1. Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas.

Una vez que se ha especificado una unidad de medida, un número x ∈ℝ puede ser usado para representar un punto en una línea, un par (x,y) ∈ℝ2 se puede usar para representar un punto en un plano,

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(a) Punto en una línea (b) Punto en el plano

De manera análoga, un triple (x,y,z) ∈ℝ3 se puede usar para representar un punto en el espacio tridimensional. Tomamos un punto fijo cualquiera O, llamado origen, y tres planos distintos, mutuamente perpendiculares, que pasan por O. Los planos se intersecan en pares en tres rectas (ejes) mutuamente perpendiculares que pasan por O llamadas X,Y y Z. Para hacer la representación en un plano podemos trazar el eje Y y el eje Z de frente y la parte positiva del eje X se representa en una dirección aproximadamente sur-oeste, para simular profundidad (perpectiva). Dibujamos (x,y) en el plano XY y, desde este punto, dibujamos un segmento paralelo al eje Z y orientado de acuerdo al signo de z y de longitud |z|, como se muestra en la figura.

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Figura 2.1:

En el siguiente widget podemos seleccionar y arrastrar el punto. El propósito es visualizar los puntos en 3D y sus coordenadas (x,y,z).

Puntos (x,y,z)
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Los puntos en el eje X tienen coordenadas (x,0,0),x ∈ℝ, los puntos en el eje Y tienen coordenadas (0,y,0),y ∈ℝ y los puntos en el eje Z tienen coordenadas (0,0,z),z ∈ℝ.

Propósito: En este widget podemos digitar las coordenadas de un punto en el formato (x,y,z) y realizar la representación gráfica.

Nos interesa visualizar puntos en los ejes y puntos en los planos determinados por los ejes, por ejemplo podemos representar los puntos

1
(0,2,2)
2
(2,0,2)
3
(2,2,0)
4
(3,0,0)
5
(0,3,0)
6
(0,0,3)

Puntos (x,y,z)
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Planos XY, XZ y Y Z. Hay tres planos que contienen un par de ejes coordenados: El plano XY es el plano que contiene el eje X y el eje Y, el plano XZ es el plano que contiene el eje X y el eje Z y el plano Y Z es el plano que contiene el eje Y y el eje Z.

El primer octante. Los planos XY, XZ y Y Z dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. El primer octante corresponde a la parte positiva de los ejes.

Propósito: Visualizar los planos XY, XZ y Y Z y en particular, el primer octante, es decir, la región del espacio determinada por la parte positiva de los ejes.

Planos XY , Y Z y XZ y 1er octante
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Tenemos en total 8 octantes, además del primer octante

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Figura 2.2: Octantes

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Figura 2.3: 1er octante

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Figura 2.4: Habitación