibujar las curvas de nivel correspondientes a $z = 0$ y $z = 1 .$

1: Si $z = 0$ tenemos ${(y - 2)}^{2} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{4},$ es decir, un par de rectas: $y = 2 \pm \frac{(x - 3)}{2}; z = 0 .$
2: La curva de nivel $z = 1$ es la hipérbola $1 = {(y - 2)}^{2} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{4}; z = 0 .$

Figura 2.26:

Ejemplo33Representación geométrica de curvas de nivel

Consideremos la superficie de ecuación $z - 1 = {(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} .$ Dibujar las curvas de nivel correspondientes a $z = 1, 2, 3$ y $z = 4 .$

Solución.

1: La curva de nivel $z = 1$ es el punto $(2, 2, 0) .$
2: La curva de nivel $z = 2$ es la elipse
$1 = {(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} .$
3: La curva de nivel $z = 3$ es la elipse
$2 = {(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4},$ es decir,

$1 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{8} .$

Figura 2.27:

4: La curva de nivel $z = 4$ es la elipse $3 = {(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4},$ es decir, $1 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{12} .$

Dibujar Trazas (o cortes). Con el fin de realizar el dibujo de una superficie

S

de ecuación explícita

z = f (x, y)

o de ecuación implícita

F (x, y, z) = 0,

procedemos a realizar cortes a esta superficie con planos paralelos a los planos coordenados. Estas curvas son llamadas trazas o cortes y producen un dibujo ‘de alambre’ de la superficie a dibujar.

Para describir las trazas por ecuaciones se procede de la siguiente manera:

1: Si la traza resulta de la intersección de la superficie $S$ con el plano $x = c,$ entonces su ecuación es $z = f (c, y); x = c$ o " $F (c, y, z) = 0; x = c,$ " y se representa en el plano $x = c .$
2: Si la traza resulta de la intersección de la superficie $S$ con el plano $y = c,$ entonces su ecuación es $z = f (x, c); y = c$ o " $F (x, c, z) = 0; y = c,$ " y se representa en el plano $y = c .$
3: Si la traza resulta de la intersección de la superficie $S$ con el plano $z = c,$ entonces su ecuación es $c = f (x, y), z = c$ o " $F (x, y, c) = 0, z = c$ " y se representa en el plano $z = c .$

Estrategia general: Trasladar los ejes. Para dibujar trazas, una estrategia consiste en trasladar los ejes al plano de dibujo:

x = c;

y = c

z = c

Figura 2.28: Traslación de ejes

Animación: Dibujando trazas

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Ahora vamos ha ver ejemplos con detalles técnicos

Ejemplo34Realizar representación gráfica de una traza

Consideremos la superficie de ecuación $z = x^{2} + y^{2} .$ Dibujar la traza $z = 1 .$

Solución.

1

Sustituimos

z = 1

en la ecuación de la superficie: Nos queda la circunferencia

1 = x^{2} + y^{2}; con z = 1 .

2

Trasladamos los ejes

X

Y

al plano

z = 1

3

Como la circunferencia vive en el plano

z = 1,

para dibujarla trasladamos su centro a

(0, 0, 1)

y trazamos un par de rectas paralelas a los ejes

X

Y

que pasen por este punto

4

Dibujamso respecto al sistema de ejes trasladado

Figura 2.29:

Ejemplo35Realizar la representación gráfica de una traza

Consideremos la superficie $S$ de ecuación $4 {(y - 1)}^{2} + 4 {(z - 1)}^{2} = x^{2} .$ Dibujar la traza $x = 2 .$

Solución.

1

Sustituimos

x = 2

en la ecuación d ela superficie. Nos queda la circunferencia

{(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1; x = 2

2

Trasladamos los ejes

Y

Z

al plano

x = 2

3

El centro de la circunferencia, en el plano

x = 2

(2, 1, 1)

4

trazamos los semiejes paralelos a los ejes pasando por el centro y dibujamos respetando el radio

r = 1

Figura 2.30: Traslación de ejes y dibujo de la traza

x = 2

Ejemplo36Realizar la representación gráfica de una traza

Consideremos la superficie de ecuación $z - 1 = {(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4}$ . Dibujar la traza $z = 3 .$

Solución.

1

Sustituimos

z = 3

en la ecuación de la superificie y nos queda la elipse

\frac{{(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{8} = 1 z = 3 .

