Planos

6. Planos

Posiblemente los planos son las superficies más sencillas de dibujar. La ecuación cartesiana de un plano es $ax + by + cz = d$ con con $a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0$ (se prohíbe el caso $a = b = c = 0$ ). Para realizar la representación gráfica de un plano $Π$ nos basamos en el hecho de que si $P, Q$ son dos puntos en este plano, entonces la recta (o cualquier segmento de ella) que contiene a estos puntos, está en el plano. En la práctica necesitamos al menos dos segmentos de recta para dibujar una parte del plano, mediante un triángulo o un paralelogramo.

Planos

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Método: Un plano

ax + by + cz = d

tiene un vector normal

N = (a, b, c)

y pasa por un punto

P = (x_{1}, y_{1}, z_{1})

(cualquier punto que satisfaga la ecuación del plano). Se puede dibujar un plano procediendo de dos maneras:

1

Obtener dos rectas que pasen por el plano, usando la ecuación cartesiana

2

Si el plano tiene ecuación

P + t u + s v, t . s \in ℝ

, podemos usar los vectores

u, v

como guía. Se sabe que

N = (a, b, c) = {\begin{matrix} \underset{u}{\underset{⏟}{\frac{1}{c} (0, c, - b)}} \times \underset{v}{\underset{⏟}{(- c, 0, a)}} & si & c \neq 0 \\ (0, 0, 1) \times (b, - a, 0) & si & c = 0 \end{matrix}

Planos de ecuación cartesiana con dos variables ausentes. La ausencia de variables en la ecuación solo significa que estas variables tienen coeficiente nulo y, por tanto, estas variables pueden tomar valores arbitrarios.

Por ejemplo el plano $Π : 0 \cdot x + 0 \cdot y + z = 2$ es el plano $z = 2,$ es decir, $Π = {(x, y, 2) : x, y \in ℝ} .$

1: El plano $x = a$ es el plano $Π = {(a, y, z) : y, z \in ℝ} .$

Dibujamos con $Π : (a, 0, 0) + t (0, 0, 1) + s (0, 1, 0), t, s \in ℝ$
2: El plano $y = b$ es el plano $Π = {(x, b, z) : x, z \in ℝ} .$

Dibujamos con $Π : (0, b, 0) + t (0, 0, 1) + s (1, 0, 0), t, s \in ℝ$
3: El plano $z = c$ es el plano $Π = {(x, y, c) : x, y \in ℝ} .$

Dibujamos con $Π : (0, 0, c) + t (0, 1, 0) + s (1, 0, 0), t, s \in ℝ$

Fig. 2.15: Planos

x = a, y = a, z = a

Ejemplo23Representación grafica del plano

x = 2

En uns sistema 3D, realizar la representación gráfica del plano $x = 2$

Solución. En un sistema 3D, dibujamos la recta $x = 2$ en el plano $XY$ y la recta $x = 2$ en el plano $XZ$ . Luego bosquejamos el plano.

Fig. 2.16: Plano

x = 2

Planos

x = a, y = a, z = a

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Planos de ecuación cartesiana con una variable ausente.
Cuando hay una variable ausente (i.e., una variable con coeficiente nulo), el plano está ‘generado’ por la recta determinada por las variables presentes.

Método. Dibujamos al recta, con los intersecciones con los ejes del plano donde "vive" y bosquejamos el plano

Ejemplo24

1

Dibujar en el sistema 3D, el plano

x + y = 2 .

Solución. Dibujamos la recta $x + y = 2$ en el plano $XY$ . Esta recta interseca a los ejes en $x = 2$ y en $y = 2$ , luego bosquejamos el plano en la dirección del eje $Z$ (la variable ausente).

El plano $Π : x + y = 2$ es el conjunto de puntos

{(x, y, z) : x + y = 2, z \in ℝ}

Las coordenadas $x$ e $y$ están sobre la recta $x + y = 2, z = 0$ y la coordenada $z$ es arbitraria.

