4. Curvas y superficies en ℝ3 en coordenadas cartesianas.

Nos interesan las superficies de ecuación z = f(x,y), es decir, las superficies formadas por los puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación z = f(x,y) o también en la forma F(x,y,z) = 0.

A veces decimos “superficie de ecuación (explícita) z = f(x,y)" o “superficie de ecuación (implícita) F(x,y,z) = 0". Un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto de curvas; a estas curvas se les llama ‘trazas’ o ‘cortes verticales y horizontales’. En esta sección vamos a ocuparnos con superficies simples: Planos, superficies cilíndricas y superficies cuádricas.

Curvas en el espacio.

Hay curvas en el plano XY que se pueden describir por medio de una ecuación cartesiana F(x,y) = c. Por ejemplo, una circunferencia de radio a tiene ecuación: x2 + y2 = a2. Desde este punto de vista, una curva C definida por esta ecuación es un conjunto de puntos, a saber,

C = {(x,y) ∈ℝ2|F(x,y) = c}

Las curvas en ℝ3 se pueden definir de varias maneras. En esta sección nos interesan la curvas definidas por un par de ecuaciones, como intersección de dos superficies.

F1(x,y,z) = c1F2(x,y,z) = c2,

Curvas en los planos coordenados XY , XZ y Y Z. Es usual asumir que una curva de ecuación F(x,y) = 0, está en el plano XY En el espacio tridimensional indicamos la ecuación de la curva y el plano dónde esta curva "vive".

Planos coordenados

1
Plano XY tiene ecuación "z = 0". Son todo los puntos de la forma (x,y,0)
2
Plano XZ tiene ecuación "y = 0". Son todo los puntos de la forma (x,0,z)
3
Plano Y Z tiene ecuación "x = 0". Son todo los puntos de la forma (0,y,z)

Curvas en cada plano coordenado

1
Una curva en el plano XY tiene ecuación "F1(x,y) = 0;z = 0"
2
Una curva en el plano XZ tiene ecuación "F2(x,z) = 0;y = 0"
3
Una curva en el plano Y Z tiene ecuación "F3(y,z) = 0;x = 0"

Ejemplo19

1
La elipse de ecuación (x − 1)2 4 + (z + 1)2 9 = 1 vive en el plano XZ. En el espacio tridimensional tendría ecuación (x − 1)2 4 + (z + 1)2 9 = 1;y = 0

Elipse en plano XZ
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2
Una circunferencia en el plano XY, de radio a y centrada en el origen, tiene ecuación cartesiana x2 + y2 = a2. En el espacio tridimensional tendría ecuación x2 + y2 = a2;z = 0

Circunferenciae en plano XY
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Ejemplo20

Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C1 : x + y = 3;z = 0

Solución.
La curva C : x + y = 3;z = 0, corresponde a una recta en el plano XY Interseca al eje X en x = 3 y al eje Y en y = 3.

Recta x + y = 3,z = 0
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Ejemplo21

Realizar la representación gráfica, de la curva C : (x − 2)2 + (z − 2)2 = 1;y = 0.

Solución.

La curva C : (x − 2)2 + (z − 2)2 = 1;y = 0 corresponde a una circunferencia de radio 1 en el plano XZ. Su centro es (2,0,2).

Circunferencia C : (x − 2)2 + (z − 2)2 = 1;y = 0
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Ejemplo22

Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C3 : z = 2 − y2;x = 0.

Solución.

La curva C3 es la parábola : y2 = −(z − 2) (cóncava hacia abajo) en el plano Y Z El vértice es (0,0,2) e interseca al eje X en x = 2 y x = −2.

Parabola : y2 = −(z − 2)x = 0
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5.
Ejercicios:

5.1 Realizar la representación gráfica, en el espacio, de las curvas
1
z = 4 − x2;y = 0.
z = 4 − x2;y = 0.
PIC
2
(z − 2)2 + (y − 2)2 = 4;x = 0.
(z − 2)2 + (y − 2)2 = 4;x = 0.
PIC
3
(y − 1)2 4 + x2 = 1;z = 0.
(y − 1)2 4 + x2 = 1;z = 0
PIC
4
z + 2y = 4;x = 0.
z + 2y = 4;x = 0
PIC
5
z2 − y2 = 4;x = 0.
Se omite
6
z2 − x2 = 4;y = 0.
Se omite
7
y2 − x2 = 4;z = 0.
Se omite

5.2 ¿Es (x − 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 0 la ecuación de una curva?
Es un punto, P = (1,−2,0)