Derivada de r(t)

2. Derivada de $r (t)$

Vector velocidad. Sea $C$ es una trayectoria continua parametrizada por $r = r (t) .$ En en el intervalo de tiempo que va de $t$ a $t + Δ t,$ una partícula que recorre $C,$ se mueve de la posición $r (t)$ a $r (t + Δ t)$ y la velocidad promedio es

$\frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t}$

Si la velocidad promedio tiene un límite, cuando

Δ t \to 0,

entonces este límite lo llamamos la velocidad (instantánea) de la partícula en el tiempo

t

y se denota

v (t) .

v (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} = \frac{d r (t)}{dt}

El vector veclocidad es tangente a

C

r (t)

y apunta en la dirección del movimiento. La longitud de

v (t),

denota

v (t) = | | v (t) | |

, se llama rapidez de la partícula.

Ejemplo60

Consideremos la circunferencia $C : x^{2} + y^{2} = 1 .$ Esta trayectoria puede ser recorrida en diferentes velocidades:
´

$∙$: Si $C : r_{1} (t) = cos t i + sen t j, t \in [0, 2 π] ⟹ v (t) = - sen t i + cos t j$ y $| | v (t) | | = 1$ $\forall t \in [0, 2 π]$
$∙$: Si $C : r_{2} (t) = cos 2 t i + sen 2 t j, t \in [0, π] ⟹ v (t) = - 2 sen 2 t i + 2 cos 2 t j$ y $| | v (t) | | = 2$ $\forall t \in [0, 2 π]$

Definición 6.

Sea $C$ es una curva parametrizada por $r = r (t)$ con $t \in [a, b] .$ Decimos que $r$ es diferenciable en $t$ si

\frac{d r}{dt} = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} existe

La curva

C

se dice suave en

I

\frac{d r}{dt}

es continua, y no se anula, en todo

I

Figura 3.11: Vector velocidad

v (t) = \frac{d r (t)}{dt}

Casos particulares.

1.

x (t)

y (t)

son funciones derivables en

I

y si

r (t) = x (t) i + y (t) j,

entonces

\begin{matrix} \frac{d r}{dt} & = & lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} \\ = & lim_{Δ t \to 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} i + \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} j \end{matrix}

Es decir

r^{'} (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j

2.

x (t),

y (t)

z (t)

son funciones derivables en

I

y si

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

entonces

\begin{matrix} \frac{d r}{dt} & = & lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} \\ = & lim_{Δ t \to 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} i + \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} j + \frac{z (t + Δ t) - z (t)}{Δ t} k \end{matrix}

Es decir

r^{'} (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j + z^{'} (t) k

C : r (t)

es una curva suave, entonces el vector

r^{'} (t_{0})

es tangente a la curva en cada punto

P = r (t_{0}) .

Además, una ecuación de la recta tangente a la curva en

P

L_{T} (t) = P + t \cdot r^{'} (t_{0})

Ejemplo61

Consideremos la curva $C$ de intersección entre la superficie $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ y el plano $x + y = 2 .$ Una parametrización de $C$ es

C : r (t) = (t, 2 - t, 4 - t^{2} - {(2 - t)}^{2})

El punto $P = r (1) = (1, 1, 2)$ está en esta curva. Un vector tangente a $C$ en $P$ es

$r^{'} (1) = (1, - 1, 0)$

Una ecuación de la recta tangente a la curva en $P$ es

$L_{T} (t) = P + t \cdot r^{'} (t_{0})$

Ejemplo62

Consideremos la curva

C : r (t) = 4 cos t i + (2 - 4 cos t) j + 4 sen t k, t \in [0, 3]

Tenemos,

\frac{d r}{dt} = - 4 sen t i + 4 sen t j + 4 cos t k

$r^{'} (t)$ es un vector tangente a $C$ en $P = r (t) .$

También, la curva $C$ es suave pues $r$ es diferenciable y no se anula en $[0, 3]$

Figura 3.12: El vector

r^{'} (t) \neq 0

(trasladado) es un vector tangente a

C

P = r (t)

Recta tangente en la dirección de un vector. La recta tangente a

S

P = (p_{0}, p_{1}, p_{3}) \in S,

en la dirección de

v = (v_{0}, v_{1})

se refiere a la recta tangente en

P,

a la curva

C

de intersección entre la superficie

S

y el plano generado por la recta

L (t) = (p_{0}, p_{1}, 0) + t \cdot (v_{0}, v_{1}, 0) .