Fig. 2.17:

2

Dibujar en el sistema 3D, el plano

y + z = 3 .

Solución. Dibujamos la recta $y + z = 3$ en el plano $Y Z$ . Esta recta interseca a los ejes en $y = 3$ y en $z = 3$ , luego bosquejamos el plano en la dirección del eje $X$ (la variable ausente).

El plano $Π : y + z = 3$ es el conjunto de puntos

{(x, y, z) : y + z = 3, x \in ℝ}

Las coordenadas $y$ y $z$ están sobre la recta $y + z = 3, x = 0$ y la coordenada $x$ es arbitraria.

Fig. 2.18:

Planos generados por una recta en un plano coordenado

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Planos de ecuación cartesiana sin variables ausentes. Podemos distinguir entre los planos que pasan por el origen y los planos que no.
Una forma sencilla para dibujar planos que no contienen el origen consiste en determinar la intersección del plano con cada uno de los ejes coordenados y trazar los segmentos de recta que unen estos puntos (estos segmentos están contenidos en el plano). En caso necesario, se pueden extender dos de estos segmentos y formar un paralelogramo.

Los planos que pasan por el origen se pueden dibujar determinando un par de rectas en el plano (al anular una variable en la ecuación cartesiana del plano se obtiene la ecuación de una recta contenida en el plano).

Ejemplo25

Realizar la representación gráfica, del plano $4 x - 4 y + 2 z = 4$

Solución. Primero calculamos las intersecciones del plano con los ejes coordenados (anulando un par de variables en cada caso).

1: Si $x = 0, y = 0$ entonces $2 z = 4 ⟹ z = 2$
2: Si $x = 0, z = 0$ entonces $- 4 y = 4 ⟹ y = - 1$
3: Si $y = 0, z = 0$ entonces $4 x = 4 ⟹ x = 1$

El plano interseca a los ejes coordenados en $x = 1,$ $y = - 1$ y $z = 2 .$ Podemos usar el segmento que va de $x = 1$ a $y = - 1$ y el segmento que va de $y = - 1$ a $z = 2 .$ Con estos dos segmentos podemos dibujar un paralelogramo.

Fig. 2.19:

Planos que contienen el origen. Para dibujar planos que contienen el origen se anula una de las variables y se dibuja una primera recta resultante en el plano correspondiente. Luego se anula otra variable y se dibuja una segunda recta en el plano correspondiente. Tomamos dos segmentos, uno en cada recta y formamos un paralelogramo.

Ejemplo26

Realizar la representación gráfica del plano $x + y - 2 z = 0 .$

Solución.

1: El plano $x + y - 2 z = 0$ pasa por el origen. Así que la intersección con los ejes es $(0, 0, 0)$ . La estrategia es dibujar dos rectas.
2: Si $y = 0,$ la recta $x + 0 - 2 z = 0; y = 0$ está en el plano.
3: Si $x = 0,$ la recta $0 + y - 2 z = 0; x = 0$ está en el plano
4: Podemos usar un segmento de la recta $x - 2 z = 0; y = 0$ y un segmento de la recta $y - 2 z = 0; x = 0,$ para dibujar un paralelogramo que represente al plano.

Fig. 2.20:

Planos de ecuación

ax + by + cz = 0

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7.1 Realizar la reprentación gráfica del plano

z = 0

El plano

Π : z = 0

lo constituyen todos los puntos de la forma

(x, y, 0)

con

x, y \in ℝ

arbitrarios, es decir, el plano

z = 0

es el plano

XY

7.2 Realizar la reprentación gráfica del plano

z = 2 .

El plano

z = 2

lo constituyen todos los puntos de la forma

(x, y, 2)

con

x, y \in ℝ

arbitrarios, es decir, es un plano paralelo al plano

XY

que pasa por la coordenada

z = 2 .

7.3 Realizar la reprentación gráfica del plano

y = 3 .

