Trayectorias y parametrizaciones

1. Trayectorias y parametrizaciones

Desde el punto de vista de la física, el movimiento de una partícula en el espacio se puede describir por su posición $(x, y, z)$ en función del tiempo $t$ , es decir, $(x (t), y (t), z (t)) .$ El vector posición en el tiempo $t$ se denota $r (t),$

$r (t) = (x (t), y (t), z (t)) o también r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, donde t \in [a, b]$

En el plano $XY$ sería $r (t) = (x (t), y (t)) o también r (t) = x (t) i + y (t) j$

La "función vectorial" $r : ℝ \to ℝ^{n}$ se puede considerar como una trayectoria de una partícula en movimiento tanto como una curva, es decir, un objeto geométrico. En este último caso, el "parámetro" $t$ ya no representa necesariamente "tiempo"

Definición 5 ((Trayectoria. Parametrización de una curva).).

Una trayectoria $C$ en $ℝ^{n}$ es una función continua $r : [a, b] \to ℝ^{n} .$

Si la función vectorial $r$ es continua en $[a, b],$ entonces a la representación gráfica de $r$ se le llama curva y decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por $r (t) .$ Escribimos

C : r (t) con t \in [a, b]

Curvas orientadas. Observe que la parametrización

r

induce una orientación de

C

en el sentido de que la trayectoria inicia en

r (a)

y termina en

r (b) .

Una parametrización ordena los puntos en una curva

C

en el siguiente sentido:

x (t_{1})

precede a

x (t_{2})

t_{1} < t_{2}

(es decir,

t_{1}

precede a

t_{2}

[a, b]

). Este ordenamiento da a

C

una orientación. En cualquier punto de

C

donde el vector tangente es distinto de cero, éste apunta en la dirección de

t

creciente, y por lo tanto también indica la orientación de

C .

Algunas trayectorias ya tienen su propia orientación y la parametrización

r

puede ser que respete o no respete esta orientación. Por supuesto, una curva

C

puede tener varias parametrizaciones.

Ejemplo54

Consideremos la trayectoria

r (t) = (4 cos t, 2 - 4 cos t, 4 sen t) t \in [0, 3]

Observe que,

$r (0) = (4 cos 0, 2 - 4 cos 0, 4 sen 0) = (4, - 2, 0)$

$r (π ∕ 2) = (0, 2, 4)$

Parametrización de curvas en $ℝ^{2}$

No siempre es fácil encontrar una parametrización de una curva en $ℝ^{2} .$ Veamos algunos casos sencillos.

Funciones. Si $C : y = f (x)$ con $x \in [a, b],$ entonces podríamos tomar como parámetro a $x = t,$ una parametrización puede ser

C : r (t) = (t, f (t)) con t \in [a, b]

$∙$ Los segmentos $y = k$ se parametrizan como $C : r (t) = (t, k)$ con $t \in [a, b]$

$∙$ Los segmentos $x = k$ se parametrizan como $C : r (t) = (k, t)$ con $t \in [a, b]$

Elipses y circunferencias. Estas curvas se pueden parametrizar usando coordenadas polares.

Una circunferencia de radio $a,$ centrada en el origen, se parametriza usando el ángulo $𝜃$ como parámetro: $x = a sen 𝜃$ y $y = a sen 𝜃 .$

La circunferencia $C : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ se puede parametrizar como

C : r (t) = (a cos t, a sen t) con t \in [0, 2 π]

Si el centro está en $(h, k)$ entonces se hace una traslación: Si $(x, y) \in C : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ entonces $(x, y) + (h, k) \in C_{1} : {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}$

Figura 3.1: Una parametrización de la circunferencia

La circunferencia $C : {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}$ se puede parametrizar como

C : r (t) = (h + a cos t, k + a sen t) con t \in [0, 2 π]

Elipse. Como ${cos}^{2} (t) + {sen}^{2} (t) = 1$ entonces $x (t) = a cos (t)$ y $y (t) = b sen (t)$ satisfacen la ecuación $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .$ En general,

Si la ecuación canónica es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ entonces $r (t) = (h + a cos (t), k + b sen (t)), t \in [0, 2 π]$

Hipérbola. En cálculo, las parametrizaciones usando las funciones

senh (t)

cosh (t)

posiblemente sean las mejores. En otras aplicaciones, las parametrizaciones algebraicas son las adecuadas.

Como

senh (t) = \frac{e^{t} - e^{- t}}{2}

cosh (t) = \frac{e^{t} + e^{- t}}{2},

entonces

{cosh}^{2} (t) - {senh}^{2} (t) = 1 .

