Funciones escalares de dos variables

2. Funciones escalares de dos variables

Definición 4 (Función escalar).

Una función escalar de dos variables $f : ℝ^{2} \to ℝ$ con dominio $D S_{4} bseteq ℝ^{2},$ asigna a cada par $(x, y) \in D,$ un único número real denotado con $f (x, y) .$ El gráfico de $f$ es el conjunto $G_{f} = {(x, y, z) : x, y \in D y z = f (x, y)} .$

Notación Es usual escribir "

z = f (x, y)

" y si la representación gráfica de

f

es una superficie

S

, también escribimos "

S : z = f (x, y)

Ejemplo12Función escalar y dominio

La función $z = cos (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2}) + 2$ tiene como dominio todo $ℝ^{2}$ , pero es frecuente restringit el dominio, por ejemplo a $D = [0, 1] \times [0, 1]$ , como se muestra en la Figura 2.5.

Figura 2.5: Representación gráfica de la superficie

S

en el dominio

D = [0, 1] \times [0, 1]

El criterio (fórmula) que define a

f

puede ser explícito o implícito. Para hablar de una función de dos variables se escribe

z = f (x, y)

F (x, y, z) = 0 .

Es usual asociar la representación gráfica de

f

con su ecuación y hablar informalmente de "la superficie"

S

de ecuación

z = f (x, y),

o brevemente, "la superficie

S : z = f (x, y)

Ejemplo13Calculando con formas implícitas y explícitas

1

Forma explícita: Sea

S : z = x^{2} + y^{2}

entonces escribimos

S : f (x, y) = x^{2} + y^{2} .

(a): $f (1, 2) = 1^{2} + 2^{2} = 5 ⟹ (1, 2, 5) \in S$
(b): $f (0, 3) = 0^{2} + 3^{2} = 9 ⟹ (0, 3, 9) \in S$

2

Forma implícita: Sea

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1,

entonces escribimos

S : F (x, y, z) = 0 con F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 .

(a): Como $1^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 1 = 0 ⟹ F (1, 0, 0) = 0 ⟹ (1, 0, 0) \in S$
(b): Si $(1, 1, z) \in S ⟹ 1^{2} + 1^{2} + z^{2} - 1 = 0 ⟹ z = \pm 1$

Graficador3D

z = f (x, y)

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Graficador Funciones implícitas

F (x, y, z) = 0

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Dominio y representación gráfica del dominio

Como en funciones de una variable, el dominio máximo de $f$ es el conjunto de puntos $(x, y) \in ℝ^{2}$ tal que $z = f (x, y)$ esté bien definida. Escribimos $D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que \exists z \in ℝ con z = f (x, y)} .$ En el caso de funciones definidas de manera implícita, tenemos $D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que \exists z \in ℝ con F (x, y, z) = 0} .$

Ejemplo14Dominio de una función

La función

z = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}

solo se indefine si

x = 0

y = 0

, entonces el dominio de esta función es

D_{f} = ℝ^{2} - {(0, 0)}

Figura 2.6: Dominio

D_{f} = ℝ^{2} - {(0, 0)}

Representación gráfica de dominios definidos por desigualdades. El dominio de una función

h : ℝ^{2} \to ℝ

es a veces una región en el plano, definida por desigualdades y por igualdades. Para hacer la representación gráfica del dominio de

f,

necesitamos dibujar regiones con ecuaciones del tipo

1: $x \geq g (y)$ , $x > g (y)$ , $x \leq g (y)$ o $x < g (y)$ (la desigualdad estricta no toma el borde)
2: $y \geq h (x)$ , $y > h (x)$ , $y \leq h (x)$ o $y < h (x)$ (la desigualdad estricta no toma el borde)

Figura 2.7: Representación de regiones definidas por desigualdades

Método. Para establecer el dominio de una función

f

, se debe analizar y establecer, para cada componente de

f

, las zonas del plano donde

f

esta definida (en términos de desigualdades). El dominio final es la intesección de las zonas donde

f

está definida.

Ejemplo15Dominio de una función y representación gráfica

Determine el dominio de la función definida por $z = 2 \sqrt{x + y - 1} + 1$ y realice la representación gráfica de este dominio.

Solución.

Como $z = 2 \sqrt{x + y - 1} + 1$ solo necesitamos que $x + y - 1 \geq 0$ , es decir, $y \geq 1 - x$ Esta es la región que esta "arriba" de la recta $y = 1 - x$ y se puede tomar la recta como borde (porque la raíz cuadrada esá definida en $0$ )

Dominio: $D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que y \geq 1 - x}$ . En la figura 2.8 vemos una parte de ese dominio

Figura 2.8: Dominio de

f

Figura 2.9: Dominio y superfcie

S

Ejemplo16Dominio de una función y representación gráfica

Determine el dominio de la función definida por $z = \frac{2 \sqrt{x + y - 1}}{ln (y - x^{2})}$ y realice la representación gráfica de este dominio.

Solución.