2

Trasladamos los ejes

X

Y

al plano

z = 3

3

El centro de la elipse, en el plano

z = 3

, es

(2, 2, 3)

4

Dibujamso lso semiejes de la elipse, pasando por el centro

(2, 2, 3)

y paralelos a los ejes trasladados

5

Dibujamos los vértices respetando la longitud de los semiejes de la elipse

6

Dibujamos la elipse

Cuádricas

Nos interesan las cuádricas de ecuación $A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + Dx + Ey + Fz + G = 0 .$ Excepto casos degenerados, completando cuadrados podemos obtener la ecuación canónica de cada superficie cuadrática. A continuación se muestra algunas cuádricas en posición estándar y centradas en el origen.

Elipsoide: Tiene ecuación $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$

Es simétrica con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ y $(0, 0, \pm c) .$ La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse.

Paraboloide elíptico: Tiene ecuación $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z}{c}$

Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipses: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{k}{c} .$ Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k$ o $y = k,$ son parábolas.

Paraboloide hiperbólico: Tiene ecuación $\frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{z}{c}$

Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son hipérbolas o dos rectas ( $z = 0$ ). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano $XZ$ son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano $Y Z$ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar.

Cono elíptico: Tiene ecuación $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.

Hiperboloide de una hoja: Tiene ecuación $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$

Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipses. Sus trazas sobre planos verticales son a hipérbolas.

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 + \frac{k^{2}}{c^{2}}

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas

Hiperboloide de dos hojas: Tiene ecuación $\frac{z^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1$

Es una superficie con dos hojas (o mantos) separadas. Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas

Ejemplo37Asocie

Asocie cada una de las cinco figuras que siguen con la respectiva ecuación de la superficie que representa. Para cada figura solo hay una posible ecuación en el lado derecho.

1.

2.

3.

4.

5.

—————————————————————————-

A.: $\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{z^{2}}{4}$
B.: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} + \frac{{(z - 5)}^{2}}{4} = 1$
C.: $\frac{{(x - 5)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{4} = 1$
D.: $- x^{2} - z^{2} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{2} = 1$
E.: $\frac{z^{2}}{16} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$
F.: $\frac{z^{2}}{16} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$
G.: $\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{z}{16}$
H.: $\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{z^{2}}{4}$
I.: $\frac{z^{2}}{16} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$
J.: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{z - 5}{16}$
K.: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{4} = 1$
L.: $\frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{16} = 1$
M.: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = \frac{z^{2}}{4}$

Solución. Las cuádricas que se muestran solo tienen traslación en alguno de los ejes. La idea es asociar la cuádrica con la ecuación centrada en el origen y luego aplicar una traslación en el eje respectivo.

1.		[M.] $\frac{x^{2}}{16} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = \frac{z^{2}}{4}$

2.		[C.] $\frac{{(x - 5)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{4} = 1$

3.		[E.] $\frac{z^{2}}{16} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$

4.		[G.] $\frac{{(x - 5)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{z}{16}$

5.		[D.] $- x^{2} - z^{2} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{2} = 1$

Dibujar superficies cuádráticas. La superficies cuadráticas que están más arriba tienen una representación gráfica usando una "malla" formada por trazas. Para dibujar una superficie cuadrática seguimos esa misma idea: Dibujamos algunas trazas para ver el "esqueleto de la superficie"

Ejemplo38Dibujar supericies cuadráticas con trazas

1

El paraboloide elíptico

S : z = {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}

se puede visualizar con elipses y parábolas.

En la Figura 2.31 se muestra la representación gráfica usando las trazas (elipses) $z = 1, z = 2, z = 3$ y la traza (parábola) $x = 1$

(a): Traza $z = 1$ , elipse $1 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}$
(b): Traza $z = 2$ , elipse $2 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}$
(c): Traza $z = 3$ , elipse $3 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}$
(d): Traza $x = 1$ , elipse $z = {(y - 2)}^{2}$

Figura 2.31: Paraboloide elítico

La animación la puede ver en widget que está más abajo

2

El paraboloide hiperbólico:

S : \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = z

se puede visualizar con hipérbolas y parábolas.