Es decir,

x (t) = a cosh (t), y (t) = b senh (t)

satisfacen la ecuación de la hipérbola

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

En general,

Si la ecuación canónica es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ entonces son dos ramas,

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a cosh (t), k + b senh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

Si la ecuación canónica es $\frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} = 1,$ entonces son dos ramas,

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a senh (t), k + b cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

En el caso de la hipérbola, para estas parametrizaciones, $r (0)$ nos da el vértice en la rama respectiva. Además el parámetro $t$ se interpreta como área de una región y se llama "ángulo hipérbolico" y no es el ángulo usual de las funciones trigonométricas.

NOTA: Acerca del seno hipérbolico y el coseno hipérbolico.




$senh (t) = \frac{e^{t} - e^{- t}}{2}$		$cosh (t) + senh (t) = e^{t}$

$cosh (t) = \frac{e^{t} + e^{- t}}{2}$		$cosh (t) - senh (t) = e^{- t}$

$tanh (t) = \frac{senh (t)}{cosh (t)}$		${cosh}^{2} (t) - {senh}^{2} (t) = 1$

Inversas

$arsenh (t) = ln (t + \sqrt{t^{2} + 1}), \forall t \in ℝ$		$arcosh (t) = ln (t + \sqrt{t^{2} - 1}), t \geq 1$

• Crecimiento y signo

Figura 3.2:

y = cosh (t)

Figura 3.3:

y = senh (t)

$cosh (t) \geq 1$ para todo $t \in ℝ .$ Además, $cosh (t) ↓$ si $t \leq 0$ y $cosh (t) ↑$ si $t \geq 0$

$senh (t)$ es creciente, además $senh (t) \geq 0$ si $t \geq 0$ y $senh (t) \leq 0$ si $t \leq 0 .$

• Ecuaciones. Como se observa en las figuras 3.2 y 3.3, se usan inversas para obtener la o las soluciones de una ecuación.

${\begin{matrix} cosh (t) & = & a ⟹ {\begin{matrix} t & = & acosh (a) \end{matrix} si a \geq 1 \\ senh (t) & = & a ⟹ t = asenh (a) \end{matrix}$

• Simetría. Usando las parametrizaciones

r_{1}

r_{2}

para cada rama,

r_{i} (0)

es el vértice respectivo y

r_{i} (t)

r_{i} (- t)

son simétricos respecto al eje focal.

Figura 3.4: Simetría

Curvas en coordenadas polares. Consideremos la curva

C : r = g (𝜃)

con

𝜃 \in [𝜃_{1}, 𝜃_{2}] .

Como

${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r cos 𝜃 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} x & = & g (𝜃) cos 𝜃 \\ y & = & g (𝜃) cos 𝜃 \end{matrix}$

entonces la curva

C

se puede parametrizar como

C : r (𝜃) = (g (𝜃) cos 𝜃, g (𝜃) sen 𝜃) con 𝜃 \in [𝜃_{1}, 𝜃_{2}]

Ejemplo55

Determine una parametrización para las siguientes curvas: ${\begin{matrix} C_{1} : x = - 1 & con & y \in [0, 2] \\ C_{2} : y = 2 x - x^{2} & con & x \in [0, 2] \\ C_{3} : y = 0 & con & x \in [2, 3] \end{matrix}$

Solución. En

C_{1}

podemos tomar

y = t,

C_{2}

podemos tomar

x = t

y en

C_{3}

podemos tomar

x = t .

\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) = (- 1, t) & con & t \in [0, 2] \\ C_{2} : r_{2} (t) = (t, 2 t - t^{2}) & con & t \in [0, 2] \end{matrix}

Ejemplo56

Determine una parametrización para las circunferencias

1.: $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$
2.: $C_{2} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$

Solución. Como ambas curvas son circunferencias podemos usar como parámetro el ángulo

𝜃,

en coordenadas polares:

${\begin{matrix} x & = & h + a cos 𝜃 \\ con 𝜃 \in [0, 2 π [ \\ y & = & k + a sen 𝜃 \end{matrix}$

Las parametrizaciones son

$∙$: $C_{1} : r_{1} (𝜃) = (3 + cos 𝜃, 2 + sen 𝜃) con 𝜃 \in [0, 2 π [$
$∙$: $C_{2} : r_{2} (𝜃) = (cos 𝜃, 2 + sen 𝜃) con 𝜃 \in [0, 2 π [$

Ejemplo57

Para las siguientes cónicas, parametrice y realice la representación gráfica

1.: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$
2.: ${(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$

Solución.

1.: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ Es la ecuación canónica de una circunferencia en el plano $xy,$ de centro $(- 1, 0)$ y radio $2 .$

Una parametrización es $r (t) = (- 1 + 2 cos (t)) i + 2 sen (t) j, t \in [0, 2 π]$
2.: $\frac{{(z - 1)}^{2}}{\frac{1}{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ es la ecuación canónica de una hipérbola en el plano $yz,$ de centro $(2, 1) .$ Abre en dirección del eje $z$

Una parametrización es ${\begin{matrix} r_{1} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 + \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 - \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}$

Figura 3.5: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$

Figura 3.6: ${(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$

Distintas parametrizaciones. Si cambiamos de parametrización, probablemente cambie el recorrido del parámetro, en términos físicos el recorrido de la trayectoria puede ser más o menos rápida.