El plano

Π : y = 3

lo constituyen todos los puntos de la forma

(x, 3, z)

con

x, z \in ℝ

, es decir, es un plano paralelo al plano

Y Z

que pasa por la coordenada

y = 3 .

7.4 Dibujar los planos que se indican a continuación:

1: $2 z + y = 2$
Plano $2 z + y = 2 .$
2: $x = 2$
Plano $x = 2 .$
3: $x - y - z = 0$
Plano $x - y - z = 0 .$ Podemos usar las rectas $y = x$ y $z = x .$
4: $x + y - z = 2$
Plano $x + y - z = 2 .$ Podemos usar las intersecciones con los ejes: $x = 2; y = 2; z = - 1 .$
5: $2 x + 2 y + 2 z = 2$
Plano $2 x + 2 y + 2 z = 2 .$ Podemos usar las intersecciones con los ejes: $x = 1; y = 1; z = 1 .$

7.5 Dibujar el plano

4 x - 4 y + 2 z = 4

en el primer octante.

Plano

4 x - 4 y + 2 z = 4

en el primer octante. En este caso el plano lo dibujamos desde el segmento que va de

x = 1

hasta

z = 2 .

Superficies cilíndricas o “cilindros”.

El término "cilindro" tiene varios significados relacionados y puede ser un concepto algo confuso. La palabra “cilindro” probablemente evoque la imagen de un cilindro circular recto, pero en cálculo en varias variables un cilindro (cilindro generalizado) se refiere a una superficie generada por una curva.

Un cilindro es una superficie formada por una familia de rectas paralelas, llamadas generatrices, que pasan por los puntos respectivos de una cierta curva directriz. Si la directriz vive en un plano y si la generatriz es perpendicular a este plano, el cilindro se le dice “cilindro recto”. Un cilindro es un caso particular de una superficie reglada.

En este libro solo consideramos "cilindros rectos": Una curva directriz en algún plano coordenado y las rectas generatrices paralelas al eje perpendicular al plano que contiene la curva directriz.

1: Si la curva directriz está en el plano $XY$ y tiene ecuación $F (x, y) = 0$ , el cilindro recto tiene sus generatrices paralelas al eje $Z$ ("en la dirección del eje $Z$ ")
2: Si la curva directriz está en el plano $XZ$ y tiene ecuación $F (x, z) = 0$ , el cilindro recto tiene sus generatrices paralelas al eje $Y$ ("en la dirección del eje $Y$ ")
3: Si la curva directriz está en el plano $Y Z$ y tiene ecuación $F (y, z) = 0$ , el cilindro recto tiene sus generatrices paralelas al eje $X$ ("en la dirección del eje $X$ ")

Ejemplo27Representación geométrica de un cilindro

Si la curva generariz es $z = 2 cos (x) + 2$ , entonces primero dibujamos la curva de ecuación $z = 2 cos (x) + 2; y = 0$ (en el plano $y = 0$ ).

Luego, según nuestro convenio, la superficie cilíndrica $z = 2 cos (x) + 2$ tiene rectas generatrices paralelaa al eje $Y .$

Fig. 2.21:

Ejemplo28Representación geométrica de un cilindro

El cilindro de ecuación

z = 2 - x^{2}

es una superficie cilíndrica con la parábola

z = 2 - x^{2}, y = 0;

como curva directriz y con rectas generatrices paralelas al eje

Y .

Fig. 2.22:

Ejemplo29

El cilindro de ecuación $\frac{{(x - 4)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{16} = 1$ es una superficie cilíndrica con la elipse de ecuación $\frac{{(x - 4)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{16} = 1; z = 0,$ como curva directriz y rectas generatrices paralelas al eje $Z .$

Fig. 2.23:

Ejemplo30Representación geométrica de un cilindro

El cilindro de ecuación ${(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$ es una superficie cilíndrica donde la la circunferencia ${(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4, y = 0 .$ es la curva directriz y las rectas generatrices son paralelas al eje $X .$

Fig. 2.24:

Cilindros

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