En la Figura 2.32 se muestra la representación gráfica usando las trazas (hipérbolas) $z = 1, z = 3,$ y las trazas (parábolas) $y = 2$ y $x = 0$

(a): Traza $z = 1$ , hipérbola $\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$
(b): Traza $z = 2$ , hipérbola $\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 2$
(c): Traza $y = 2$ , parábola $- \frac{x^{2}}{4} = z$
(d): Traza $x = 0$ , parábola $\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = z$

La animación la puede ver en widget que está más abajo

Figura 2.32: Paraboloide elítico

Animación: Dibujar superficie cuadrática con trazas

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Animación: Dibujar superficie cuadrática con trazas

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Ejemplo39Dibujar una superficie usando algunas trazas

Considere el parabolide elíptico de ecuación $S : z = {(y - 2)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{2} .$ Dibuje por separado las trazas obtenidas al intersecar $S$ con los planos de ecuación $y = 2$ , $x = 1$ , $z = 0$ y $z = 4$ , y dibuje la superficie.

Solución.

1

Si sustituimos

y = 2

z = {(y - 2)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{2}

nos queda

z = 4 {(x - 1)}^{2} .

Entonces, la traza $y = 2$ corresponde a la parábola

{(x - 1)}^{2} = \frac{1}{4} z, y = 2 .

Figura 2.33:

2: Si sustituimos $x = 1$ en $z = {(y - 2)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{2}$ nos queda la parábola ${(y - 2)}^{2} = z, x = 1$

Figura 2.34:

3: Si sustituimos $z = 4$ en $z = {(y - 2)}^{2} + 4 {(x - 1)}^{2}$ nos queda la elipse $\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} + {(x - 1)}^{2} = 1, z = 4$

Figura 2.35:

4: La traza $z = 0$ corresponde al vértice del parabolide, $(1, 2, 0) .$

Figura 2.36:

Ejemplo40Dibujar una superficie usando algunas trazas

Identifique y dibuje la superficie cuadrática $x^{2} + 2 z^{2} - 6 x - y + 10 = 0$

Solución. Completando el cuadrado en $x$ obtenemos el paraboloide elíptico $y - 1 = {(x - 3)}^{2} + 2 z^{2} .$ Abre en dirección del la parte positiva del eje $Y .$

Trazas. La estrategia es la siguiente: El paraboloide elíptico, se puede dibujar con un par de elipses y una parábola. Para obtener las elipses le damos valores a $y$ en la ecuación $y - 1 = {(x - 3)}^{2} + 2 z^{2} .$ Se requiere que $y \geq 1 .$

1: La traza $y = 1$ es el punto: $(3, 1, 0) .$
2: La traza $y = 2$ es la elipse $1 = {(x - 3)}^{2} + \frac{z^{2}}{1 ∕ 2}$ en el plano $y = 2$
3: La traza $y = 3$ es la elipse $1 = \frac{{(x - 3)}^{2}}{2} + z^{2}$ en el plano $y = 3$
4: La traza $x = 3$ es la parábola $y = 2 z^{2} + 1$ en el plano $x = 3 .$

Figura 2.37:

Ejemplo41Dibujar una superficie usando algunas trazas

Consideremos la superficie de ecuación $z = x^{2} + y^{2} .$ Trazar la superficie usando las trazas correspondientes a $z = 0, 1, 3$ y $x = 0 .$

Solución.

1: La traza $z = 0$ es el punto $(0, 0, 0)$
2: La traza $z = 1$ es la circunferencia $1 = x^{2} + y^{2};$ en el plano $z = 1$
3: La traza $z = 3$ es la circunferencia $3 = x^{2} + y^{2};$ en el plano $z = 3$
4: La traza $x = 0$ es la parábola $z = y^{2};$ en el plano $x = 0$

Figura 2.38:

Figura 2.39:

Ejemplo42Dibujar una superficie usando algunas trazas

Consideremos la superficie de ecuación $z - 1 = {(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} .$ Trazar la superficie usando las trazas correspondientes a $z = 1, 2, 3, 4$ y $x = 2 .$

Solución.

1: La traza $z = 1$ es el punto $(2, 2, 1)$
2: La traza $z = 2$ es la elipse $1 = {(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4}$ en el plano $z = 2 .$
3: La traza $z = 3$ es la elipse $1 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{8}$ en el plano $z = 3 .$
4: La traza $z = 4$ es la elipse $1 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{12}$ en el plano $z = 4 .$
5: La traza $x = 2$ es la parábola $z - 1 = \frac{{(y - 2)}^{2}}{4}$ en el plano $x = 2 .$

Figura 2.40:

Figura 2.41:

Ejemplo43Dibujar una superficie usando algunas trazas

Identifique y dibuje la superficie cuadrática $4 x^{2} - y^{2} + 2 z^{2} + 4 = 0 .$

Solución. Dividiendo por $4$ obtenemos: $- x^{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{2} = 1,$ que corresponde a un hiperboloide de dos hojas. Abre en dirección del eje $Y .$

Trazas. La estrategia es la siguiente: El hiperboloide de dos hojas (que está más arriba), se puede dibujar con dos elipses y una hipérbola por cada hoja.