Por ejemplo, consideremos la circunferencia $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 .$

$∙$: $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 ⟹ C : r (𝜃) = (cos 𝜃, 2 + sen 𝜃) con 𝜃 \in [0, 2 π [$
$∙$: Como vimos en la sección de coordenadas polares, en el ejemplo ,

$\begin{matrix} C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 & ⟹ & C : r = 2 sen 𝜃, 𝜃 \in [0, π [ \end{matrix}$
$∙$: También podemos "acelerar" el recorrido de la circunferencia:

$C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 ⟹ C : r (𝜃) = (cos 4 𝜃, 2 + sen 4 𝜃) con 𝜃 \in [0, π ∕ 2 [$

Parametrización de curvas en $ℝ^{3}$

Rectas en $ℝ^{3} .$ Como ya vimos en la sección , si la recta $L$ pasa por $P$ en dirección de $v$ entonces una parametrización es

L : r (t) = P + t v, t \in ℝ

El segmento de recta $C$ que inicia e $A$ y termina en $B$ se puede parametrizar como

C : r (t) = A + t \cdot (B - A), t \in [0, 1]

En este caso, $r (0) = A$ y $r (1) = B$

Figura 3.7:

L : r (t) = P + t v, t \in ℝ

Figura 3.8:

C : r (t) = A + t \cdot (B - A), t \in [0, 1]

Los segmentos paralelos a los ejes es mejor parametrizarlos usando $x = t,$ $y = t$ o $z = t,$ según corresponda.

Ejemplo58

Determine una parametrización para

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

de la figura adjunta.
Solución. El segmento

C_{1}

lo parametrizamos con la fórmula

r_{1} (t) = A + t \cdot (B - A), t \in [0, 1]

. Para el segmento

C_{2}

podemos usar

x = t

como parámetro y para el segmento

C_{3}

podemos usar

y = t

como parámetro.

Figura 3.9: Curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

C : {\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) = (2, 0, 2) + t \cdot [(0, 2, 0) - (2, 0, 2)] = (2 - 2 t) i + 2 t j + (2 - 2 t) k, t \in [0, 1] \\ C_{2} : r_{2} (t) = t i + 2 j, t \in [0, 3] \end{matrix}

Curvas en

ℝ^{3} .

Algunas curvas en

ℝ^{3}

se pueden parametrizar usando como parámetro

x = t,

y = t

z = t .

También a veces se podría usar coordenadas polares. Si las curvas se obtienen como intersección de superficies, con la ecuación de estas superficies que se puede deducir una parametrización.

Ejemplo59

Determine una parametrización para la curva $C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$ que se muestra en la figura. $C_{1} : x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1; y = 0$ y $C_{3}$ es el trozo de curva de intersección entre las superficies $S_{1} : x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ y $S_{2} : x + y = 2 .$ $C_{2}$ es el segmento de recta que se indica en la figura.

Figura 3.10: Curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

Solución.

$∙$ Una manera de parametrizar $C_{2}$ es usando $y = t$ como parámetro:

C_{2} : r_{3} (t) = (0, t, 2), t \in [0, 2]

$∙$ Hay varias maneras de parametrizar $C_{1} : x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1; y = 0,$

C_{1} : r_{1} (t) = (cos t, 0, 1 + sen t), t \in [- π ∕ 2, π ∕ 2 [

Observe que efectivamente

r_{1} (- π ∕ 2) = (0, 0, 0)

r_{1} (π ∕ 2) = (0, 0, 2) .

También $C_{1} : r_{1} (𝜃) = (2 sen 𝜃 cos 𝜃, 0, 2 sen 𝜃 sen 𝜃), 𝜃 \in [0, π ∕ 2 [$ pues $C_{1} : r = 2 sen 𝜃, 𝜃 \in [0, π ∕ 2]$

$∙$ Para parametrizar $C_{3}$ podemos usar sus coordenadas $(cos t, 0, 1 + sen t)$ en el plano $XZ$ y entonces $y = 2 - x = 2 - cos t$

C_{3} : r_{3} (t) = (cos t, 2 - cos t, 1 + sen t), t \in [0, π [

También podemos usar como prámetro a

z = t,

entonces

x = \sqrt{1 - {(z - 1)}^{2}}

y = 2 - x = 2 - \sqrt{1 - {(z - 1)}^{2}},

C_{3} : r_{3} (t) = \sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}} i + (2 - \sqrt{1 - {(t - 1)}^{2})} j + t k, t \in [0, 2]

1. Trayectorias y parametrizaciones

Parametrización de curvas en ℝ2

Parametrización de curvas en ℝ3

Parametrización de curvas en $ℝ^{2}$

Parametrización de curvas en $ℝ^{3}$