S : z = f (x, y),

entonces una parametrización de esta curva es

C : r (t) = (p_{0} + t v_{0}, p_{1} + t v_{1}, f (p_{0} + t v_{0}, p_{1} + t v_{1}))

Como $P = r (0),$ un vector tangente es

r^{'} (0) = (v_{0}, v_{1}, {\frac{d}{dt} f (p_{0} + t v_{0}, p_{1} + t v_{1}) |}_{t = 0})

y una ecuación de la recta tangente "en la dirección de $v$ " sería

L_{T} (t) = P + t \cdot r^{'} (0)

Ejemplo63

Consideremos la superficie $S : z = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ y sea $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in S .$ Sea la recta (en el plano $XY$ )

L (t) = (x_{0}, y_{0}, 0) + t \cdot (v_{1}, v_{2}, 0) = (x_{0} + t v_{1}, y_{0} + t v_{2}, 0)

Esta recta $L$ genera un plano $Π$ (perpendicular al plano $XY$ ) que interseca a la superficie $S .$ Una ecuación paramétrica de la curva $C_{P}$ de intersección es

C_{P} : r (t) = (x_{0} + t v_{1}, y_{0} + t v_{2}, \sqrt{4 - {(x_{0} + t v_{1})}^{2} - {(y_{0} + t v_{2})}^{2}})

Entonces,

r^{'} (t) = (v_{1}, v_{2}, \frac{- (x_{0} + t v_{1}) v_{1} - (y_{0} + t v_{2}) v_{2}}{\sqrt{4 - {(x_{0} + t v_{1})}^{2} - {(y_{0} + t v_{2})}^{2}}})

En particular, un vector tangente a la curva $C_{P}$ en $P = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ es $r^{'} (0)$ (pues $P = r (0)$ ) y una parametrización de la recta tangente a $C_{P}$ en $P$ es $L_{T} (t) = P + t \cdot r^{'} (0), t \in ℝ$

r^{'} (0) = (v_{1}, v_{2}, \frac{- x_{0} v_{1} - y_{0} v_{2}}{\sqrt{4 - x_{0}^{2} - y_{0}^{2}}}) y T (t) = \frac{r^{'} (0)}{| | r^{'} (0) | |}

Observe que si $P = r (0),$ el vector $r^{'} (0)$ es tangente a $S$ "en la dirección del vector $v = (v_{1}, v_{2})$ "

Reglas de derivación

En el siguiente teorema se enuncian las reglas de derivación para funciones vectoriales.

Teorema 2.

Sean $u (t)$ y $v (t)$ funciones vectoriales diferenciales y $f : ℝ \to ℝ$ una función derivable. Entonces,

1.: $\frac{d}{dt} (u (t) + v (t)) = u^{'} (t) + v^{'} (t)$
2.: $\frac{d}{dt} (f (t) u (t)) = f^{'} (t) u (t) + f (t) u^{'} (t)$
3.: $\frac{d}{dt} (u (t) \cdot v (t)) = u^{'} (t) \cdot v (t) + u (t) \cdot v^{'} (t)$
4.: $\frac{d}{dt} (u (t) \times v (t)) = u^{'} (t) \times v (t) + u (t) \times v^{'} (t)$
5.: $\frac{d}{dt} (u [f (t)]) = f^{'} (t) u^{'} (f (t))$
6.: $\frac{d}{dt} (| | u (t) | |) = \frac{u (t) \cdot u^{'} (t)}{| | u (t) | |}$ si $u (t) \neq 0$

Movimiento circular

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado en una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega $Ω$ . Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s). La rapidez angular $Ω$ de un cuerpo en rotación es su tasa de rotación medida en radianes por unidad de tiempo. Por ejemplo, una lámpara de un faro que gira a una velocidad de tres revoluciones por minuto, tiene una rapidez angular de $Ω = 6 π$ radianes por minuto. Es útil representar la tasa de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje en términos de un vector de velocidad angular en lugar de sólo un escalar que nos dé la rapidez angular. El vector de velocidad angular $Ω$ apunta en la dirección del eje de rotación el vector velocidad angular es un vector que es perpendicular al plano de rotación) y su magnitud nos da la tasa de cambio del ángulo de rotación del cuerpo por unidad de tiempo y la su orientación especifica el sentido de la rotación.

Si el origen de coordenadas está en el eje de rotación y si $r (t)$ es el vector de posición en el instante $t,$ en un punto $P$ del cuerpo en rotación, entonces $P$ se mueve a lo largo de una circunferencia de radio $a = | | r (t) | | sen 𝜃$ donde $𝜃$ es el ángulo entre $Ω$ y $r (t) .$

Figura 3.13: Rotación de

P

con velocidad angular

v (t) = Ω \times r (t)

Entonces $P$ viaja una distancia de $2 πa$ en un tiempo de $2 π ∕ Ω$ y su rapidez lineal es

\frac{distancia}{tiempo} = \frac{2 πa}{2 π ∕ Ω} = Ω a = | | Ω | | | | r (t) | | sen 𝜃 = | | Ω \times r (t) | |

Como la dirección de $Ω$ fue definida de tal manera que $Ω \times r (t)$ apunte en dirección del movimiento de $P$ , entonces la velocidad lineal de $P$ en el instante $t$ es

\frac{d r}{dt} = v (t) = Ω \times r (t)

Ejemplo64

Este ejemplo es solo ilustrativo y no indica cómo hacer los cálculos. Supongamos que una partícula se mueve sobre la trayectoria

C : r (t) = i + 3 cos (2 t) j + 3 sen (2 t) k .

$\frac{d r}{dt} = v (t) = - 6 sen (2 t) j + 6 cos (2 t) k = Ω \times r (t)$

Entonces la velocidad angular es $Ω = 2 i$ y el movimiento es contra-reloj alrededor del eje $X .$ La rapidez angular es $Ω = 2$

2. Derivada de r(t)

Reglas de derivación

Movimiento circular

2. Derivada de $r (t)$