Para obtener elipses, arreglamos la ecuación como $\frac{y^{2}}{4} - 1 = x^{2} + \frac{z^{2}}{2} .$ Las elipses se obtienen dando valores a $y$ con $| y | > 2 .$

1: Si $y = \pm 2$ obtenemos dos puntos: $(0, 2, 0), (0, - 2, 0) .$
2: Si $y = \pm 3$ obtenemos la elipse $\frac{x^{2}}{5 ∕ 4} + \frac{z^{2}}{5 ∕ 2} = 1$ en el plano $y = 3$ y el plano $y = - 3 .$
3: Si $y = \pm 4$ obtenemos la elipse $\frac{x^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{6} = 1$ en el plano $y = 4$ y el plano $y = - 4 .$
4: Para obtener la hipérbola, ponemos $x = 0$ y arreglamos la ecuación como $\frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{2} = 1 .$

Figura 2.42:

8.1Asocie cada una de las figuras con la respectiva ecuación de la superficie que representa. Para cada figura solo hay una posible ecuación en el lado derecho.

—————————————————————————-

1.

2.

3.

4.

—————————————————————————-

A.: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{4} = 1$
B.: $\frac{{(x - 5)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = \frac{z^{2}}{4}$
C.: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{z^{2}}{4} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{2} = 0$
D.: $x = y^{2} + \frac{z^{2}}{16}$
E.: $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{4} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{3} = 1$
F.: ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = z^{2}$
G.: $\frac{z^{2}}{4} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$
H.: $\frac{x - 5}{- 16} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{16} = 0$
I.: $- \frac{z^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

Se omite.

8.2 Dibuje cada una de las siguientes cuádricas:

1: $y = {(x - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2}$
$y = {(x - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2}$
2: $z^{2} + y^{2} = \frac{x}{4}$
$z^{2} + y^{2} = x ∕ 4$
3: $x^{2} + y^{2} + \frac{{(z - 1)}^{2}}{9} = 1$
$x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} ∕ 9 = 1$
4: $x^{2} + y^{2} - {(z - 2)}^{2} = 1$
$x^{2} + y^{2} - {(z - 2)}^{2} = 1$
5: $x^{2} + y^{2} - {(z - 2)}^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - {(z - 2)}^{2} = 0$
6: $x^{2} + {(y - 2)}^{2} - z^{2} = 0$
$x^{2} + {(y - 2)}^{2} - z^{2} = 0$

8.3Considere la superficie de ecuación

S : 4 - z = x^{2} + {(y - 2)}^{2} + z

. Dibuje por separado las curvas de corte de

S

con los planos

x = 0

z = 3

z = 0

. Y luego dibuje

S .

Se trata del paraboloide

4 - z = x^{2} + {(y - 2)}^{2}

. El vértice es

(0, 2, 4) .

1.: Si $x = 0$ entonces $4 - z = {(y - 2)}^{2} .$ Por tanto la traza es ${(y - 2)}^{2} = - (z - 4), x = 0 .$
2.: Si $z = 3$ obtenemos la traza $1 = x^{2} + {(y - 2)}^{2}, z = 3 .$
3.: Si $z = 0$ obtenemos la traza $4 = x^{2} + {(y - 2)}^{2}, z = 0 .$

8.4Identifique y dibuje la superficie cuadrática

\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(z - 1)}^{2}}{4} = 1 .

Se trata de un elipsoide con centro en

(3, 3, 1) .

Una estrategia de dibujo es la siguiente: Los elipsoides se puede dibujar con tres elipses (trazas). En este caso, se pueden usar

x = 3;

y = 3

z = 1

(estos valores corresponden al centro de la cuádrica).

1.: La traza $x = 3$ corresponde a la elipse $\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(z - 1)}^{2}}{4} = 1,$ $x = 3;$ que se dibuja en el plano $x = 3 .$
2.: Si $y = 3$ obtenemos la elipse (circunferencia) ${(x - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4,$ $y = 3;$ que se dibuja en el plano $y = 3 .$

1.: Si $z = 1$ obtenemos la elipse $\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1,$ $z = 1;$ que se dibuja en el plano $z = 1 .$