1: Para la componente $\sqrt{x + y - 1}$ solo necesitamos que $x + y - 1 \geq 0$ , es decir, $y \geq 1 - x$ .
Esta es la región que esta "arriba" de la recta $y = 1 - x$ y se puede tomar la recta como borde (porque la raíz cuadrada esá definida en $0$ )
2: Para la componente del denominador $ln (y - x^{2})$ necesitmos que ${\begin{matrix} y - x^{2} > 0 & es decir, & y > x^{2} \\ y - x^{2} \neq 1 & pues & ln (1) = 0 \end{matrix}$

Esta segunda región esta "arriba" de la parábola $y = x^{2}$ sin tomar el borde y debemos excluir los puntos sobre la parábola $y = 1 + x^{2}$
3: $D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que y \geq 1 - x \land y > x^{2} \land y \neq 1 + x^{2}}$ , es decir,

El dominio esta arriba de la recta $y = 1 - x$ , pero entre las ramas de la parábola $y = x^{2}$ (excluida), excluyendo la parábola $y = x^{2} + 1$
4: La representación gráfica se obtiene como la intersección de dos dominios y la exclusión de la parábola $y = 1 + x^{2}$ , como se muestra en la Figura 2.10

Figura 2.10: Dominio de

f

Ejemplo17Dominio de una función y representación gráfica

Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función

f (x, y) = ln (x - y^{2}) + \sqrt{1 - y^{2} - \frac{x^{2}}{2}}

Solución.

1

Para

ln (x - y^{2})

necesitamos que

x - y^{2} > 0

es decir,

x > y^{2}

. Esto dice que nos movemos "entre las ramas de la parábola"

x = y^{2},

excluyendo el borde.

2

Para

\sqrt{1 - y^{2} - \frac{x^{2}}{2}}

necesitamos que

1 - y^{2} - \frac{x^{2}}{2} \geq 0,

es decir, nos movemos en el interior de la elipse

y^{2} + \frac{x^{2}}{2} = 1,

incluido el borde.

3

El dominio

D_{f}

D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que x > y^{2} y y^{2} + \frac{x^{2}}{2} \leq 1}

4

Representación gráfica: El dominio de

f

es la intersección de la región

x > y^{2}

(región a la derecha de la parábola

x = y^{2}

, sin incluirla) y de la región

y^{2} + \frac{x^{2}}{2} \leq 1

(el interior de la elipse

y^{2} + \frac{x^{2}}{2} = 1

incluyendo la elipse).

Figura 2.11: Dominio de

f

En la figura que sigue aparece la superficie y su dominio.

Figura 2.12: Suerficie

S

y su dominio

Ejemplo18Dominio de una función y representación gráfica

Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función

f (x, y) = \frac{1}{y^{2} - 2 y - 4 x - 3} + \frac{1}{\sqrt{x - y}}

Solución.

1: Para $\frac{1}{\sqrt{x - y}}$ necesitamos $x - y > 0$ (no puede ser $0$ ).
2: Para $\frac{1}{y^{2} - 2 y - 4 x - 3}$ necesitamos que $y^{2} - 2 y - 4 x - 3 \neq 0$ . Completando cuadrados queda claro que debemos excluir la curva (parábola) ${(y - 1)}^{2} = 4 (x + 1) .$
3: El dominio de $f$ es $D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que y < x y {(y - 1)}^{2} \neq 4 (x + 1)}$
4: Representación gráfica: El dominio de $f$ es la región $y < x$ (región abajo de la recta $y = x$ , sin incluirla) excluyendo la parábola ${(y - 1)}^{2} = 4 (x + 1) .$

Figura 2.13: Dominio $D_{f}$

3.1 Considere la función

f (x, y) = \frac{\sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2} - 1}}{xy} .

Indique el dominio máximo de

f

y realice la representación gráfica.

D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tq {(x - 4)}^{2} + y^{2} \geq 1 y x \neq 0 y y \neq 0 .}

Este dominio corresponde al exterior de la elipse (incluye el borde) y se debe excluir los ejes

X

Y

(líneas punteadas).

3.2 Considere la función

f (x, y) = \frac{\sqrt{{(y + 1)}^{2} - x - 1}}{log (x - y)} .

Indique el dominio máximo de

f

y realice la representación gráfica.

Como

log (1) = 0

debemos excluir los puntos para los cuales

x - y = 1 .

D_{f} = {(x, y) \in ℝ^{2} tq {(y + 1)}^{2} \geq x + 1 y y \neq x - 1 y y < x}

3.3 Determine el dominio de la función

f

definida por

z = \frac{\sqrt{x - y + 1} + \sqrt{y}}{ln (x^{2} - y)}

y realice la representación gráfica de este dominio.

Debemos analizar y establecer, para cada componente de

f

, las zonas del plano donde

f

esta definida. El dominio final es la intesección de las zonas donde

f

está definida.
Zonas donde

f

esta definida:

1: Para $\sqrt{x - y + 1}$ necesitamos $x - y + 1 \geq 0$
2: Para $\sqrt{y}$ necesitamos $y \geq 0$
3: Para $ln (x^{2} - y)$ necesitamos $x^{2} - y \neq 1 \land x^{2} - y > 0$

Dominio: D_{z} = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que x - y + 1 \geq 0, y \geq 0, x^{2} - y > 0 \land x^{2} - y \neq 1}

Representación gráfica.

Figura 2.14: Representación gráfica del dominio de la función

3.4 Considere la función

f (x, y) = \frac{3 y - 6 x + 3}{ln (1 - x) + 1} .

Indique el dominio máximo de

f

y realice la representación gráfica.

Analice:

1 - x > 0

(esto nos da un intervalo) y

ln (1 - x) \neq - 1

(esto nos da una recta)

3.5 Considere la función

f (x, y) = \frac{\sqrt{1 - x^{2} - \frac{y^{2}}{4}}}{x - y} + \sqrt{x - y} .

Indique el dominio máximo de

f

y realice la representación gráfica.

Analice:

1 - x^{2} - y^{2} ∕ 4 \geq 0

(borde e interior de una elipse),

x - y \neq 0

(quitar una recta) y

x - y \geq 0

(una región)