4. Curvas y superficies en ${ℝ}^3$ en coordenadas cartesianas.

Nos interesan las superficies de ecuación $z=f(x,y)$, es decir, las superficies formadas por los puntos $(x,y,z)$ que satisfacen la ecuación $z=f(x,y)$ o también en la forma $F(x,y,z)=0.$

A veces decimos “superficie de ecuación (explícita) $z=f(x,y)$" o “superficie de ecuación (implícita) $F(x,y,z)=0$". Un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto de curvas; a estas curvas se les llama ‘trazas’ o ‘cortes verticales y horizontales’. En esta sección vamos a ocuparnos con superficies simples: Planos, superficies cilíndricas y superficies cuádricas.

Curvas en el espacio.

Hay curvas en el plano $\mathit{XY}$ que se pueden describir por medio de una ecuación cartesiana $F(x,y)=c.$ Por ejemplo, una circunferencia de radio $a$ tiene ecuación: $x^2+y^2=a^2.$ Desde este punto de vista, una curva $C$ definida por esta ecuación es un conjunto de puntos, a saber,

Curvas en los planos coordenados $\mathit{XY},$ $\mathit{XZ}$ y $YZ$. Es usual asumir que una curva de ecuación $F(x,y)=0,$ está en el plano $\mathit{XY}$ En el espacio tridimensional indicamos la ecuación de la curva y el plano dónde esta curva "vive".

Planos coordenados

1

Plano $\mathit{XY}$ tiene ecuación "$z=0$". Son todo los puntos de la forma $(x,y,0)$

2

Plano $\mathit{XZ}$ tiene ecuación "$y=0$". Son todo los puntos de la forma $(x,0,z)$

3

Plano $YZ$ tiene ecuación "$x=0$". Son todo los puntos de la forma $(0,y,z)$

Curvas en cada plano coordenado

1

Una curva en el plano $\mathit{XY}$ tiene ecuación "$F_1(x,y)=0;z=0$"

2

Una curva en el plano $\mathit{XZ}$ tiene ecuación "$F_2(x,z)=0;y=0$"

3

Una curva en el plano $YZ$ tiene ecuación "$F_3(y,z)=0;x=0$"

Planos

Posiblemente los planos son las superficies más sencillas de dibujar. La ecuación cartesiana de un plano es $\mathit{ax}+\mathit{by}+\mathit{cz}=d$ con con $a^2+b^2+c^2\ne 0$ (se prohíbe el caso $a=b=c=0$). Para realizar la representación gráfica de un plano $\mathrm{\Pi }$ nos basamos en el hecho de que si $P,Q$ son dos puntos en este plano, entonces la recta (o cualquier segmento de ella) que contiene a estos puntos, está en el plano. En la práctica necesitamos al menos dos segmentos de recta para dibujar una parte del plano, mediante un triángulo o un paralelogramo.

1

Obtener dos rectas que pasen por el plano, usando la ecuación cartesiana

2

Si el plano tiene ecuación $P+tu+sv,t.s\in ℝ$, podemos usar los vectores $u,v$ como guía. Se sabe que

$$N=(a,b,c)=\{\begin{array}{ccc}\underset{u}{\underbrace{\frac{1}{c}(0,c,-b)}}\times \underset{v}{\underbrace{(-c,0,a)}}\hfill & \hfill \text{si}\hfill & c\ne 0\hfill \\ (0,0,1)\times (b,-a,0)\hfill & \hfill \text{si}\hfill & c=0\hfill \end{array}$$

Por ejemplo el plano $\mathrm{\Pi }:0\cdot x+0\cdot y+z=2$ es el plano $z=2,$ es decir, $\mathrm{\Pi }=\{(x,y,2):x,y\in ℝ\}.$

1

El plano $x=a$ es el plano $\mathrm{\Pi }=\{(a,y,z):y,z\in ℝ\}.$

Dibujamos con $\mathrm{\Pi }:(a,0,0)+t(0,0,1)+s(0,1,0),t,s\in ℝ$

2

El plano $y=b$ es el plano $\mathrm{\Pi }=\{(x,b,z):x,z\in ℝ\}.$

Dibujamos con $\mathrm{\Pi }:(0,b,0)+t(0,0,1)+s(1,0,0),t,s\in ℝ$

3

El plano $z=c$ es el plano $\mathrm{\Pi }=\{(x,y,c):x,y\in ℝ\}.$

Dibujamos con $\mathrm{\Pi }:(0,0,c)+t(0,1,0)+s(1,0,0),t,s\in ℝ$

Método. Dibujamos al recta, con los intersecciones con los ejes del plano donde "vive" y bosquejamos el plano

Los planos que pasan por el origen se pueden dibujar determinando un par de rectas en el plano (al anular una variable en la ecuación cartesiana del plano se obtiene la ecuación de una recta contenida en el plano).

6.1 Realizar la reprentación gráfica del plano $z=0$

Solución

El plano $\mathrm{\Pi }:z=0$ lo constituyen todos los puntos de la forma $(x,y,0)$ con $x,y\in ℝ$ arbitrarios, es decir, el plano $z=0$ es el plano $\mathit{XY}$

6.5 Dibujar el plano $4x-4y+2z=4$ en el primer octante.

Solución

Plano $4x-4y+2z=4$ en el primer octante. En este caso el plano lo dibujamos desde el segmento que va de $x=1$ hasta $z=2.$

Superficies cilíndricas o “cilindros”.

El término "cilindro" tiene varios significados relacionados y puede ser un concepto algo confuso. La palabra “cilindro” probablemente evoque la imagen de un cilindro circular recto, pero en cálculo en varias variables un cilindro (cilindro generalizado) se refiere a una superficie generada por una curva.

Un cilindro es una superficie formada por una familia de rectas paralelas, llamadas generatrices, que pasan por los puntos respectivos de una cierta curva directriz. Si la directriz vive en un plano y si la generatriz es perpendicular a este plano, el cilindro se le dice “cilindro recto”. Un cilindro es un caso particular de una superficie reglada.

En este libro solo consideramos "cilindros rectos": Una curva directriz en algún plano coordenado y las rectas generatrices paralelas al eje perpendicular al plano que contiene la curva directriz.

1

Si la curva directriz está en el plano $\mathit{XY}$ y tiene ecuación $F(x,y)=0$, el cilindro recto tiene sus generatrices paralelas al eje $Z$ ("en la dirección del eje $Z$")

2

Si la curva directriz está en el plano $\mathit{XZ}$ y tiene ecuación $F(x,z)=0$, el cilindro recto tiene sus generatrices paralelas al eje $Y$ ("en la dirección del eje $Y$")

3

Si la curva directriz está en el plano $YZ$ y tiene ecuación $F(y,z)=0$, el cilindro recto tiene sus generatrices paralelas al eje $X$ ("en la dirección del eje $X$")